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Bestimmung der Modulationstransferfunktion einer CCD-Kamera ...

Bestimmung der Modulationstransferfunktion einer CCD-Kamera ...

3 Kontrastenstehung und

3 Kontrastenstehung und Abbildung y (px) 20 40 60 80 100 20 40 60 80 100 x (px) (a) Scharfkantiges Quadrat als zweidimensionales Beispielsignal. y (px) 20 40 60 80 100 20 40 60 80 100 x (px) (b) Verwaschene Kanten des Beispielsignals. Abbildung 3.5: Faltung einer quadratischen PSF in (a), gegeben mit T(x,y) = rect( x y a ) · rect( a ), mit einem abzubildenden Quadrat gleicher Ausdehnung I(x,y) = T(x,y). Das Resultat der Faltung drückt sich mit der Verwaschung der scharfen Kanten in (b) aus. MTF. Eine Beispiel-MTF ist in der Mitte von Abb. 3.6 dargestellt. Diese fällt bereits bei kleinen Frequenzen stark ab, was eine starke Dämpfung zu hohen Raumfrequenzen hin bedeutet. Die Intensitäten feiner Strukturen, wie beispielsweise bei Stufen- oder Kantenobjekten, werden nicht mehr übertragen, wie bereits Abb. 3.5 gezeigt hat. log(abs(I DG )+1) 10 5 0 −10 0 10 k (nm x −1 ) 1 0.5 0 −10 0 10 k (nm x −1 ) log(abs(I DG )+1) 10 5 0 −10 0 10 k (nm x −1 ) Abbildung 3.6: Gezeigt ist auf der linken Seite ein achsensymmetrisches Beispielspektrum F {I(r)}, das logarithmisch aufgetragen ist. Dieses wird mit der MTF im mittleren Bild multipliziert. Das Ergebnis ist das rechts in rot dargestellte und modulierte Spektrum F {IE(r)}. Das ursprüngliche Spektrum F {I(r)} ist zum Vergleich blau gestreift kenntlich gemacht. Das modifizierte (rote) Diffraktogramm zeigt sogar bei logarithmischer Auftragung deutlich nach außen hin abnehmende Intensitäten. Die MTF gibt somit an, wie die Bildintensitäten in Abhängigkeit ihrer Raumfrequenz k = (kx, ky) im Objektspektrum bzw. Diffraktogramm übertragen werden. Eine ideale MTF hat den konstanten Wert 1 und transferiert demnach alle Frequenzen des Objektspektrums gleich, womit keine Modifizierung des Bildes einhergeht. Betrachtet man die dazugehörende PSF im Realraum, entspricht diese einer δ-Distribution. Eine solche ideale Objektabbildung im Realraum ist dann gemäß Gl. 3.14 die Faltung der Intensitätsverteilung I(r) der aberrationsbehafteten OAWF ψim(r) mit einer δ-Distribution als PSF: 40 IE(r) = ∞ −∞ δ(r ′ ) · I(r − r ′ )d 2 r ′ = I(r). (3.16)

3.4 Modulationstransferfunktion bildgebender Systeme Die durch die CCD-Kamera abgebildete Intensitätsverteilung IE(r) entspricht dann der abzubildenden Intensitätsverteilung I(r). Eine reale MTF, wie sie im mittleren Bild von Grafik 3.6 illustriert ist, hat hingegen den Idealwert 1 nur für die Nullfrequenz k = 0 und sinkt stetig mit steigenden Raumfrequenzen k. Charakteristisch ist zudem ein starker Abfall bereits bei kleinen Frequenzen (in Abb. 3.6 hat die MTF bereits für 5nm −1 nur noch den Wert 0, 5), so dass insbesondere die Intensitäten hoher Frequenzen kaum im aufgezeichnetem Bild auftauchen [21]. Die Dämpfung des Signals ist in Abb. 3.6 im rechten Bild anhand der roten Kurve gegenüber der blau gestreiften zu erkennen. Letztlich werden mit den hochfrequenten Anteilen feine Strukturen des Signals übermittelt. Dies wirkt sich also auf den Kontrast der mit der CCD-Kamera aufgenommenen TEM-Bilder aus [11]. Modulationstransferfunktion der CCD-Kamera Die in Abschn. 1.3.3 vorgestellte CCD-Kamera besteht aus mehreren Komponenten, womit sich die zugehörige MTF ebenfalls in mehrere Anteile aufspalten lässt [11, 21, 25]. In der Literatur [11, 21] wird begründet, dass die MTF einer CCD-Kamera in Wesentlichen aus einem Szintillatorund einem elektronischen Detektorteil (eigentliche CCD) besteht, also MTF( k) = MTFs( k) · MTFCCD( k). (3.17) Diese wirken sukzessive auf das Signalspektrum ein [21]. Mathematisch wird schrittweise eine Faltung gemäß Gl. 3.14 durchgeführt, was durch das Faltungstheorem A.4 im Fourier-Raum zu einer sukzessiven Multiplikation der jeweiligen MTF in Gl. 3.17 führt. Der Kern der vorliegenden Arbeit ist die Bestimmung des Szintillatoranteils MTFs, der neben der Charakteristik des Phosphormaterials auch die Rückstreuung der Photonen an Faseroptik und Szintillatorhalterung aus Abschn. 1.3.3 enthält. Die in einem Kegel entlang der optischen Achse aus dem Szintillator emittierten Photonen wirken sich als rotationssymmetrische Szintillator-PSF Ts(r) im Bild aus [12]. Gemäß der Rotationssymmetrie weist die korrespondierende MTF F{Ts(r)} = MTFs( k) ebenfalls diese Eigenschaft auf, die äußerst wichtig zur dessen Bestimmung ist. Die in der vorliegenden Arbeit verwendete Bestimmungsmethode der MTFs wird eingehend in Kapitel 4 behandelt. Zunächst wird aber noch auf den nicht weniger wichtigen, zweiten MTF-Anteil, hervorgerufen durch die CCD-Matrix, eingegangen, der maßgeblich durch die quadratische Geometrie der Pixel vorgegeben ist. Die Pixel wirken als quadratische Apertur mit der Ausdehnung ∆ρ = (∆x,∆y) und sammeln alle in diesen Bereich eintreffenden Photonen, wie bereits in Abb. 1.5(a) illustriert ist. Demnach hat die resultierende MTFCCD aufgrund der FT die Struktur einer Spaltfunktion, die alleinig von der quadratischen Ausdehnung der Pixel ∆ρ abhängt [11, 25]: MTFCCD( k) = sin(πkx∆x) πkx∆x · sin(πky∆y) πky∆y = sinc(πkx∆x) · sinc(πky∆y) (3.18) In diskreten Aufzeichnungssystemen wird also die Intensität I(r) eines Signals diskreten Pixeln zugeordnet. Dies kommt einer zweidimensionalen Abtastung der Intensitätsverteilung mit einem abrasternden, quadratischen Detektor gleich. Der optimale Verlauf der MTFCCD ist in Abb. 3.7 aufgeführt, wobei die maximale Frequenz 10 nm −1 der Nyquist-Frequenz kN entspricht. Eine für die CCD-Kamera optimale Abtastung geschieht demnach pixelweise, da dies die kleinste, diskrete Einheit des Systems ist. Sie weicht von der idealen Abtastung von Gl. 3.16 für kontinuierliche Systeme deutlich ab (schwarz-gestrichelte Horizontale in Abb. 3.7), da ein Pixel eine endliche 41

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