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Studienarbeit Quantitative Analyse von InxGa1?x N-Inseln mittels ...

Studienarbeit Quantitative Analyse von InxGa1?x N-Inseln mittels ...

2.2.2 Beugung in

2.2.2 Beugung in kinematischer Näherung Für die quantitative Auswertung ist das hier Dargestellte zwar unzulänglich, dennoch bietet die kinematische Theorie die Möglichkeit, schnell einen Überblick über das Beugungsbild in verschiedenen Orientierungen zu erhalten, qualitativ nämlich können die meisten Elemente wie z.B. Lauekreise oder -zonen schon hieraus abgeleitet werden, und zwar mit noch mäßigem Programmier-/Rechenaufwand. Ausgangspunkt ist zuerst die von den vier Atomen einer Einheitszelle hervorgerufene Coulombpotentialverteilung VEZ(r), die auf jede Einheitszelle am Ort t im unendlich großen Gitter übertragen wird. Wegen dieser strengen Periodizität ist das Potential als Fourierreihe darstellbar, die nach [Czy04, Kap.1.3] gerade über die ReL-Vektoren läuft: V (r) ! = V (r +t) ⇒ V (r) = g e 2πigr · 1 Ω VEZ(r)e −2πigr dr =: e 2πigr · Vg , (7) wobei Vg der Fourierkoeffizient und Ω das Volumen der Einheitszelle sind. VEZ setzt sich nun additiv aus den Beiträgen Vj der vier Atome aus der Einheitszelle zusammen, so dass separat um jede Atomposition rj integriert werden kann; r ′ sei ein vom Zentrum des Atoms j ausgehender Ortsvektor und dient als Integrationsvariable (r = rj + r ′ ): Vg = 1 Ω 4 j=1 Vj(r ′ )e −2πig(rj+r ′ ) dr ′ = 1 Ω 4 e −2πigrj j=1 g Vj(r ′ −2πigr ′ )e dr ′ . (8) Bis auf einen konstanten Faktor (s. [RSGL05]) ist Vg der Strukturfaktor Fg, das rechte Integral in (8) nennt man (allerdings für beliebiges g) Atomformfaktor, der für verschiedene Elemente in [DT68] tabelliert ist. Mit Sicherheit kann t in (7) nicht beliebig gewählt werden, denn die Proben sind i. a. endlich. Dem wird durch Multiplikation von V (r) mit der Kristallfunktion H(r) Rechnung getragen, die z.B. eine durch den Kristall begrenzte Rechteckfunktion darstelle, so dass man für die realistischere Potentialverteilung V ′ (r) = V (r)·H(r) schreiben kann. Quantenmechanisch ausgedrückt geht das Elektron vom Zustand | k〉 durch die Wirkung des Operators ˆ V ′ (r) in den Zustand | k ′ 〉 über, wobei die Wahrscheinlichkeit für diesen Übergang durch |〈 k ′ | ˆ V ′ (r)| k〉| 2 gegeben ist. Stellt man Anfangs- und Endzustand als ebene Wellen mit Wellenvektor k bzw. k ′ dar, so ist die Übergangswahrscheinlichkeit gerade durch das Betragsquadrat der Fouriertransformation F[V ′ ]( k ′ − k) = F[V ′ ](q) des Potentials gegeben, wobei der Streuvektor q = k ′ − k eingeführt wurde. Setzt man schließlich V ′ (r) ein, so folgt F[V ′ ](q) = F[V · H](q) = H(r) · Vg e 2πigr e −2πiqr dr = g Vg g H(r)e −2πi(q−g)r dr = Vg · F[H](q − g) . (9) Für den unendlich ausgedehnten Kristall ist H = 1 und damit F[1](q − g) = δ(q − g) und es folgt sofort die Fouriertransformierte von (7) mit der Bedingung q = g. In diesem Fall sind also nur Impulsüberträge erlaubt, die reziproken Gittervektoren g entsprechen, wie die blau dargestellte Ewaldkonstruktion in Bild 2(a) zeigt. Bei elastischer Streuung (k ′ = k) weisen daher sowohl k als auch k ′ vom Ursprung der Ewaldkugel mit Radius k = 1/λ auf ReL-Punkte, die auf der Oberfläche der Ewaldkugel liegen. Ausdruck dieser strikten Forderung ist die Braggbedingung sinϑ = g λ 2k = 2d , die mit Bild 2(a) aus trigonometrischen Überlegungen folgt. Realistische Probendicken liegen etwa im Bereich z0 ∈ [10nm ...50nm]. Die z-Abhängigkeit von H(r) werde entsprechend so modifiziert, dass H(r) = 1 für |z| ≤ z0/2 und H(r) = 0 sonst. 5 g

