Elektronenmikroskopische Untersuchungen des Polymer/Mineral ...

22 3 Grundlagen
dass in diesem Fall q = g ist. Der Vektor g wurde in Gleichung (4) definiert und ist ein
reziproker Gittervektor.
Diese Betrachtungen gelten für unendlich ausgedehnte Proben. Im Folgenden wird
berücksichtigt, dass reale Proben eine endliche Ausdehnung besitzen. Das Potential des
endlichen Kristalls ergibt sich aus dem Produkt des Potentials des unendlichen Kristalls
und der Kristallfunktion D(r):
Vf(r) = V (r)D(r).
Die Kristallfunktion nimmt innerhalb des Kristall den Wert 1 und außerhalb den Wert 0
an. Die Fouriertransformierte des Potentials Vf(r) lautet:
Vf(q) = F[V (r)D(r)]. (18)
Das Potential V (r) des unendlich ausgedehnten Kristalls besitzt die Periodizität des zu-
grunde liegenden Bravaisgitters und kann als diskrete Fourierreihe dargestellt werden [34]:
V (r) =
g
Vge 2πigr .
Die Fouriertransformierte dieses Potentials lautet:
V (q) =
Vgδ(q − g). (19)
g
Sie ist eine diskrete Funktion, die lediglich am Ort der reziproken Gitterpunkte ungleich
Null ist.
Für einen realen, endlich ausgedehnten Kristall, bei dem die Kristallfunktion
berücksichtigt wird, erhält man aus Gl. (18) den Zusammenhang:
Vf(q) =
=
g
D(r) ·
Vg
g
Vg e 2πigr e −2πiqr dr
D(r)e −2πi(q−g)r dr
=
Vg ˜ D(q − g). (20)
g
Der Unterschied zu Gl. (19) besteht darin, dass die reziproken Gitterpunkte bei Einbe-
ziehung der Kristallfunktion D(r) eine ausgedehnte Form annehmen.
Berücksichtigt man, dass die Dicke z0 der Probe wesentlich kleiner als die laterale Aus-
dehnung ist, so lautet die reziproke Kristallfunktion:
˜D(q − g) =:
=
D(s) ˜
+∞
e
−∞
−2πisxx +∞
dx e
−∞
−2πisyy z
+ 02
dy
− z e
0
2
−2πiszz dz
= z0δ(sx)δ(sy)sinc(πszz0) (21)