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Bestimmung der Modulationstransferfunktion einer CCD-Kamera ...

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2 Wechselwirkung

2 Wechselwirkung hochenergetischer Elektronen mit Kristallen 2.6.3 Frozen Phonon und Frozen Lattice Da die Elektronen die Proben mit relativistischen Geschwindigkeiten von v = 0, 77c passieren, erfahren sie nur eine Momentaufnahme des thermisch schwingenden Kristallgitters, wie in Abb. 2.9(b) gezeigt ist. Diese Sichtweise legt nahe, dass auf die Elektronen bei Propagation durch den Kristall nur ein statisches Potenzial auf sie wirkt. Dies wird mit der nachstehenden Rechnung belegt. Es sei nochmal betont, dass die thermisch ausgelenkten Atome nur im geringen Maße von ihrer Gleichgewichtslage abweichen, typischerweise unter 10 pm im Mittel bei einer Temperatur von 300 K. Die Transmissionsdauer durch eine Probe mit der Dicke d = 100 nm beträgt etwa ∆t = 0, 4 · 10 −15 s. Die Frequenz von niederfrequenten, akustischen Phononen, welche die TDS verursachen [49], liegt bei ca. 10 THz, was einer Periodendauer von T = 10 −13 s entspricht [35, 49]. Diese sind also um drei Größenordnungen höher als die Transmissionsdauer der Elektronen, also T ≈ 10 3 ·∆t. Damit braucht also keine explizite Zeitabhängigkeit der thermischen Atomschwingungen, wie in Abb. 2.9(a) skizziert, berücksichtigt zu werden. Demzufolge werden die Elektronen somit an quasi-statischen, ungeordneten Kristallen elastisch gestreut (s. Abb. 2.9(b)). (a) Thermische Oszillationsrichtungen der projizierten Potenziale vδz,j einer Schicht j. (b) Eine statische Konfiguration am Beispiel einer Schicht j, in der die projizierten Potenziale vδz,j statisch ausgelenkt sind. Abbildung 2.9: In (a) sind Richtungen der thermischen Schwingungen exemplarisch dargestellt. Grundsätzlich ist in jede der drei Raumrichtungen eine thermische Oszillation möglich. (b) gibt mit den durchgezogenen Kreisen eine Momentaufnahme des Kristallpotenzials an, und damit eine Konfiguration. Die gestrichelten Kreise stellen die Gleichgewichtslagen der schwingenden Rumpfatome dar. (a) und (b): In orange ist die Richtung des Wellenvektors der Elektronenwelle eingezeichnet. Im Sinne dieser eingefrorenen Momentanzustände wird zwischen zwei Modellen unterschieden. Das ist einerseits Frozen lattice, wo das Einstein-Modell mit unkorrelierten Atomauslenkungen angenommen wird, und andererseits Frozen phonon, welches Korrelationen zwischen den Atomen einbezieht [17, 35]. Letzteres kann anhand von Phononendispersionen abgeleitet werden, die mit Hilfe der Dichtefunktionaltheorie berechenbar sind [19, 50]. Diese Betrachtungen führen zum Begriff der Konfiguration, welche den momentanen Zustand des Kristallpotenzials charakterisiert. In einer Konfiguration wird jeder Schicht j eine zufällige Atomauslenkung zugeordnet, was in Abb. 2.9(b) mit der Verschiebung der blauen Punkte als Rumpfatome angedeutet ist. Schematische Äquipotenziallinien sind mit den durchgezogenen blauen Kreisen angegeben, wobei die gestrichelten die der Gleichgewichtslagen darstellen. Alle Schichten mit zufallsverteilten Auslenkungen geben dann kollektiv einen Momentanzustand des 28