Bild 2: Zur Beugung in kinematischer Näherung. Bildteil (a): Ewaldkonstruktion (blau): Erlaubte Streuvektoren q weisen vom Ursprung des ReL (Ende von k) auf einen ReL-Punkt auf der Ewaldkugel (Ende von k ′ ). Anregungsfehler (rot): Bei dünnen Proben sind auch Streuvektoren erlaubt, die vom Ursprung des ReL zu einem Schnittpunkt von Ewaldkugel und ReL-Stange (grau) weisen. Bildteil (b): Fouriertransformation F[H] der Kristallfunktion H in Abhängigkeit des Anregungsfehlers. (a) (b) Die z-Integration in F[H] mit den Grenzen ±z0/2 ergibt dann im Gegensatz zum vorherigen Beispiel anstatt der reinen δ-Funktion den Faktor (vgl. [Gra03]) F[H](q − g) =: F[H](s) = δ(sx) · δ(sy) · z0 sinc(πszz0) , (10) wobei der Anregungsfehler s = q−g eingeführt wurde, der die Abweichung von der exakten Braggorientierung angibt. Offensichtlich sind also auch Ausfallsvektoren k ′ zugelassen, für die nach der roten Darstellung in Bild 2(a) k ′ = k +g +s gilt, denn nach (10) hängt die Wahrscheinlichkeitsamplitude (9) über eine Kardinalsinusfunktion von der z-Komponente des Anregungsfehlers ab, die entlang der Normalen der Probenoberfläche zu messen ist. Das Abklingen und die Periode der sinc-Funktion wird dabei von der Probendicke z0 bestimmt. Man ordnet dementsprechend jedem ReL-Punkt eine in z-Richtung weisende ” ReL-Stange“ zu (engl. ” Relrod“), wie ebenfalls in Bild 2(a) zu sehen ist. Weitere Reflexe treten auf, wenn die Ewaldkugel ReL-Stangen ” nächsthöherer“ Ebenen des ReL schneidet, in Bild 2(a) links sind diese sog. Lauezonen nullter, erster und zweiter Ordnung angedeutet. Die Reflexe einer Lauezone liegen im Beugungsbild auf Kreisen. Verkippt man außerdem noch k relativ zur Probe (d.h.entweder wird der Elektronenstrahl oder die Probe geneigt), so ” taucht“ die Ewaldkugel in die Lauezone nullter Ordnung ein, so dass alle ReL-Punkte, die auf dem so definierten Lauekreis liegen, stark angeregt werden und im Beugungsbild hell erscheinen. Eindeutig beschrieben wird die Verkippung durch Angabe des Mittelpunktes des Lauekreises im ReL, den sog. COLC 8 -Wert. Es bleibt die Aufgabe, die Intensität zu berechnen, also das Betragsquadrat von (9) zu bilden. Im Falle des unendlich ausgedehnten Kristalls ist die Intensität jedes gebeugten Strahls proportional zum Betragsquadrat des entsprechenden Strukturfaktors, I g ∼ |V g| 2 , denn aufgrund der δ-Form von F[H] mischen Terme mit unterschiedlichen ReL-Vektoren nicht. Prinzipiell gilt das für dünne Proben nicht, da g1 + s1 = g2 + s2 nicht verboten ist, was anschaulich dem Überlappen zweier ReL-Stangen auf einem Punkt der Ewaldkugel entspricht. In Bild 2(b) ist daher die z-Abhängigkeit von F[H] gegen sz für 3 realistische Probendicken z0 aufgetragen; man sieht, dass die Amplitude des Kardinalsinus auf 1/10 des Startwertes bereits nach 0,5/nm abgesunken ist. Der Abstand benachbarter ReL-Punkte beträgt aber mit mind. 1/d ≈ 5/nm in etwa das Zehnfache, so dass auch für dünne Proben die summandenweise Bildung des Betragsquadrates, Ig ∼ |Vg| 2 · |F[H]| 2 , eine gute Näherung ist. 8 Engl. für Center Of Laue Circle. 6

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