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Bestimmung der Modulationstransferfunktion einer CCD-Kamera ...

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6 Kontrastbestimmung von

6 Kontrastbestimmung von simulierten Gallium-Arsenid-Proben Berechnung der Objektaustrittswellenfunktion In STEMsim erfolgt zunächst die Definition der GaAs-Probe für STEM und HRTEM gleichermaßen. Die Simulationen erfolgten alle in [1 0 0]-ZA gemäß den Abschnitten 2.5.2 und 5.1. Alle für die Simulationen relevanten, kristallographischen Eigenschaften von GaAs sind in Abschn. 2.4 aufgeführt. Um die Probe weiter zu charakterisieren, mussten die laterale Ausdehnung und Dicke der Probe angegeben werden. Die seitliche Ausdehnung der Probe in [0 1 0] -und [0 0 1]-Richtung wird durch die sogenannte Superzelle (SZ) vorgegeben und besteht aus einer festen Anzahl von Einheitszellen (EZ), wie Abb. 6.1 illustriert. Die Superzelle wurde für alle durchgeführten Simulationen mit 10 EZ in beide laterale Richtungen festgelegt, so dass sie einen Kristall mit insgesamt 100 EZ je Schicht (slice) aufspannt. Ferner wird mit diesem Parameter die Pixelauflösung des Beugungsbildes bestimmt. Je größer die Superzelle ist, umso feiner ist die Auflösung im Beugungsbild. Des Weiteren gibt die Pixelauflösung der Einheitszelle dabei den Detaillierungsgrad kleiner Strukturen an. Sie bekam für alle gemachten Simulationen den Wert 60 px EZ zugewiesen, was auf der rechten Seite von Abb. 6.1 schematisch dargestellt ist. Abbildung 6.1: Die laterale Größe der simulierten GaAs-Probe ergibt sich durch die Aneinanderreihung von 10 × 10 Einheitszellen, aus denen die Superzelle besteht (links). Rechts ist die EZ in [100]-ZA- Orientierung gezeigt. Das darüber liegende Raster skizziert die Pixelauflösung von m × m Pixeln je EZ. Die Ringe geben die nach hinten versetzten und die Kreise die vorderen Atome eines Elements an. Die Definition der Kristallgröße bzw. -struktur und die Geometrie der eintretenden Elektronenwelle bilden den ersten Arbeitsschritt STEP1 in STEMsim. Dabei wird für die Berechnung der Objektaustrittswellenfunktion (OAWF) mit dem Multislice-Verfahren aus Abschn. 2.6.2 der simulierte Kristall in Schichten unterteilt. Die projizierten Kristallpotenziale ergaben sich in STEP2 aus dem Frozen Lattice-Ansatz in Abschn. 2.6.3 und mit der Berechnung der atomaren Streuamplitude nach Weickenmeier und Kohl [54]. Für diese war die Angabe einer look up-Tabelle erforderlich, in der die Stützstellen für die atomare Streuamplitude angegeben wurden. Ferner musste auch die Anzahl der normalverteilten Kristallkonfigurationen festgelegt werden. Im Anschluss wurde in STEP3 das Phase-Grating bestimmt. Der letzte Prozessschritt erfolgte in STEP8 mit der Anwendung des Phase-Gratings und der anschließende Nahfeldpropagation nach Gl. 2.31 auf die einfallende Welle ψ(x, y,0). Bei schrägem Eintritt der Elektronenwelle mit dem Wellenvektor k unter dem Winkel ϑ gemäß Abb. 3.4 wurde die Nahfeldausbreitung mit dem Fresnel-Propagator aus Gl. 2.28 nach [35] zu 80 F {P(x, y, δz)} = e −iπδzλk2 · e i2πδz(kx tan(ϑx)+ky tan(ϑy)) modifiziert. (6.1)

