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Bestimmung der Modulationstransferfunktion einer CCD-Kamera ...

Bestimmung der Modulationstransferfunktion einer CCD-Kamera ...

3 Kontrastenstehung und

3 Kontrastenstehung und Abbildung Dies führt mit dem Einsetzen von Gl. 3.20 in 3.22 zunächst auf die Abtastung des Signalspektrums mit der Fourier-Reihe [44]: f(x) = 1 √ 2π = = ∞ n=−∞ ∞ n=−∞ kmax −kmax Cn · F{f(x)} · 1 √ 2π kmax −kmax ∞ n=−∞ Cn · e i2πk·n∆x F{f(x)}e i2πk·n∆x dk sinc (kN(x − n∆x)) · f(n∆x). dk (3.23) Dabei wurde vom zweiten auf den dritten Schritt der Fourier-Koeffizient aus Gl. 3.21 eingesetzt und Gl. 3.22 für das Integral verwendet. Die letzte Zeile von Gl. 3.23 ist das Abtasttheorem von Shannon, mit dem ein abgetastetes Signal bei ausreichend hoher Nyquist-Frequenz verlustfrei rekonstruiert werden kann [44]. Weiter kann das Abtasttheorem auch als lineare Interpolationsformel mit den Spaltfunktionen als Basis aufgefasst werden [44]. In diesem Zusammenhang ist die Kammfunktion eine hilfreiche mathematische Beschreibung für die diskrete Abtastung eines Signals [43]: K(x) = ∞ n=−∞ δ(x − n∆x). (3.24) Dabei stellt die Kammfunktion eine periodische Folge von Dirac-Impulsen dar, die im Abtastungsfall mit dem Signal multipliziert wird [43]. Generell lassen sich die oben aufgeführten Gleichungen problemlos auf den zweidimensionalen Fall der CCD-Kamera übertragen. 3.5.2 Unterabtastung und Aliasing Der als Aliasing bezeichnete Effekt beschreibt das Verhalten eines unzureichend abgetasteten Signals IE(r). Die mathematische Herleitung für das Auftreten von Aliasing geschieht hier für den eindimensionalen Fall in x-Richtung. Bei der Annahme, das abzutastende Bild I(r) wird mit der Kammfunktion K(x) von Gl. 3.24 in Abständen ∆x abgetastet, kann K(x) als periodische Funktion in einer Fourier-Reihe mit den Fourier-Koeffizienten cn entwickelt werden. Es folgt dann für das abgetastete Signal IE(x) [27]: IE(x) =K(x) · I(x) = ∞ n=−∞ cn · I(x)e −i2πnks·x mit Fourier-Koeffizienten cn = 1 ∆x . = I(x) ∆x [1 + 2 cos(ks · x) + 2 cos(2ks · x) + 2 cos(3ks · x) + ...]. (3.25) Aufgrund der Punktsymmetrie des Sinusanteils der harmonischen Welle heben sich diese Imaginärteile der ersten Zeile von Gl. 3.25 weg, wodurch nur noch eine reelle Folge von Kosinusfunktionen in der zweiten Zeile vorliegt. Mit dieser wird dann das abzubildende Signal I(x) 44

3.5 Signalabtastung abgetastet. Die FT des damit abgetasteten Signals IE(x) liefert zunächst für jedes Kosinusglied n [27]: F I (n) E (x) = F {I(x) · cos(nksx)} = F{I(x)} ⊗ F{cos(nksx)}. Mit der FT-Korrespondenz F{cos(nksx)} = 1 2 [δ(k + nks) + δ(k − nks)] und Summation über n ergibt sich das Gesamtspektrum F{IE(x)} unter Ausnutzung von Gl. 3.16 zu F{IE(x)} = 1 ∆x ∞ n=−∞ F{I(x)}(k − nks). (3.26) Das resultierende Spektrum F{IE(x)} des aufgezeichneten Bildes IE(x) ist damit eine periodische Folge des Spektrums F{I(x)} des abzutastenden Signals I(x). Es tritt dann im Fourier- Raum F{I(x)} wiederholt bei ±ks auf, wie in Abb. 3.9(c) illustriert ist. Der Aliasing-Effekt lässt sich in Abb. 3.9(a) exemplarisch an einem Parallelogramm als abzubildendes Signal I(r) und mit dessen zu den Detektorachsen x und y schräg gestellte Kante verdeutlichen. Dabei werden insbesondere die zur Kante senkrechten Frequenzanteile im Spektrum F{IE(r)} betrachtet (schräge Linien in Abb. 3.9(b)). Bei Unterabtastung wird das sich mit ks wiederholende Signalspektrum F{I(r)} von seinen identischen Nachbarspektren überlagert (s. die neun Spektren in Abb. 3.9(c)), die mit Gl. 3.26 gegeben sind. Dies machen besonders die schrägen Frequenzverläufe in Abb. 3.9(b) deutlich, indem sie als Aliasing-Artefakte an den Rändern des Spektrums F{IE(r)} eintreten und sich weiter am gegenüberliegenden Rand im Position (px) 250 300 350 400 450 500 550 600 200 300 400 Position (px) 500 600 (a) Parallelogramm als zweidimensionales Signal I(r). −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 −1 −0.5 0 0.5 Frequenz [Nyquist] (b) Spektrum F{IE(r)} des abgetasteten Signals. −3 −2 −1 0 1 2 −3 −2 −1 0 1 2 Frequenz [Nyquist] (c) Zentriertes Spektrum F{I(r)} mit acht identischen Nachbarspektren. Abbildung 3.9: (a) illustriert das Parallelogramm als abzutastendes Signal I(r), das eine zu den CCD- Achsen schräg gestellte Kante hat. In (b) illustriert die Schräglage der Kante, dass schrägverlaufendes Aliasing und Spektralanteile sich nicht ausschließlich überlagern, sondern auch getrennt vorliegen. Das Aliasing der parallelen Kanten überdeckt hingegen die entsprechenden Anteile des Spektrums vollständig, wodurch keine Separation der beiden Signale erfolgen kann. (c) Die hochfrequenten Signalbeiträge der Nachbarspektren F{I(r)} erscheinen im Spektrum F{IE(r)} als zusätzliche Frequenzen: Es entsteht das Aliasing aus (b). Es treten zudem vertikale Frequenzanteile in (b) auf, was durch die geringe Schrägstellung in (a) verursacht wird und daher stückweise horizontale Kanten vorliegen. 45

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