2.7 Kohärenz Kristalls und damit eine Konfiguration an. Insgesamt muss also über viele Konfigurationen gemittelt werden, um eine realistische Wechselwirkung zu simulieren [17]. Im Weiteren richtet sich der Fokus nur noch auf den Frozen-Lattice-Ansatz mit unkorrelierten Atombewegungen. Bei Frozen-Lattice propagieren die Elektronen für jede Konfiguration kohärent, es tritt kein Energieverlust auf, wodurch die Interferenzfähigkeit mit dem Primärstrahl erhalten bleibt [17]. In diesem Zusammenhang wird zwar eine dynamische, aber offenbar keine inelastische Beugung der Elektronen am Kristallgitter berücksichtigt, so dass sich die Frage stellt, inwiefern die Annahme der elastischen Streuung gerechtfertigt ist. Dieser Widerspruch wird von Wang und Van Dyck mit dem Vergleich einer quantenmechanischen, inelastischen Rechnung und Frozen-Lattice aufgelöst, der die Äquivalenz beider Methoden aufzeigt, falls über genügend Konfigurationen gemittelt wird [49, 51, 17]. Damit stellt sich also Frozen-Lattice als adäquates Simulationsmodell zur Berechnung von elastischer und inelastischer Elektron-Phonon-Streuung, also von TDS, heraus. 2.7 Kohärenz Bei Frozen-Lattice wurde der Begriff der Kohärenz angeführt, der die Voraussetzung für die Interferenz der am Kristall gebeugten Elektronenwelle ist. Interferenz entsteht also nur für kohärente Elektronenwellen, was nach Abschn. 2.1 die Grundlage für hochauflösende Bilder als kohärente Abbildung ist [34]. Im Idealfall wird eine sphärische Elektronenwelle ψ(r) von einer Punktquelle im Brennpunkt einer Kondensorlinse ausgesandt und trifft als ebene Welle auf die Probe [20]. Im Allgemeinen wird also unter Kohärenz eine feste Phasendifferenz mit einer identischen zeitlichen Abhängigkeit der Amplitude der interferierenden Wellen ψ(r) verstanden [42]. Daher gibt es eine räumliche und zeitliche Kohärenz. Räumliche Kohärenz In diesem Zusammenhang werden die Emissionseigenschaften der im Titan verwendeten Schottky- FEG aus Abschn. 1.3.1 aufgegriffen. Die endliche Ausdehnung der Emissionsfläche führt auf eine nicht-isoplanare, also eine vom Ort der Emission abhängige Einfallsrichtung der Elektronenwelle, und wird mit dem Winkel β erfasst (s. grün farbige Winkel in Abb. 2.10(a)). Daraus ergibt sich eine zur optischen Achse rotationssymmetrische und winkelabhängige Gauß-Verteilung der Wellenvektoren k der auf die Probe einfallenden Elektronenwellen, auch dann, wenn eine optimale Parallelbeleuchtung am Mikroskop eingestellt ist. Diese Gauß-Verteilung wird mit der Dichtefunktion ρ (α) s (|q|) und dem Semikonvergenzwinkel α charakterisiert [32]. Die Umrechnung von einem Winkel ϑ in einem lateralen, reziproken Vektor |q| ist in Abb. 2.10(b) veranschaulicht. Daraus ergibt sich mit α eine Standardabweichung von σ = |q|α = 0, 10nm −1 für die Verteilung. Die räumliche Kohärenz wird auch transversale bzw. laterale Kohärenz genannt, womit eine transversale Weite Λsc nach [34, Kap.4] definiert werden kann: Λsc = λ . (2.32) 2πα Wird also eine Elektronenwelle ψ(r) an zwei Objekten im Abstand von r < Λsc gestreut, z.B. an zwei benachbarten Atomen in einer Netzebene, überlagern sich ψ1 und ψ2 kohärent zu [20] I(r) = |ψ1(r) + ψ2(r)| 2 = |ψ1(r)| 2 + |ψ2(r)| 2 + {ψ1(r)ψ ∗ 2(r) + ψ ∗ 1(r)ψ2(r)} (2.33) 29

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