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Das dynamische Paradigma in der Linguistik - Universität Bremen

Das dynamische Paradigma in der Linguistik - Universität Bremen

ynam.Paradigma ____ Dynamische Modellkonzepte____________________24 (b) die globale Konfiguration der Instabilitäten beschreibt. Die lokale Theorie befasst sich nur mit Frage (a), d.h. sie betrachtet nur lokale Karten, kleinste Ausschnitte. Es ist eine wichtige Grundannahme der dynamischen Modellbildung, dass man eine erste Schicht genereller Eigenschaften einer Morphologie durch die lokale Analyse erhält. Die lokalen Karten, für die auch ein lokales Koordinatensystem gegeben wird, werden zu einem Atlas zusammengefügt; die globale Analyse betrachtet Überdeckungen einer Struktur durch ein System lokaler Karten. In diesem Zusammenhang ist es wichtig, dass die lokalen Karten gewisse Invarianzeigenschaften gegenüber Skalentransformationen haben. Beim Ausschneiden von Karten aus einer globalen topologischen Struktur werden Raumzeit- Morphologien als reduzierbar auf elementare topologische Formen betrachtet (vgl. die Klassifikation dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten in: THURSTON, 1984). In der Topologie wird somit PLATONs Traum einer Reduktion realer Formen auf ideale Formen zumindest teilweise Wirklichkeit. Wir können damit die drei folgenden Ebenen unterscheiden: (1) Die reale Morphologie eines Phänomens, (2) abstrakte Basismorphologien, in die man erstere zerlegen kann, (3) die Klassifikation lokaler Ereignisse in der Umgebung von Punkten. An diesem Überblick der Thematik lässt sich auch der Zusammenhang von Statik und Dynamik schon ablesen. Statisch sind jene Strukturen, welche unter kleineren, "normalen" Veränderungen, Deformationen, statistischen Fluktuationen stabil, d.h. qualitativ unveränderlich sind. Was qualitative Veränderung bedeutet, ist durch die Klassifikation von Punkten und ihrer Umgebungen definiert. Die elementaren Katastrophen, die THOM als Basis seiner Modellvorschläge definiert, sind ein Teilfeld der Entfaltungen, die später ARNOL'D (1972) klassifiziert hat. Unten zeigt die Darstellung des Gesamtfeldes und zwar unterteilt in: (a) einfache Entfaltungen (S); sie enthalten kein Modul und sind somit auf eine Normalform reduzierbar; (b) Entfaltungen mit Modul (M). Das Modul definiert eine Familie von Entfaltungen, die nicht äquivalent (aber ähnlich) sind. Qualitativ lassen sich allerdings auch die Entfaltungen mit Modul interpretieren, wobei das Modul eine Rolle spielt, die in etwa die Wirkung eines Zustandsparameters hat (vgl. CALLAHAN, 1980, 1981, 1982).

ynam.Paradigma ____ Dynamische Modellkonzepte____________________25 Zusatandsvariablen 1 A2 Kontrollvariablen 1 2 3 4 5 6 7 … S A3 S A4 2 D4 3 und mehr S S A5 S D5 S A6 S D6, E6 S A7 S D7, E7 S A8 S S, M … S M M M S, M Tabelle 1: Die Klassifikation der einfachen (S) Entfaltungen und derjenigen mit Modul (M) nach Arnol’d (1972). Die grün hevorgehobenen Entfaltungen wurden von Rene THOM ausgewählt, weil er von einer abstrakten raumzeitlichen Interpretation der Kontrollparameter ausging und deshalb die Anzahl der Kontrollparameter auf 4 begrenzte. (Die schöne Zahl 7 der Elementarkatastrophen von THOM ergibt sich, wenn man die weniger interessanten Unterschiede zwischen A+3, A-3 und A+5, A-5 vernachlässigt, dagegen bei D4 zwischen elliptischem Umbilik (D-4) und hyperbolischem Umbilik (D+4) unterscheidet); die rot gefärbten Felder enthalten nicht einfache Entfaltungen (mit Modul). In WILDGEN (1979, 1982a, 1985a) werden alle auch in der doppelten Kuspe lokal vorkommenden Entfaltungen als Basis der Modellbildung bestimmt. Abb. 2.4 zeigt die Einbettungshierarchie. Eine niedrigere Entfaltung ist in einer höheren "eingebettet", wenn sie dort lokal vorkommt. Abb. 2.4: Die Einbettungshierarchie der Elementarkatastrophen (mit der doppelten Kuspe X9). Um das Aussehen und die innere Struktur der Elementarkatastrophen zu illustrieren, wollen wir für die einfachste Katastrophe, V = x 3 (die Falte) mit der Entfaltung V = x 3 +ux die wichtigsten qualitativen Eigenschaften bestimmen und graphisch darstellen. Im weiteren Verlauf dieses Abschnittes geben wir in ähnlicher Weise eine Darstellung der Geometrie der Kuspe (Keim: V = x 4 ; Entfaltung: V = x 4 + ux 2 + vx) und eine Skizze der Geometrie des Schmetterlings (Keim: V = x 6 , Entfaltung: V =x 6 + ux 4 + vx 3 + wx 2 + tx). Abb. 2.5 zeigt dem Keim V = x 3 und seine Ableitungen.

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