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Bestimmung der Modulationstransferfunktion einer CCD-Kamera ...

Bestimmung der Modulationstransferfunktion einer CCD-Kamera ...

3 Kontrastenstehung und

3 Kontrastenstehung und Abbildung entfernt. Nach Van Dyck bedeutet dies die Verletzung der Teilchenzahlerhaltung, denn die zu hohen Winkeln gestreuten Elektronen im Beugungsbild tragen zwar nicht zum HRTEM-Muster bei, dennoch kommen sie als Hintergrundintensität im HRTEM-Bild vor [18]. 3.3.3 Inkohärente Abbildung mit inkohärenter Summierung Ein anderes Modell zur nichtlinearen und inkohärenten Abbildung der OAWF liefert Van Dyck, mit dem die Elektronenzahl erhalten bleibt. Dies geschieht über die Mittelung der aus Abschn. 2.6.3 eingeführten Konfigurationen, die jeweils kohärent mit der CTF der Objektivlinse übertragen werden [18]. Dies bildet die Grundlage für die in der Arbeit durchgeführten Simulationen. Zunächst werden ausreichend viele normalverteilte, thermische Kristallkonfigurationen N festgelegt, um, wie bereits in Abschn. 2.6.3 angesprochen, eine realistische Simulation der Elektron- Phonon-Streuung zu bekommen. Die durch den Kristall propagierte Elektronenwelle ψ(r) wird ausschließlich elastisch am ungeordneten Kristallpotenzial gestreut und wird für jede Konfiguration mit der CTF der Objektivlinse gemäß Abschn. 3.2 kohärent übertragen und abgebildet (s. Abschn. 3.3.1). Die räumliche Inkohärenz wird weiterhin mit der Dichtefunktion ρ (α) (q) aus Abschn. 2.7 berücksichtigt. Wegen der numerischen Natur der Simulation ist die Dichtefunktion nicht kontinuierlich und wird in M diskrete, laterale Vektoren |qi| mit den dazugehörenden Wahrschein- lichkeiten ρ (α) i (|qi|) unterteilt. Jede der Konfigurationen wird mit jedem der lateralen Vektoren von der Eintrittselektronenwelle ψ(x, y,0) mit dem Wellenvektor k durchstrahlt, so dass sich P = N × M zu berechnende Kombinationen ergeben. Abbildung 3.4: Eine schematische Konfiguration der projizierten Potenziale vδz(x,y) ist mit den blauen Punkten dargestellt. Die räumliche Inkohärenz wird mit der schräg auf die Probe eintretenden Elektronenwelle ψ(x,y,0) mit dem Wellenvektor k einbezogen. Der schräge Einfall ist mit dem lateralen q und dessen Verteilung mit ρ (α) s (q) aus Abschn. 2.7 gegeben. Es liegen mit der räumlichen Inkohärenz zunächst P Zwischenaustrittswellenfunktionen ψp(r) vor. Für die weitere Abbildung mit temporaler Inkohärenz wird für jede der Austrittswellen- funktionen ψp(r) der Mittelwert 〈Ip〉 gemäß Gl. 3.12 über die Defokusverteilung ρ (∆) i (ǫi) aus Abschn. 2.7 bestimmt. Es folgt zunächst für den Mittelwert einer Zwischenwellenfunktion [30]: 38 〈Ip〉 = ρ (∆) −1 i (ǫi) · F F {ψp(r)} ( k) · τi( 2 k; ǫi) . (3.12) i

3.4 Modulationstransferfunktion bildgebender Systeme In der Summe wird wiederholt mit Gl. 3.6 das Faltungstheorem A.4 ausgenutzt. Anschließend wird mit der diskreten Dichtefunktion ρ (∆) i (ǫi) die gemittelte Bildintensität 〈Ip〉 für eine Kombination bestimmt. Dabei ist nochmals hervorzuheben, dass bei der Mittelung jede CTF τi( k; ǫi) mit ǫi variiert und ψp(r) kohärent mit τi( k; ǫi) übertragen wird (s. Abschn 3.2). Außerdem ist diese Abbildung nach dem Ansatz aus Gl. 3.9 ebenfalls nichtlinear. Abschließend wird gemäß Gl. 3.13 über alle Kombinationen P gemittelt, um über die Summierung die inkohärente Abbildung 〈I〉TDS und damit die TDS aus Abschn. 2.6.1 im Bildkontrast einzubeziehen [30]: 〈I〉TDS = 1 P 〈Ip〉. (3.13) P Die schlussendlich resultierende Mittelwertbildung über die große Anzahl von Kombinationen mittels der räumlichen und temporalen Inkohärenz aus Abschn. 2.7 liefert die inkohärente und nichtlineare Abbildung. Dabei bleibt im Gegensatz zu den zuvor dargelegten Inkohärenzenveloppen aus Abschn. 3.3.2 die Gesamtintensität im Diffraktogramm erhalten [18]. 3.4 Modulationstransferfunktion bildgebender Systeme Nachdem die konkrete Bildentstehung im TEM beleuchtet wurde, steht nun die Aufzeichnung der HR-TEM-Bilder im Vordergrund. In Allgemeinen werden die Transfereigenschaften eines aufzeichnenden Systems mit einer charakteristischen PSF, die analog zur inversen FT der CTF von Gl. 3.5 ist (s. Abschn. 3.2), beschrieben. Dabei hat die PSF der CCD-Kamera, T(r), einen verschmierenden Effekt (engl. spreading) auf die abzubildende und aberrationsbehaftete Intensitätsverteilung der OAWF I(r) = |ψim(r)| 2 , gegeben mit Gl. 3.6. Mathematisch wird die von der CCD aufgezeichnete Intensitätsverteilung IE(r) durch eine Faltung der Intensität I(r) mit der PSF der CCD-Kamera, T(r), beschrieben: IE(r) = ∞ −∞ p=1 I(r ′ ) · T(r − r ′ )d 2 r ′ = (I ⊗ T)(r). (3.14) In der Praxis wird allerdings zur Ausführung des Faltungsintegrals das Faltungstheorem A.4 ausgenutzt, mit dem das Faltungsintegral im Fourier-Raum durch eine einfache Multiplikation beider FTs berechnet werden kann: F {IE(r)} = F {(I ⊗ T)(r)} = F {I(r)} · F {T(r)} . (3.15) =:MTF( k) Für die FT der PSF von Aufzeichnungsmedien wird üblicherweise der Begriff Modulationstransferfunktion (MTF) mit der Definition MTF( k) := F {T(r)} verwendet. Die MTF kann als ein Maß für die Qualität der CCD-Kamera aufgefasst werden. Ihr Einfluss auf z.B. ein scharfkantiges, quadratisches Objekt ist in Abb. 3.5 illustriert. Abbildung 3.5(a) zeigt zunächst ein scharfkantiges Quadrat, mit abrupten Übergangen von weiße auf schwarze Bereiche. In Abb. 3.5(b) wird das scharfkantige Quadrat durch eine gleiche, quadratische PSF gefaltet, was zu verschmierten Kanten in Abb. 3.5(b) führt. Je größer die Ausdehnung der PSF ist, umso größer wird die Verwaschung und Verfälschung des abzubildenden Objekts I(r). Die FT-Korrespondenz zwischen PSF im Realraum und MTF im Frequenzraum bedingt bei breiter PSF eine schmale 39

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