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Das dynamische Paradigma in der Linguistik - Universität Bremen

Das dynamische Paradigma in der Linguistik - Universität Bremen

ynam.Paradigma ____ Dynamische Modellkonzepte____________________34 Abb. 2.16: Entstehung eines Grenzzyklus. In der Darstellungsform von Abb. 2.15 erhalten wir eine geschlossene Kurve und bezogen auf die innere Zeit einen regulären Zyklus. Abb. 2.17: Grenzzyklus im Phasenraum (links) und als Schwingung in der Zeit. Grenzzyklen finden wir in vielen natürlichen dynamischen Systemen von der Physik bis zur Biologie. Charakteristisch ist dabei die Periodizität des Systemverhaltens. Grenzzyklen können auch eine kompliziertere Periodizität haben, etwa als Kurven auf einem Torus. Zur Illustration kann man sich z.B. einen Gummischlauch mit einem Faden umwickelt vorstellen, bis die Fläche voll ist und Anfang und Ende zusammengeknüpft werden. Von den periodischen dynamischen Systemen führt ein Weg zu quasiperiodischen und schließlich zu chaotischen Systemen. Dabei treten ganz neue und unerwartete Ordnungsstrukturen auf, wie sie z.B. MANDELBROT anhand der "Fractals" untersucht hat. Wir wollen diese Front der Forschung in der Theorie dynamischer Systeme im folgenden Abschnitt skizzieren; in Kapitel 3.5.3 werden mögliche linguistische Anwendungen angegeben.

ynam.Paradigma ____ Dynamische Modellkonzepte____________________35 2.4 Chaotische Dynamik und Turbulenzen im System Die Punktattraktoren der Gradientendynamik (vgl. Abschnitt 2.2 und 2.3) waren extrem einfach in ihrer Wirkung; jeder Punkt im Anziehungsfeld wurde direkt im Zentrum des Attraktors stabilisiert, die Bewegungen wurden sofort gedämpft. Wenn wir zu einer weniger "statischen" Dynamik fortschreiten, erhalten die Attraktoren selbst graduell mehr Freiheit, mehr Bewegung, bis ihre Eigendynamik unvorhersehbar "verwickelt" wird. Die verschiedenen Grade der Komplikation lassen sich anhand des LYAPUNOV-Exponenten und des POINCARÉ-Schnittes, bzw. des "charakteristischen Multiplikators" der Trajektorien in diesem Schnitt klassifizieren (vgl. ABRAHAM und SHAW, 1983). Der LYAPUNOV-Exponent kann eine reelle Zahl r: - < r < + sein oder aber eine konjungierte komplexe Zahl in der Ebene (i, r). Die Winkelöffnung gibt die Stärke des Wirbels an. Abb. 2.18: Wirbel-Dynmaik in Abhängigkeit vom LYAPUNOV-Exponenten. Ein Knoten als Attraktor enthält keine Wirbel, wir geben in Abb. 2.19 ein Beispiel (vgl. ABRAHAM und SHAW, 1983. 19). Abb.2.19: Ein Knoten als Attraktor.

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