6.1 Simulationen mit STEMsim Mit Hilfe dieser Modifizierung konnte die räumliche Inkohärenz mit der aus Abschn. 2.7 bekannten Dichtefunktion ρ (α) (|q|) berücksichtigt werden. Dies wurde in STEMsim mit der Option Tilt beam via propagator realisiert. Dabei wurde die diskrete Dichtefunktion ρ (α) i (|qi|) auf M = 20 diskrete, laterale Vektoren |qi| aufgeteilt. Die Propagation der Elektronenwelle durch jede der N = 20 Kristallkonfigurationen wurde für jeden lateralen Vektor |qi| simuliert, so ergab sich eine Gesamtzahl von P = 400 zu berechnende Kombinationen. Mit STEP1, STEP2, STEP3 und STEP8 wurde die Objektaustrittswellenfunktion mit allen probenspezifischen Parametern und der räumlichen Inkohärenz berechnet. Die Durchführung von STEP4 bis STEP7 war für die hier gemachten Simulationen von HRTEM-Aufnahmen nicht erforderlich, da diese ausschließlich für STEM-Simulationen implementiert wurden. Eine für die Simulationen der Abbildungen notwendige Option war allerdings die Speicherung aller simulierten P Austrittswellenfunktionen ψp(r) in einer STEP8-Datei. Diese wurde mehrmals für unterschiedliche Abbildungssimulationen mit verschiedenen Defoki, sphärischen Aberrationen oder Abbildungsmodellen in STEP9 aufgerufen. Abbildung der Objektaustrittswellenfunktion Für die Abbildung der Objektaustrittswellenfunktion wurde hauptsächlich das Modell der inkohärenten Summierung aus Abschn. 3.3.3 verwendet, das in STEMsim als Defocus spread per configuration bezeichnet wird. Daneben erfolgten für die kleinste Apertur von r2 = 6, 8 nm −1 zusätzliche Simulationen mit den Transmissionskreuzkoeffizienten aus Abschn. 3.3.2. Blendenradien größer als 12 nm −1 beanspruchten dabei zu viel Arbeitsspeicher, so dass ein Vergleich mit dem Aperturradius r3 = 14, 8 nm −1 nicht stattfinden konnte. Die temporale Inkohärenz wurde in beiden Modellen mit der diskreten Normalverteilung über die Defoki ǫi und der Dichtefunktion ρ (∆) i (ǫi) aus Abschn. 2.7 berücksichtigt. Dabei schwankte die Defokusverteilung ρ (∆) i (ǫi) um den Mittelwert 〈ǫ〉, der dem am Mikroskop experimentell gefundene Defokus ǫ entsprach. Für die simulierte Abbildung wurde, wie in Abschn. 3.3.3 bereits erklärt, über die zuvor berechneten 400 Kombinationen ψp(r) gemittelt, so dass der Mittelwert 〈I〉TDS gemäß Gl. 3.13 über die Defokusverteilung bestimmt wurde. Am Ende dieser Berechnungen lag folglich die Intensitätsverteilung der mit dem Mikroskop inkohärent abgebildeten Objektaustrittswellenfunktion I(r) = 〈I〉TDS vor. Diese wird dann abschließend von der CCD-Kamera mit der in Kap. 4 bestimmten Modulationstransferfunktion aufgezeichnet, wie in Abschn. 3.4 erklärt wurde. Überblick der Simulationsparameter Nachstehend werden nochmal alle für die Simulationen wichtigen Parameter aus diesen und aus dem vorangegangenen Kapitel 5 aufgelistet: • Gitterkonstante von GaAs a = 0, 5653 nm und [1 0 0]-Zonenachse. • Superzelle mit lateraler Ausdehnung von 10×10 Einheitszellen bzw. 5, 653 nm × 5, 653 nm. • Einheitszelle mit Pixelauflösung 60 px EZ bzw. 9, 42 pm px . • Variierende Probendicken von 20, 30, 40, 130, 140 und 150 nm. • Anzahl der Kristallkonfigurationen N = 20. 81

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