Bestimmung der Modulationstransferfunktion einer CCD-Kamera ...

3 Kontrastenstehung und Abbildung
Dies führt mit dem Einsetzen von Gl. 3.20 in 3.22 zunächst auf die Abtastung des Signalspektrums
mit der Fourier-Reihe [44]:
f(x) = 1
√ 2π
=
=
∞
n=−∞
∞
n=−∞
kmax
−kmax
Cn ·
F{f(x)} ·
1
√ 2π
kmax
−kmax
∞
n=−∞
Cn · e i2πk·n∆x
F{f(x)}e i2πk·n∆x dk
sinc (kN(x − n∆x)) · f(n∆x).
dk
(3.23)
Dabei wurde vom zweiten auf den dritten Schritt der Fourier-Koeffizient aus Gl. 3.21 eingesetzt
und Gl. 3.22 für das Integral verwendet. Die letzte Zeile von Gl. 3.23 ist das Abtasttheorem
von Shannon, mit dem ein abgetastetes Signal bei ausreichend hoher Nyquist-Frequenz
verlustfrei rekonstruiert werden kann [44]. Weiter kann das Abtasttheorem auch als lineare Interpolationsformel
mit den Spaltfunktionen als Basis aufgefasst werden [44].
In diesem Zusammenhang ist die Kammfunktion eine hilfreiche mathematische Beschreibung
für die diskrete Abtastung eines Signals [43]:
K(x) =
∞
n=−∞
δ(x − n∆x). (3.24)
Dabei stellt die Kammfunktion eine periodische Folge von Dirac-Impulsen dar, die im Abtastungsfall
mit dem Signal multipliziert wird [43].
Generell lassen sich die oben aufgeführten Gleichungen problemlos auf den zweidimensionalen
Fall der CCD-Kamera übertragen.
3.5.2 Unterabtastung und Aliasing
Der als Aliasing bezeichnete Effekt beschreibt das Verhalten eines unzureichend abgetasteten
Signals IE(r). Die mathematische Herleitung für das Auftreten von Aliasing geschieht hier für
den eindimensionalen Fall in x-Richtung. Bei der Annahme, das abzutastende Bild I(r) wird mit
der Kammfunktion K(x) von Gl. 3.24 in Abständen ∆x abgetastet, kann K(x) als periodische
Funktion in einer Fourier-Reihe mit den Fourier-Koeffizienten cn entwickelt werden. Es folgt
dann für das abgetastete Signal IE(x) [27]:
IE(x) =K(x) · I(x) =
∞
n=−∞
cn · I(x)e −i2πnks·x mit Fourier-Koeffizienten cn = 1
∆x .
= I(x)
∆x [1 + 2 cos(ks · x) + 2 cos(2ks · x) + 2 cos(3ks · x) + ...].
(3.25)
Aufgrund der Punktsymmetrie des Sinusanteils der harmonischen Welle heben sich diese Imaginärteile
der ersten Zeile von Gl. 3.25 weg, wodurch nur noch eine reelle Folge von Kosinusfunktionen
in der zweiten Zeile vorliegt. Mit dieser wird dann das abzubildende Signal I(x)
44