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Bestimmung der Modulationstransferfunktion einer CCD-Kamera ...

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2 Wechselwirkung

2 Wechselwirkung hochenergetischer Elektronen mit Kristallen Grenzfall als Integral über den gesamten Blenden- bzw. Kristallbereich verstanden werden. Das Huygens’sche Prinzip kann mit Hilfe des Huygens-Fresnel-Integrals [43] ψ(s) = L ψ(r) iλ ei2πk|r−s| |r − s| 2 d2r mit k = 1 formuliert werden. (2.6) λ Blende Der in Abb. 2.2(b) dargelegte Vektor r − s steht für den Abstandvektor zwischen dem in der Objektebene befindlichen Punkt Pi mit den Koordinaten r = (x, y,0) und dem in der Bildebene vorliegenden Punkt Po mit den Koordinaten s = (sx, sy, L). Aus dieser in Abb. 2.2(b) dargestellten Geometrie ergibt sich direkt ein Abtand L zwischen Objekt- und Bildebene entlang der optischen Achse (z-Richtung). Die Wellenlänge der Elektronen wird weiterhin mit λ bezeichnet. Für den Abstand |r − s| zwischen den Punkten Pi und Po aus Abb. 2.2(b) ergibt sich |r − s| = L 2 + (sx − x) 2 + (sy − y) 2 . Bei der Betrachtung des Beugungsmusters werden in Abb. 2.2(a) zwei Grenzfälle unterschieden, die Fernfeld- und Nahfeldnäherung. Im Fernfeld wird die Fraunhofer- und im Nahfeld die Fresnel-Beugung beobachtet. Fresnel-Beugung: Für die Distanz |r − s| kann, nachdem L aus der Wurzel gezogen wurde, der Ausdruck √ 1 + n ≈ 1 + 1 sx−x 2n + ... für n = L ≪ 1 mit der Taylorentwicklung erster Ordnung folgendermaßen genähert werden |r − s| ≈ L 1 + 1 2 sx − x + 2 L 1 2 sy − y . 2 L Der quadratische Abstand |r − s| 2 im Nenner von Gl. 2.6 kann mit L 2 genähert werden, da die Ausdehnungen von Objekt (x, y)max und Beugungsmuster (sx, sy)max sehr klein gegenüber dem Abstand L zwischen Objekt- und Bildebene ist. Diese Annahmen führen mit der aus dem Kristall austretenden Objektaustrittswellenfunktion ψ(r) und der am Schirm beobachtbaren Wellenfunktion ψ(s) auf die Nahfeldnäherung ψ(s) = 1 iLλ „ iL2π 1+ λ ψ(r)e Blende 1 2( sx−x L ) 2 + 1 2 =e iL2π λ ψ(r) Blende 1 iLλ =:P(s−r) e iπ Lλ ((sx−x)2 +(sy−y) 2 ) “ ” « sy−y 2 L d 2 r d 2 r = e i2πL λ (ψ ⊗ P) (s). Die Nahfeldpropagation einer Elektronenwelle ψ(r) ergibt sich mathematisch mit der Faltung eines quadratischen Phasenfaktors P, der im Weiteren als Fresnel-Propagator bezeichnet wird. Der Phasenfaktor außerhalb des Integrals verschwindet bei der Berechnung der Intensität I(s). Werden nun die Klammern von P(s − r) aus Gl. 2.7 ausmultipliziert und s mit q = s Lλ substi- tuiert, folgt weiter 16 ψ(q) = e i2πL λ e iπ(q2 x+q2 y) Blende ⎛ =e i2πL λ e iπLλ(q2 x+q 2 y) · F {ψ(r) · P(r)} . ⎞ ⎜ 1 iπ ⎝ψ(r) e Lλ iLλ (x2 +y2 ⎟ ) ⎟ ⎠ =:P(r) · e−i2πq·r d 2 r (2.7) (2.8)

