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Bestimmung der Modulationstransferfunktion einer CCD-Kamera ...

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2 Wechselwirkung

2 Wechselwirkung hochenergetischer Elektronen mit Kristallen zur optischen Achse parallele Komponenten ∆r = ∆xy + ∂2 ∂z 2 die Form [35] ∆xy + ∂2 i4π + ∂z2 λ ∂ ∂z + 4π2 ÛE(r) ψ(r) = 0. (2.24) Entlang der Propagationsrichtung z ändert sich die Amplitude nur geringfügig, und es gilt für sehr kleine λ = 1, 969 pm die Relation ∂2 ∂z2 ≪ 1 ∂ λ ∂z . Für hohe Beschleunigungsspannungen kann daher nach [8, 35] die zweite Ableitung ∂2 ∂z2 vernachlässigt werden, was letztlich zur Hochenergie- Näherung der Elektronen führt [35]: ∂ψ(r) ∂z = iλ 4π ∆xy + iπλÛE(r) ψ(r). (2.25) Lösung mit Multislice Die formale Lösung dieser inhomogenen Differentialgleichung erster Ordnung nach z aus Gl. 2.25 ist mit den quantenmechanischen Operatoren ˆ ∆ := iλ 4π ∆xy und Û(r) := iπλÛE(r) wie folgt [8] ⎡ ψ(x, y, z + δz) = exp ⎣ z+δz z ⎤ ( ˆ ∆ + Û(x, y, z′ )dz ′ ⎦ψ(x, y, z). (2.26) Die Operatoren in Exponentialform werden auf die Wellenfunktion ψ(r) angewendet, wobei die Ausführung des Integrals im Exponenten weiterführt zu ψ(x, y, z + δz) = e [δz· ˆ ∆+ˆvδz(x,y)] · ψ(x, y, z) mit ˆvδz(x, y) = z+δz z Û(x, y, z ′ )dz ′ . (2.27) ˆvδz(x, y) stellt den Operator des projizierten und lateral ausgedehnten Potenzials mit den Koordinaten (x,y) für die Schicht j der Dicke δz dar (s. Abb. 2.8(b)). Nach dem Zassenhaus-Theorem [8, 20] führt die FT mit k 2 = k 2 x + k 2 y auf F {ψ(x, y, z + δz)} =F e δz· ˆ ∆ ˆvδz (e ψ(x, y, z)) =e −i·δz·πλk2 · F e ˆvδz ψ(x, y, z) . Im zweiten Schritt wurde die Reihenentwicklung von exp(δz · ˆ ∆) auf die ebene Welle e −i k·r des FT-Integrals angewendet [8]. Die gliedweise Differentiation resultiert erneut in eine Exponentialreihe und damit zu einer Exponentialfunktion nach k 2 . Die Multislice-Lösung für jede Schicht j der Dicke δz wird mit der inversen FT und dem Faltungstheorem A.4 erreicht [8, Kap. 6.4]: −1 ψj+1(x, y,(j + 1) · δz) =F e −i·δz·πλk2 ⊗ e ˆvδz,j · ψj(x, y, j · δz) =P(x, y, δz) ⊗ e ˆvδz,j · ψj(x, y, j · δz) . (2.28) In der Praxis wird jedoch die Propagation stets im Fourier-Raum realisiert. Dabei wurde nach der inversen FT der Fresnel-Propagator P aus Abschn. 2.3 verwendet. Der letzte Term in Gl. 26

2.6 Dynamische Beugungstheorie und Elektron-Phonon-Streuung 2.28, der die Anwendung des Potenzialoperators auf ψ(x, y) ausdrückt, verändert nur die Phase von ψ(r), so dass diese Operation auch als Phase grating bezeichnet wird [35]. Verschwindet das Potenzial mit Ûj(r) = ˆvδz,j = 0, gibt es nur eine ungestörte, freie Ausbreitung der Elektronen mit dem Fresnel-Propagator P, was der Nahfeldausbreitung aus Abschn. 2.3 mit Gl. 2.7 entspricht: ψ (frei) j+1 (x, y, z + δz) = P(x, y, δz) ⊗ ψj(x, y, z) mit P(x, y, δz) = 1 iπ e λ·δz iλ · δz (x2 +y2 ) . (2.29) Das Schaubild aus Abb. 2.8(a) skizziert die erhaltene Multislice-Lösung aus Gl. 2.28. In Grafik 2.8(a) wird die eintretende Elektronenwelle als Erstes am projizierten Kristallpotenzial ˆvδz,j gestreut und propagiert anschließend über die gesamte Schichtdicke δz frei bis zur Schicht j. In der letzten Schicht wird die Zwischenelektronenwelle ψj(r) nur noch zu Anfang am Potenzial ˆv δz,(j+1) gestreut, die weitere Schichtdicke δz bleibt unberücksichtigt. Vakuum bereich δz Eintretende Elektronen Projizierte Potenziale j=1 j=2 z j=n (a) Seitenansicht einer unterteilten Probe. (b) Auf die Elektronen wirkendes, laterales Kristallpotenzial ˆvδz,j(x, y). δz/2 z δz Eintretende Elektronen δz Projizierte Potenziale (c) Verwendetes Multislice- Verfahren. Abbildung 2.8: Veranschaulichung der Multislice-Methode: (a) gibt die Multislice-Lösung Gl. 2.28 an, bei der die Methode mit der Streuung am Potenzial ˆvδz,1(x,y) beginnt. Das Potenzial kann für jede Schicht unterschiedlich sein. (b) skizziert die laterale Ausdehnung des Potenzials ˆvδz,j(x,y). (c) illustriert die letztlich verwendete Methode von Gl. 2.31. Es wird zu Anfang und am Ende um δz 2 frei propagiert und in jeder Schicht auf halber Strecke am Potenzial ˆvδz,j gestreut. Um ein genaueres Ergebnis zu bekommen, geschieht die Anwendung des Potenzials ˆvδz,j(x, y) zentral in einer Schicht nach der zunächst freien Nahfeldpropagation durch die halbe Schichtdicke δz δz 2 (vgl. Abb. 2.8(c)). Im Anschluss wird erneut durch 2 frei propagiert. Es gilt nach [35] und [8, Kap. 6.11] zunächst e δz·( ˆ ∆+ˆvδz,j) ≈ e δz 2 ˆ ∆ · e ˆvδz,j · e δz 2 ˆ ∆ . (2.30) Schlussendlich wird in den später durchgeführten Simulationen für die Objektaustrittswellenfunktion (OAWF) ψ(x, y, z) = ψ(x, y, nδz) das folgende Schema anhand der Gleichungen 2.27 und 2.30 verwendet ψ(x, y, n · δz) ≈ n j=1 e δz 2 ˆ ∆ · e ˆvδz,j · e δz 2 ˆ ∆ j ψ(x, y,0). (2.31) Dabei symbolisiert Π die sukzessive Anwendung des j-ten Operators auf die (j −1)-te Zwischenwellenfunktion ψj−1(x, y,(j − 1)δz) bis j=n erreicht ist. 27

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