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Bestimmung der Modulationstransferfunktion einer CCD-Kamera ...

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2 Wechselwirkung

2 Wechselwirkung hochenergetischer Elektronen mit Kristallen Überdies werden reziproke Gittervektoren ghkl definiert, die senkrecht auf den Ebenen (hkl) stehen und deren Beträge gleich den reziproken Abständen dhkl = 1 |ghkl| der Netzebenenscharen sind. Da das Konzept des reziproken Gitters sehr hilfreich bei der Beschreibung von Beugungsexperimenten ist, wird eine kurze Einführung gegeben. Die Definition der reziproken Basisvektoren bi erfolgt anhand der direkten Basisvektoren ai mit [20] ai · bj = δi,j mit bi = aj ×ak . (2.11) ai · (aj ×ak) Damit lässt sich also analog zum direkten Gittervektor R von Gl. 2.10 ein reziproker Gittervektor ghkl = h b1 + k b2 + l b3 angeben, (2.12) der senkrecht auf einer Netzebene (hkl) steht und mit dem direkten Gitter eng verknüpft ist. Die Millerschen Indizes (hkl) entsprechen den ganzen Zahlen h,k,l des reziproken Gittervektors. Gallium-Arsenid In den Untersuchungen wurden Gallium-Arsenid-Proben (GaAs) als binäres Halbleitermaterial verwendet. Gallium-Arsenid kristallisiert in Zinkblendestruktur, deren Einheitszelle in Abb. 2.3(a) gezeigt ist. (a) Zinkblendestruktur von GaAs. (b) Beugungsmuster in 〈1 00〉-ZA-Orientierung mit den verbotenen Reflexen markiert als Kreuze zwischen den Punktreflexen. Abbildung 2.3: (a) illustriert die EZ von GaAs. Die Atompositionen sind für As (0,0,0), ( 1 1 2 ,0, 2 ), (0, 1 1 1 1 1 2 , 2 ) bzw. (1 2 , 2 ,0). Die Ga-Atome sind dann um (1 4 , 4 , 4 ) zu den As-Positionen verschoben. (b) zeigt das Beugungsbild in [100]-ZA-Orientierung. Dabei symbolisieren die Kreuze die verbotenen -und die Punkte die erlaubten Reflexe (beide Abb. aus [20]) . Die Zinkblendestruktur ist ein kubisch flächenzentiertes (engl. face-centered cubic) Gitter mit den Konstanten a = b = c = 0, 5653 nm und α = β = γ = 90◦ [20]. Darüber hinaus hat , 0) für es eine zweiatomige Basis mit den Atompositionen (0, 0, 0), ( 1 2 18 , 0, 1 2 ), (0, 1 2 , 1 2 ) bzw. (1 2 , 1 2

2.5 Kinematische Beugungstheorie und Beugung am idealen Kristall Arsen und ( 1 1 1 3 3 1 3 1 3 4 , 4 , 4 ), (1 4 , 4 , 4 ), (1 4 , 4 , 4 ) bzw. (3 4 , 4 , 4 ) für Gallium. Aufgrund der oben angeführten Kristallmerkmale war bei den für die Arbeit gemachten TEM-Aufnahmen die Betrachtung des Beugungsbildes in ZA-Orientierung wichtig. Diese ist in Abb. 2.3(b) für GaAs in [1 0 0]- Zonenachse illustriert. Dabei repräsentieren die Kreuze zwischen den erlaubten Punktreflexen verbotene Reflexe. Im Folgeabschnitt wird ausführlicher auf die Bedeutung der ZA-Orientierung eingegangen. 2.5 Kinematische Beugungstheorie und Beugung am idealen Kristall Ausgangspunkt für die betrachtete Elektronenbeugung ist zunächst ein idealer Kristall ohne Defekte und Versetzungen. Weiter trete nur Einfachstreuung und elastische Streuung im Kristall auf, für die | k| = | k ′ | = 1 λ gilt. k ′ bezeichnet dabei den Wellenvektor der gestreuten -bzw. k den der in den Kristall eintretenden Elektronenwelle. Dies sind wichtige Aspekte bei der Betrachtung der Streuprozesse mit der kinematischen Beugungstheorie, die zwar zur Beschreibung der stattfindenden Streuprozesse nicht ausreicht, aber zur Erläuterung grundlegender Begriffe und als Zugang für die Beugungstheorie von Elektronen geeignet ist. Die Berücksichtigung von Mehrfachstreuung ist Gegenstand der in Abschn. 2.6.1 besprochenen, dynamischen Beugungstheorie. 2.5.1 Bragg-Beugung und Ewald-Konstruktion Beim Auftreffen einer Elektronenwelle mit dem Wellenvektor k auf einem idealen Kristall entsteht ein Beugungsbild, dessen Punktreflexe der Bragg-Bedingung nλ = 2dhkl sin(ΘB) gehorchen. (2.13) Dabei muss der in Abb. 2.4(a) in rot dargestelle Gangunterschied ∆s zwischen zwei an verschiedenen Netzebenen reflektierten Elektronenwellen k und k ′ die Bedingung ∆s = nλ genügen. Das ganzzahlige Vielfache n der Wellenlänge λ entspricht hierbei der Ordnung des Beugungsmaximums und der Bragg-Winkel ΘB gibt den Winkel für konstruktive Interferenz an. Die Übertragung hoher Ordnungen durch die Objektivlinse ist überdies für hochauflösende TEM- Aufnahmen zwingend erforderlich sind (s. Abschn. 2.1). Nach De Broglie sind Wellenvektor k und Impuls eines Elektrons p gleichgerichtet, d.h. k entspricht der Einfallsrichtung der Elektronenwelle. Anhand der Wellenvektoren k lässt sich die Bragg-Bedingung auch in eine für das reziproke Gitter äquivalente Form bringen [20, 33]: ghkl = k ′ − k = ∆k ⇐⇒ k ′ = k + ghkl. (2.14) Für einen reziproken Differenzvektor ghkl = ∆k von gestreuter und einfallender Elektronenwelle treten Beugungsreflexe auf, wenn dieser in einem reziproken Gitterpunkt auf der Ewald-Kugel endet, wie dies in Abb. 2.4(b) für die grün und orange markierten Gitterpunkte dargestellt ist. Die Ewald-Kugel mit dem Radius | k| wird so konstruiert, dass die Spitze des Wellenvektors k im Ursprung des reziproken Gitters, des Beugungsbildes, steht. Dabei befindet sich die Spitze des Wellenvektors k ′ der elastisch gestreuten Elektronenwelle ebenfalls auf der Ewald-Kugel. Die Äquivalenz beider Formulierungen lässt sich durch die Bildung des Skalarprodukts mit ghkl auf beiden Seiten von Gl. 2.14 und | k| = 1 λ schnell nachprüfen. Eine weitere Interpretation von Gl. 2.14 ist der Impulsaustausch zwischen den elastisch gestreuten Elektronen und dem Kristallgitter [20], was mit der in Abb. 2.4(b) skizzierten Ewald-Kugel verdeutlicht wird. 19

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