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Bestimmung der Modulationstransferfunktion einer CCD-Kamera ...

Bestimmung der Modulationstransferfunktion einer CCD-Kamera ...

3 Kontrastenstehung und

3 Kontrastenstehung und Abbildung MTF CCD 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −10 −5 0 5 10 Frequenz (nm −1 ) Abbildung 3.7: Die Kurve zeigt die MTFCCD aus Gl. 3.18, welche für ein diskretes Aufzeichnungssystem optimal ist und einer Abtastung je Pixel entspricht. In kontinuierlichen Systemen sind mehr Abtastungen je Pixel denkbar und würden sich der Konstanten 1 für alle Frequenzen annähern (schwarz-gestrichelt). Ausdehnung hat. Die MTFCCD nimmt daher bei der Nyquist-Frequenz nur noch einen Wert von 0, 63 an [25]. Im Weiteren wird von dieser für die CCD-Matrix optimalen Abtastung ausgegangen. 3.5 Signalabtastung Neben der modifizierenden Übertragung des Signals I(r) durch die MTF der diskreten CCD- Matrix können darüber hinaus auch Artefakte im Spektrum aufgrund einer zu geringen Abtastung erscheinen (s. dazu Abschn. 3.5.2) [21, 45]. Mit einer zu geringen Abtastung wird dann 1 0.5 0 0 50 100 150 position (px) 200 250 300 (a) Mit ks = 1 abgetasteter Rechteckimpuls. 15px 1 0.5 0 0 50 100 150 position (px) 200 250 300 (b) Mit ks = 1 abgetasteter Rechteckimpuls. 5px Abbildung 3.8: In (a) wird eine 50px breite Rechteckfunktion mit einer Frequenzen ks = 1 15px abgetastet. Die roten Kreuze sind die Abtastwerte in ∆x = 15px-Schritten. Die gestrichelte Kurve gibt dann das unzureichend, rekonstruierte Signal wieder, da das Rechtecksignal als Trapez interpretierbar ist. (b) zeigt das gleiche Signal bei einer Abtastfrequenz ks = 1 5px , was einer besseren Wiederherstellung des Ursprungssignals entspricht. das aufzuzeichnende Bild I(r) nicht mehr vollständig von der Detektormatrix wiedergegeben. Eine verlustfreie Rekonstruktion des HRTEM-Bilds kann also nur mit einer ausreichend hohen Abtastfrequenz ks geschehen [44]. Dies ist mit dem Beispiel eines Rechtecksignals in Abb. 3.8 veranschaulicht. Für die Abtastfrequenz mit ks = 1 15px in 3.8(a) kann nicht mehr auf die Stufenform des Signals geschlossen werden. Die höhere Abtastung mit ks = 1 in 3.8(b) zeigt eine bessere Wiedergabe des Rechteckimpulses . 5px Wie bereits oben erwähnt ist die bestmögliche Abtastfrequenz des Detektors ks = 1 1px = 42

1 ∆x 3.5 Signalabtastung 1 = ∆y , die aufgrund der quadratischen Pixelgeometrie gleichermaßen für beide orthogonale Richtungen x und y gilt. Dabei muss ks größer als das Doppelte der im Signal vorkommenden Höchstfrequenz kmax sein, also ks > 2kmax. Somit ist die Bildaufzeichnung maßgeblich an die Pixelanzahl N und Pixelgröße ∆x gebunden. Mit der Abtastfrequenz wird überdies die Nyquist-Frequenz anhand der Definition kN = ks 2 eingeführt, welche mit dem Kriterium der Abtastfrequenz zur Nyquist-Bedingung führt kmax < kN. (3.19) Das Abtasttheorem von Shannon ist das maßgebliche Kriterium für eine vollständige Signalrekonstruktion [44]. Die Nyquist-Bedingung 3.19 gilt damit für beide Dektorrichtungen der CCD- Matrix gleichermaßen. Aufgrund der quadratischen Pixel und CCD-Matrix sind die Nyquist- Frequenzen für beide Richtungen gleich, womit kN,x = kN,y = kN gilt. Alle Spektren werden künftig in Einheiten der Nyquist-Frequenz angegeben, da diese die maximal im Spektrum enthaltene Frequenz darstellt. 3.5.1 Abtasttheorem von Shannon Die Eigenschaften des Detektoranteils der MTF sind ebenfalls mit dem Abtasttheorem von Shannon verknüpft, da eine diskrete Abtastung durch diesen MTF-Teil erfolgt. Aufgrund seiner Auswirkung, bedingt durch Unterabtastungseffekten, auf die durchgeführten Untersuchungen wird dieses Theorem im Folgenden hergeleitet. Der Ausgangspunkt ist zunächst die Fourier-Reihe einer harmonischen Schwingung mit Ortsabhängigkeit f(x) = ei2πk·x in x-Richtung. Die Abtast- frequenz der quadratischen CCD-Kamera ist ks = 1 ∆x , wobei weiterhin ∆x die Kantenlänge des Pixels ist. Die Fourier-Reihe von f(x) wird mit der Summe über n mit den Abtastwerten n∆x und den daran geknüpften Fourier-Koeffizienten Cn entwickelt [44]: f(x) = e i2πk·x ∝ ∞ n=−∞ Cn · e i2πk·n∆x = ∞ n=−∞ ⎧ ⎪⎨ kN e ⎪⎩ −kN i2πk·x e −i2πk·n∆x ⎫ ⎪⎬ dk e ⎪⎭ Fourier-Koeffizient: Cn i2πk·n∆x (3.20) Das Integral des Fourier-Koeffizienten Cn kann dann allgemein in Abhängigkeit von n gelöst werden. Für die Integralgrenzen wurde die Nyquist-Bedingung kN = ks 1 2 = 2∆x verwendet. Für den Fourier-Koeffizienten aus Gl. 3.20 ergibt sich nach Integration [44]: Cn = sinc(kN(x − n∆x)). (3.21) Ist darüber hinaus das Spektrum F{f(x)}(k) bandbegrenzt mit den Grenzen ±kmax < kN gemäß der Nyquist-Bedingung 3.19, dann ist die ortsabhängige Funktion durch die inverse FT gegeben: f(x) = 1 √ 2π +kmax −kmax F{f(x)} · e i2πk·x dk. (3.22) 43

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