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Das dynamische Paradigma in der Linguistik - Universität Bremen

Das dynamische Paradigma in der Linguistik - Universität Bremen

ynam.Paradigma ____ Dynamische Modellkonzepte____________________36 Die langsame Attraktion () ist durch die Variable v bestimmt, die schnelle () durch die Variable u. Entsprechend erhalten wir im negativen Bereich zwei kritische Exponenten. Da die Annäherung nicht spiralförmig ist, sind die Exponenten auf der reellen Achse angesiedelt. Ein Grenzzyklus als Attraktor dagegen hat ein spiralförmiges Feld. Wir geben zwei Beispiele (vgl. ABRAHAM und SHAW, 1983: 23) in Abb. 2.20. Abb. 2.20: Beispiel für einenWirbel. Da der Attraktor nun einen schwachen Wirbel hat, sind die beiden Exponenten nahe an der r-Achse, der Winkel α ist klein. Abb. 2.21 zeigt ein Feld mit starkem Wirbel. Abb. 2.21: Stärkerer Wirbel. Wir haben wieder einen Attraktor in zwei Dimensionen (x, y); allerdings mit starkem Wirbel, der Winkel β ist größer als α. Wir können die Annäherung an den Attraktor auch messen, indem wir einen Schnitt durch den Attraktor legen (und damit die Dimension um 1 reduzieren) und entlang des Schnittes bei der Wiederkehr einer Bahn das Verhalten der Relation Annäherung/Entfernung zum Attraktor messen. Diesen Schnitt nennt man POINCARE-Schnitt, das Verhältnis der Annäherung/Entfernung nennt man "charakteristischen Multiplikator" (CM). Die Bereiche von Attraktor und Repellor sind nun transformiert. Es gilt:

ynam.Paradigma ____ Dynamische Modellkonzepte____________________37 Abb. 2.22: Poincaré-Schnitt. Diese Darstellung erlaubt es uns, eine weitere Komplikation, die Verkehrung der Bahn zu erfassen. Als einfachstes Beispiel dient das Möbius-Band, das jeder leicht durch Verkleben eines Papierstreifens herstellen kann. Die Bahn, die oberhalb des Bandes anfängt, endet im POINCARE-Schnitt (hier als Klebestelle) unterhalb des Attraktors, obwohl sie sich angenähert hat (und somit einen charakteristischen Multiplikator zwischen -1 und +1 hat). Abb. 2.23: Bahnverkehrung (Möbius-Band). In einem chaotischen Attraktor kommen diese Komplikationen zum Tragen, indem der Attraktor selbst, bzw. das Attraktorgebilde eine spiralige Bahn mit Verkehrungen durchläuft. Ein einfaches und anschauliches Beispiel ist der RÖSSLER-Attraktor (vgl. ABRAHAM und SHAW, 1983: 94 f.). Die Figur wird von dem Attraktor selbst gebildet, wobei das in Abb. 2.24 wie eine Fläche aussehende Gebilde unendlich fein (in der Art eines Blätterteiges) gefaltet ist, d.h. die lineare Bahn des Attraktors bildet nicht nur eine Fläche aus, sondern sogar einen durch gefaltete Flächen dargestellten Quasikörper. Auch diese Figur kann mit Papier und Schere (allerdings ohne die Faltung) hergestellt werden.

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