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Das dynamische Paradigma in der Linguistik - Universität Bremen

Das dynamische Paradigma in der Linguistik - Universität Bremen

ynam.Paradigma ____ Dynamische Modellkonzepte____________________32 x und y und einer Kontrollvariablen s. Wir sehen eine Serie von 4 Parabeln, auf denen kritische Punkte liegen (vgl. Abschnitt 2.2, Abb. 2.7). Abb. 2.14: Mehrfache Bifurkationen (vgl. GILMORE, 1980: 493, Abb. 18.11a). Solchen Mehrfachbifurkationen werden wir bei der Diskussion thermodynamischer Ansätze in Abschnitt 2.6 begegnen. Diese Strukturen leiten über zur allgemeinen Bifurkationstheorie, in der man sich dafür interessiert, welche neuen und qualitativ verschiedenen Lösungen innerhalb eines Systems von Differentialgleichungen auftreten; die Methoden der Katastrophentheorie erweisen sich dabei als sehr wertvoll (vgl. GILMORE, 1980: 494-500). Die nächste Klasse dynamischer Systeme sind die zeitunabhängigen) autonomen Systeme. Sie unterscheiden sich wesentlich von Gradientensystemen durch die Präsenz von "Wirbeln" (curls). Man unterscheidet deshalb bei den Attraktoren zwischen Knoten und Fokus. Die Abbildungen 2.15 a, b zeigen den Unterschied anhand der Trajektorien, also des Verlaufs der Bewegung in Abhängigkeit von den Parametern x und y und der inneren Zeit t (für eine Variable x). Dem Attraktor mit Wirbelbewegung (Fokus) entspricht eine oszillierende Annäherung, während beim Knoten die Dämpfung monoton ist.

ynam.Paradigma ____ Dynamische Modellkonzepte____________________33 Abb. 2.15: Beispiele für autonome Systeme (vgl. HAKEN, 1983: 25). Die autonomen Systeme haben neben den Punktattraktoren eine Hierarchie höherdimensionaler Attraktoren: Grenzzyklen, Grenztori usw. Der Übergang zwischen diesen Attraktoren geschieht durch die Hopfbifurkation. In ihr "explodiert" der Fokus zu einem Kreisattraktor, bzw. Punkte auf dem Kreisattraktor "explodieren", so dass ein Torus entsteht usw. In Abb. 2.16 sehen wir links einen stabilen Fokus mit spiralförmigem Vektorfluss; bei =0 werden die Spirallinien zu instabilen Kreisen. Überschreitet man =0, so wird der Fokus instabil; die Spiralbewegung geht nach außen. Im Fernbereich geht die Bewegung aber immer noch zum Zentrum hin, so dass eine stabile Grenze zwischen zentrifugalen und zentripetalen Strömen, der Grenzzyklus, entsteht.

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