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Bestimmung der Modulationstransferfunktion einer CCD-Kamera ...

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2 Wechselwirkung

2 Wechselwirkung hochenergetischer Elektronen mit Kristallen (a) Bragg-Beugung am direkten Kristallgitter. (b) Ewald-Konstruktion im reziproken Gitter mit Einstrahlrichtung k der Elektronenwelle und Verkippung um den Winkel ϑ. Abbildung 2.4: (a) zeigt die vereinfachte Geometrie, die bei der konstruktiven Interferenz für zwei an verschiedenen Netzebenen reflektierten Elektronenwellen k und k ′ vorliegt und welche die Bragg-Bedingung erfüllt. Dabei muss für den rot markierten Gangunterschied ∆s = nλ gelten. Die in (b) gezeigte Ewald- Kugel im reziproken Gitter hat den Radius | k| = 1 λ , wobei der Wellenvektor k in einem reziproken Gitterpunkt endet und damit den Ursprung festlegt. Alle die Ewald-Kugel schneidenden, reziproken Gitterpunkte können als Reflexe zum Beugungsbild beitragen und geben die Streurichtungen k ′ für konstruktive Interferenz an (grün markierter Gitterpunkt). Zudem treten aufgrund der dünnen Probe in z-Richtung und des Anregungsfehlers sz weitere Reflexe auf, dessen funktionaler Verlauf schematisch links unten dargestellt ist. Weiterhin führt die Verkippung um ϑ gegenüber der Zonenachse zur Entstehung der nullten Laue-Zone (orange markierter Gitterpunkt). Um die Ewald-Bedingung für Beugungsreflexe mathematisch zu erfassen, kann eine Ewald- Kugel mit einer Kugelgleichung und dem Radius | k| 2 = k2 = 1 λ2 konstruiert werden. Die Einführung eines beliebigen, reziproken Gittervektors q führt zu [20] 1 λ 2 = (q + k) 2 = q · q + 2q · k + k 2 =λ −2 =⇒ q · (q + 2 k) = 0. (2.15) Jeder reziproke Vektor q, der dieser Ewald-Bedingung folgt, befindet sich somit auf der Ewald- Kugel und kann demnach zu einem Beugungsreflex führen. Wird in Gl. 2.15 q = ghkl = ∆k gesetzt, was der Bragg-Bedingung entspricht, folgt ghkl · (( k ′ − k) + 2k) = ghkl · ( k ′ + k) = 0, womit ( k + k ′ ) in der Netzebene liegt. 2.5.2 Orientierung in Zonenachse und Laue-Zonen Im Zusammenhang mit der Ewald-Konstruktion ist für die in dieser Arbeit gemachten TEM- Aufnahmen die Zonenachsen-Orientierung ein wichtiger Begriff. Die Zonenachse tuvw (ZA) steht senkrecht zu den reziproken Gittervektoren ghkl zweier oder mehrerer Ebenenscharen, z.B. zu den Gittervektoren g1, g2 und g3 aus Abb. 2.5(a). Mit dem Kreuzprodukt dieser reziproken Vektoren, z.B. g1 und g2, resultiert die gesuchte ZA zu tuvw ∝ g1 × g2. Diese Relationen definieren dann 20

2.5 Kinematische Beugungstheorie und Beugung am idealen Kristall (a) (b) Abbildung 2.5: In (a) definiert die in grün dargestellte Zonenachse tuvw (ZA) eine Zone. Dabei steht die ZA senkrecht zu den reziproken Gittervektoren g1, g2 und g3 und bildet mit den dazugehörenden Ebenenscharen gemeinsame Schnittlinien. (b) zeigt für Gallium-Arsenid ein experimentelles Beugungsbild mit Kikuchi-Bändern in [100]-Zonenachsen-Orientierung. die Zonen-Gleichung für die nullte Laue-Zone zu tuvw · ghkl = hu + kv + lw = 0. (2.16) Alle Ebenen (hkl), die mit der ZA eine Schnittlinie bilden und dessen reziproke Gittervektoren ghkl somit senkrecht zur ZA stehen, geben die Zone an (s. Ebenen in Abb. 2.5(a)). Sind bei GaAs-Kristallen Probe und Wellenvektor k in [1 0 0]-Zonenachse orientiert und damit nicht verkippt, werden die Beugungsmuster aus Abbildungen 2.3(b) und 2.5(b) als Tangentialschnitt des reziproken Raums beobachtet. Bei einer verkippten Probe bilden sich sogenannte Laue-Zonen aus, wenn ein reziproker Gittervektor senkrecht auf der ZA steht und sein reziproker Gitterpunkt die Ewald-Kugel schneidet. Die Ewald-Konstruktion für eine verkippte Probe ist exemplarisch in Abb. 2.4(b) dargestellt. Dabei steht der reziproke Vektor g2 senkrecht auf der ZA und endet im orange unterlegten Gitterpunkt. Es entsteht damit der Laue-Kreis für die nullte Laue-Zone, dessen Zentrum in Grafik 2.4(b) als blauer Punkt markiert ist [20]. Laue-Zonen höherer Ordnung haben sehr große Radien und sind in der Grafik nicht dargestellt. Ferner liegen im Beugungsbild von Abb. 2.5(b) sogenannte Kikuchi-Bänder vor, welche Indikatoren für das Zentrum des Laue- Kreises sind. Die Kikuchi-Bänder entstehen durch Mehrfachstreuung am thermisch ungeordneten Kristall, bei dem zunächst die Bragg-Bedingung für die Elektronen nicht erfüllt ist. Im Zuge der weiteren Propagation durch den Kristall kann jedoch die Bragg-Bedingung für anschließende Streuungen wieder erfüllt sein, so dass sich Kikuchi-Bänder im Beugungsbild ausbilden (s. Abb. 2.5(b)). 21

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