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Elektronenmikroskopische Untersuchungen des Polymer/Mineral ...

Elektronenmikroskopische Untersuchungen des Polymer/Mineral ...

22 3 Grundlagen dass in

22 3 Grundlagen dass in diesem Fall q = g ist. Der Vektor g wurde in Gleichung (4) definiert und ist ein reziproker Gittervektor. Diese Betrachtungen gelten für unendlich ausgedehnte Proben. Im Folgenden wird berücksichtigt, dass reale Proben eine endliche Ausdehnung besitzen. Das Potential des endlichen Kristalls ergibt sich aus dem Produkt des Potentials des unendlichen Kristalls und der Kristallfunktion D(r): Vf(r) = V (r)D(r). Die Kristallfunktion nimmt innerhalb des Kristall den Wert 1 und außerhalb den Wert 0 an. Die Fouriertransformierte des Potentials Vf(r) lautet: Vf(q) = F[V (r)D(r)]. (18) Das Potential V (r) des unendlich ausgedehnten Kristalls besitzt die Periodizität des zu- grunde liegenden Bravaisgitters und kann als diskrete Fourierreihe dargestellt werden [34]: V (r) = g Vge 2πigr . Die Fouriertransformierte dieses Potentials lautet: V (q) = Vgδ(q − g). (19) g Sie ist eine diskrete Funktion, die lediglich am Ort der reziproken Gitterpunkte ungleich Null ist. Für einen realen, endlich ausgedehnten Kristall, bei dem die Kristallfunktion berücksichtigt wird, erhält man aus Gl. (18) den Zusammenhang: Vf(q) = = g D(r) · Vg g Vg e 2πigr e −2πiqr dr D(r)e −2πi(q−g)r dr = Vg ˜ D(q − g). (20) g Der Unterschied zu Gl. (19) besteht darin, dass die reziproken Gitterpunkte bei Einbe- ziehung der Kristallfunktion D(r) eine ausgedehnte Form annehmen. Berücksichtigt man, dass die Dicke z0 der Probe wesentlich kleiner als die laterale Aus- dehnung ist, so lautet die reziproke Kristallfunktion: ˜D(q − g) =: = D(s) ˜ +∞ e −∞ −2πisxx +∞ dx e −∞ −2πisyy z + 02 dy − z e 0 2 −2πiszz dz = z0δ(sx)δ(sy)sinc(πszz0) (21)

3.1 Transmissions-Elektronenmikroskopie 23 Der Vektor s = q − g wird als Anregungsfehler bezeichnet und gibt die Abweichung von der Braggbedingung an. Abb. 17 zeigt die Auftragung der Kardinalsinusfunktion gegen die z-Komponente des Anregungsfehlers. Diese Funktion beschreibt die Ausdehnung der reziproken Gitterpunkte entlang der z-Richtung, also der Probennormalen. Abb. 17: Graphische Auftra- gung von sinc(πszz0) gegen die Komponente sz des Anregungs- fehlers s. Für z0 wurde der Wert 20 nm verwendet. Diese Funktion beschreibt die Ausdehnung der reziproken Gitterpunkte entlang der z -Richtung, also der Proben- normalen. Die in diesem Fall stabförmigen Strukturen der Gitterpunkte werden reziproke Git- terstäbe bzw. im englischen ” relrods“ (reciprocal lattice rods) genannt. In Abb. 18 sind die ” relrods“ als graue Linien eingezeichnet. Abb. 18: Schematische Darstellung der Ewaldkonstruktion. Tatsächlich besitzt die Ewaldkugel einen sehr viel größeren Radius und damit eine weitaus geringere Krümmung. Im rechten Bild- teil ist der links markierte Bereich vergrößert dargestellt. Die ” relrods“ sind als graue Linien eingezeichnet. Eine wichtige Konsequenz der Endlichkeit realer Proben und des Erscheinens der ” relrods“ ist das Auftreten von Beugung, sogar dann, wenn die Braggbedingung nicht exakt erfüllt ist. Der Betrag des Anregungsfehlers s gibt den Abstand von dem reziproken Gitterpunkt zur Ewaldkugel entlang der Hauptachse des ” relrod“ an. Die Intensität der Beugungspunkte ist dabei abhängig von diesem Abstand [34]. In Abb. 18 ist zu erkennen, dass das reziproke Gitter aus Ebenen reziproker Gitterpunkte aufgebaut ist. Aufgrund ihrer Krümmung schneidet die Ewaldkugel mehrere dieser Ebe- nen, die als Lauezonen nullter, erster, zweiter und höherer Ordnung bezeichnet werden. Ein Beugungsbild zeigt die Projektion der von der Ewaldkugel geschnittenen ” relrods“.

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