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Bestimmung der Modulationstransferfunktion einer CCD-Kamera ...

Bestimmung der Modulationstransferfunktion einer CCD-Kamera ...

3 Kontrastenstehung und

3 Kontrastenstehung und Abbildung lenfront ψ(r) berücksichtigt werden muss, also α > 0, da die Schottky-FEG keine Punktquelle ist (s. Abb. 2.10). Nicht zuletzt muss auch die begrenzte, temporale Kohärenz wegen ∆ > 0 betrachtet werden, wie in Abschn. 2.7 erläutert wurde. 3.3 Nichtlineare Abbildung Ausgehend von der OAWF werden alle nichtlinearen, bildentstehenden Einflüsse bis zur Bildebene untersucht. Die Inkohärenz aus Abschn. 2.7 wird zunächst nicht betrachtet und im zweiten Teil dieses Abschnitts behandelt. Hierbei ist wichtig zu bemerken, dass es sich um kleine Winkel im mrad-Bereich und damit um achsnahe Strahlen handelt. Dadurch nehmen ausschließlich die Aberrationen der Objektivlinse starken Einfluss auf die Bildentstehung, alle anderen Linsen werden vernachlässigt (s. Abschn. 1.3.2). Bei Propagation der Wellenfunktion ψ(r) durch die Objektivlinse entsteht das Beugungsmuster in der hinteren Brennebene mit |F{ψim(r)}| 2 . Da die Übertragungseigenschaften der Objektivlinse die Phase von F{ψ(r)} gemäß Gl. 3.5 ändern, folgt dann für ein aberrationsbehaftetes und ggf. durch eine in der hinteren Brennebene platzierte Objektivapertur A( k) modifiziertes Bild I(r) = |ψim(r)| 2 −1 = |F F{ψ(r)} · A( k) · τ( k) | 2 . (3.6) Dabei gilt für die Aperturfunktion A( k) = 1, wenn die gebeugten Elektronenwellen mit dem Wellenvektor | k| < r innerhalb der Apertur mit dem Radius r liegen, sonst gilt A( k) = 0. 3.3.1 Kohärente Abbildung Zunächst werden Inkohärenzeffekte vernachlässigt. Zusätzlich wird lediglich die Übertragung der Bragg-Reflexe und der Übersichtlichkeit halber keine Beiträge aus der TDS betrachtet. In der hinteren Brennebene liegen dann nur die Bragg-Reflexe vor, die von der Objektivapertur mit der Funktion A( k) hindurch gelassen werden. Die Wellenfunktion F {ψim(r)} in der Brennebene lautet F {ψim(r)} = F {ψ(r)} · A( k) · τ( k). (3.7) Die Bildintensität ergibt sich aus der inversen FT und der anschließenden Betragsquadratbildung [29]: ⎛ I(r) = ⎝ ψge i2πg·r ⎞ ⎛ · A(g) · τ(g) ⎠ · ⎝ ψ ∗ e h −i2π ⎞ h·r · A( ∗ h) · τ ( h) ⎠ (3.8) g Das Diffraktogramm lässt sich mit einer erneuten FT berechnen [29]: I(q) = g h h ψgτ(g)A(g) · ψ ∗ h τ ∗ ( h)A( h)δ( h − g + q) (3.9) Die zusammengefasste Rechnung zeigt, wie komplex bereits die nichtlineare Abbildung bei vollständiger Kohärenz ist. Alle Bragg-Reflexe, welche die Bedingung g ′ = g − h erfüllen, und durch die Objektivapertur A( k) gelangen, bilden einen Reflex g ′ im Diffraktogramm. Im Diffraktogramm treten dann zusätzliche Reflexe auf, die im Beugungsbild gar nicht von der Objektivapertur übertragen werden, z.B. entsteht durch Interferenz von h = −g und g ein weiterer Reflex g ′ = 2g. 36

3.3.2 Inkohärente Abbildung mit Transmissionskreuzkoeffizienten 3.3 Nichtlineare Abbildung Nach Abschn. 3.3.1 gilt für einen Reflex g ′ im Diffraktogramm bei kohärenter Abbildung I(g ′ ) = ψh+g ′τ( h + g ′ )ψ ∗ τ h ∗ ( h). (3.10) h∈A Für das Einbringen der Inkohärenzen aus Abschn. 2.7 werden jeweils Gauß-Verteilungen mit den Dichtefunktionen ρ (α) s (|q|) für die räumliche und ρ (∆) T (ǫ) für die temporale Kohärenz angenommen [29]. Jede der beiden Gauß-Verteilungen wird isoliert von der anderen mit der CTF aus Gl. 3.10 multipliziert und anschließend nach |q| bzw. ǫ integriert. Mit dem Resultat der Integrationen können sowohl die räumliche als auch die zeitliche Kohärenz mit zusätzlichen En- veloppenfunktionen E (α) s , E (∆) T ausgedrückt und im Diffraktogramm durch Multiplikation mit der kohärenten CTF berücksichtigt werden: I(g ′ ) = h∈A =: h∈A ψ h+g ′ψ ∗ h · τ( h + g ′ ) · τ ∗ ( h) · E (α) s · E (∆) T ψ h+g ′ψ ∗ h · T (CC) h+g ′ , h (ǫ, Cs, α,∆). (3.11) Dabei wurde zuletzt der Transmissionskreuzkoeffizienten (engl. Transmission Cross Coefficent (TCC)) definiert. Für gewöhnlich stehen die Enveloppen für die entsprechende Inkohärenz, wobei deren mathematische Form in [20, 29] zu finden ist. Grafik 3.3 zeigt den Verlauf der räumlichen Inkohärenzenveloppe und die CTF aus Abb. 3.2 mit den Parametern α = 0, 2 mrad, Cs = −3, 1 µm und einem Defokus ǫscherz = −2, 5 nm. pCTF 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 pCTF mit ε scherz ≈ −2.5nm Gedaempfte pCTF Raeumliche Inkohaerenzenveloppe 0 10 20 30 40 50 Frequenz (nm −1 ) Abbildung 3.3: Die blaue CTF gibt den ungedämpften Verlauf für den Scherzer-Defokus ǫscherz = −2,5nm und für Cs = −3,1µm an. Die schwarz gestrichelte Enveloppe steht für die räumliche Inkohärenz, vorgegeben durch den Semikonvergenzwinkel α = 0,2mrad. Diese sorgt für eine Dämpfung der CTF in hohen Winkelbereichen bzw. Frequenzen und ist in rot dargestellt. Im Vergleich zu der kohärenten CTF aus Abb. 3.2 werden die in den hohen Winkelbereich gestreuten Elektronen weggedämpft, d.h. es werden Elektronen vollständig aus der Rechnung 37

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