2.4 Kristallgitter Die Gl. 2.8 zeigt, dass die gebeugte und am Ort q vorliegende Welle ψ(q) mit dem Faltungsthoerem A.4 berechnet werden kann. Dabei entspricht die FT des Produkts von Objektwelle ψ(r) und Fresnel-Propagator P im Wesentlichen der Nahfeldpropagation aus Gl. 2.7. Die zusätzlichen Phasenfaktoren verschwinden bei Beobachtung des mit dem Faktor 1 Lλ skalierten Beugungsbildes mit I(q) = |F {ψ(r) · P(r)} | 2 . Fraunhofer-Beugung: Befindet sich die Objektwellenfunktion im Fernfeld, und gilt für die Ausdehnung der beugenen Apertur k 2 (x2 + y2 )max ≪ z, wird aus dem Fresnel-Propagator von . Daher resultiert in Fernfeldnäherung Gl. 2.8 P(x, y,0) ≈ 1 iLλ ψ(q) = e i2πL λ e iπLλ(q2 x +q2 y ) iLλ Blende ψ(r)e −i2πq·r d 2 r = e i2πL λ e iπLλ(q2 x +q2 y ) iLλ F {ψ(r)} . (2.9) In Fraunhofer- bzw. Fernfeldapproximation ist das Beugungsbild maßgeblich durch die FT der Objektaustrittswellenfunktion ψ(r) gegeben. Für das Betragsquadrat ergibt sich dann I(q) = 1 (Lλ) 2 |F {ψ(r)} | 2 . Nach [20] ist die Fraunhofer-Bedingung aufgrund des vergleichsweisen großen Abstands von Objektivlinse zur Bildebene erfüllt. Wird eine Sammellinse direkt hinter dem beugenden Objekt platziert, kann bereits in der hinteren Brennebene das Fraunhofer-Beugungsbild des Fernfeldes von Gl. 2.9 betrachtet werden. Die sphärische Geometrie der Linse verändert dabei beim Hindurchtreten der Elektronenwelle ihre Phase um einen Phasenfaktor P ∗ iπ − (r) = e Lλ (x2 +y2 ) , der komplex konjugiert zum Fresnel- Propagator ist und diesen in Gl. 2.8 kompensiert. Damit fungiert die Objektivlinse im Mikroskop als zweidimensionaler Fourier-Transformator und rechtfertigt die Annahme aus Abschn. 1.5, die Wellenpropagation durch das Mikroskop mit Hilfe der FT erfassen zu können. 2.4 Kristallgitter Im vorangegangenen Abschnitt wurde als beugende Apertur ein Kristall verwendet, da dessen atomare Abstände im Vergleich mit der Wellenlänge der Elektronenwelle von λ = 1, 969pm groß sind. Aus diesem Grund werden zunächst allgemeine Kristalleigenschaften und Begriffe eingeführt. Ein Kristall lässt sich grundsätzlich durch die Aneinanderreihung einer sich periodisch fortsetzenden Einheitszelle (EZ) zusammensetzen. Der folgende Begriff des direkten Gitters ist Synonym des Kristallgitters und dient nur zur Unterscheidung vom reziproken Gitter. Eine EZ wird durch Basisvektoren ai des direkten Gitters, die linear unabhängig sind, aufgespannt. Ein Gittervektor R besteht aus einer Kombination ganzzahliger Vielfache ni dieser Basisvektoren, also 3 R = niai. (2.10) i=1 Die Verschiebung um einen Gittervektor führt stets auf einen anderen Gitterpunkt im Kristall. Die im Kristall periodisch angeordneten Atome befinden sich in Netzebenen, die durch die Millerschen Indizes (hkl) charakterisiert werden. Diese Indizes (hkl) lassen sich mit den Schnittpunkten ( 1 1 1 , , ) von Netzebene und Einheitszelle des direkten Gitters bestimmen [20]. s1 s2 s3 17

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