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Bestimmung der Modulationstransferfunktion einer CCD-Kamera ...

Bestimmung der Modulationstransferfunktion einer CCD-Kamera ...

2 Wechselwirkung

2 Wechselwirkung hochenergetischer Elektronen mit Kristallen die Objektivlinse hindurchtreten. Die Auflösungsgrenze δ ist nach Abbe gegeben mit δ = λ λ = . (2.1) Numerische Apertur sin(θ) Die Abbe’sche Theorie bezieht das Beugungsmuster beider Objekte mit ein. Tritt nur das primäre Maximum 0. Ordnung durch die Objektivlinse bzw. Blende, werden die Objekte nicht aufgelöst. Daher ist wenigstens die zusätzliche Übertragung der ersten Nebenmaxima (1. Ordnung) mit dem Winkel θ erforderlich (s. Abb. 2.1). Dies ist gleichermaßen der Öffnungswinkel des von den beiden Nebenmaxima aufgespannten Kegel, womit sich ein Sehwinkel des Objektivs von 2θ ergibt [41]. Für den kleinsten Punktabstand δ gilt damit sinθ = λ δ . Das Auflösungsvermögen ist als Kehrwert der Auflösungsgrenze δ definiert, so dass eine abnehmende Wellenlänge λ zu einem höheren Auflösungsvermögen führt [42]. 2.2 Wellenlängen relativistischer Elektronen Die Einführung des Auflösungsvermögens hat gezeigt, dass mit kleinen Wellenlängen eine hohe Auflösung des Mikroskops erzielt werden kann. Nach De Broglie können in der Quantenmechanik Elektronen Welleneigenschaften zugeordnet werden, d.h. mit der Planck-Konstante h hat der Impuls p eines Elektrons die De Broglie Wellenlänge λ [48] p = h λ = hk bzw. vektoriell p = h k. (2.2) Dabei wurde die Wellenzahl k = 1 λ als Länge des Wellenvektors k der Elektronenwelle eingeführt. Aufgrund der hohen Beschleunigungsspannungen, mit dem das Titan betrieben wird, erreichen die Elektronen hohe Geschwindigkeiten v die nahe der Lichtgeschwindigkeit c sind. Nach der speziellen Relativitätstheorie (SRT) muss daher eine relativistische Korrektur der elektronischen Wellenlänge λ und des Impulses p erfolgen. Die SRT geht auf Einsteins Postulat, die Lichtgeschwindigkeit c = c0 n in einem Medium mit Brechindex n sei konstant, zurück und führt auf die Lorentzinvarianz mit den Orten r = (x, y, z) und den Zeiten t: x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 − c 2 t ′ 2 = x 2 + y 2 + z 2 − c 2 t 2 . Diese folgt beispielsweise aus der Begegnung zweier relativ zueinander bewegter Bezugssysteme S bzw. S ′ , bei der eine elektromagnetische Kugelwelle ausgelöst wird und sich radial in beiden Systemen ausbreitet. Ein wichtiges Ergebnis aus Einsteins Betrachtungen ist die Äquivalenz von Masse m und Energie E der Elektronen [20], was zur bekannten Gleichung Eges = γmc 2 = mc 2 + Ekin = mc 2 + eU mit dem Faktor γ = Weiter folgt als Beziehung zwischen Energie E und Impuls p 14 1 1 − v2 c2 führt. (2.3) E 2 ges = m 2 c 4 + p 2 c 2 . (2.4)

2.3 Beugung im Nah- und Fernfeldbereich Aus den Gleichungen 2.3 und 2.4 lässt sich die relativistische Abhängigkeit des Impulses p von der Beschleunigungsspannung U bestimmen: p = 2meU + 2 eU . Mit Gl. 2.2 folgt λ = c h 2meU + eU c 2 . (2.5) Mit der Beschleunigungsspannung von U = 300 kV bestimmt sich die Wellenlänge der Elektronen zu λ300kV = 1, 969 pm. Diese Größenordnung wird im TEM verwendet, um die Winkel der in die Objektivlinse eintretenden Elektronen, und die davon abhängigen Linsenfehler, gering zu halten. 2.3 Beugung im Nah- und Fernfeldbereich Unsere quantenmechanischen Betrachtungen führten mit der De Broglie-Wellenlänge auf die Behandlung der Elektronen als Elektronenwelle ψ(r). Es ist bekannt, dass Wellen insbesondere beim durchtreten kleiner Öffnungen bzw. Aperturen gebeugt werden [48]. Daher wird hier auf die skalare Beugungstheorie eingegangen, die ihren Ursprung in den Maxwell-Gleichungen hat und die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in einem Medium beschreibt [43]. Der Ausdruck skalar bezieht sich dabei auf die Vereinfachung, dass das Medium, in dem sich die Welle fortpflanzt, als isotrop, homogen und nicht-dispersiv angenommen wird. Demzufolge reicht die Betrachtung einer skalaren Feldkomponente, anstatt aller, als repräsentative Lösung der Wellengleichungen [43]. Weiter muss die Durchtrittsgröße der beugenden Apertur (x, y) viel größer sein als die Wellenlänge und damit (x, y)min ≪ λ. Da die Elektronen als Welle aufgefasst werden können und unter Vakuumbedingungen propagieren, lassen sich diese Annahmen auch auf die Elektronen übertragen. In Abbildung 2.2(a) wird eine ebene Elektronenwelle am Kristall (a) Am beugenden Kristall entstehen die in orange gehaltenen Huygens- Wellen. y Objekt- ebene x r-s s L sy o sx Schirm z-Achse (b) Geometrische Betrachtung zu der Objekt- bzw. Bildebene. Abbildung 2.2: In (a) treten von links ebene Wellen in den Kristall (blau) ein. Bei der Propagation durch den Kristall werden die Wellen gebeugt und es treten Huygens-Elementarwellen aus dem Kristall heraus. Diese interferieren unmittelbar hinter der Austrittsebene im Nahfeld zum Fresnel- (links) bzw. im Fernfeld (rechts) zum Fraunhofer-Beugungsmuster. (b) zeigt die Geometrie, die für die weiteren Kennzeichnungen wichtig sind. gebeugt, wodurch eine Vielzahl von in Abb. 2.2(a) orange dargestellten, Huygens’schen Elementarwellen in der Objektebene r = (x, y, z = 0) entspringen. Die Einhüllende aller überlagernder Wellen bildet nach dem Huygens’schen Prinzip eine neue Wellenfront als Objektaustrittswellenfunktion ψ(r) [42]. Die Superposition der Huygens-Wellen kann folglich als Summe bzw. im 15

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