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Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

18 Kapitel 3 Die Regeln,

18 Kapitel 3 Die Regeln, die festlegen, welche Zeichenketten wohlgeformte Ausdrücke des Systems sind (FORMATIONSREGELN), müssen z.B. bestimmen, daß die Kette (p q) ein wohlgeformter Ausdruck ist, während die Kette *( p) q ) kein wohlgeformter Ausdruck ist. Definition 3.1. Formel Ein wohlgeformter Ausdruck ist eine FORMEL. Formationsregeln Für die Bestimmung der Formeln des Aussagenkalküls sind die folgenden einfachen Formationsregeln ausreichend: Regel 1: eine Aussagenvariable ist eine Formel. Regel 2: ist P eine Formel, dann ist auch P eine Formel. Regel 3: sind P und Q Formeln, dann sind a. (P Q) b. (P Q) c. (P Q) ebenfalls Formeln. Regel 4: Ein Ausdruck ist nur dann eine Formel, wenn er durch Anwendung der obenstehenden Regeln konstruiert werden kann. Ableitungsbeispiel: (1) p Regel 1 (2) q Regel 1 (3) q Regel 2, (2) (4) (p q) Regel 3a, (1), (2) (5) (p q) Regel 2, (4) (6) (q q) Regel 3b, (2), (3) (7) ((p q) (qq)) Regel 3c, (5), (6) Die Klammern um die Ausdrücke sind wichtig, weil durch sie die Reihenfolge der semantischen Auswertung geregelt wird. (Mehr dazu weiter unten). Dies läßt sich verdeutlichen, wenn man die Ausdrücke durch Syntaxbäume darstellt. (3.4.) Syntaxbaum für den Ausdruck ((p q) (qq)) q p q q Ähnlich wie in der elementaren Arithmetik, wo Konventionen wie “Punktrechnung geht vor Strichrechnung” gelten, so daß z.B. ein Ausdruck wie 23 + 4 als (23) + 4 zu lesen ist und somit 23 zuerst berechnet werden muß, hat man auch für die logischen Konstanten der Aussagenlogik verschiedene Auswertungsprioritäten festgelegt, welche die Reihenfolge der Auswertung regeln, wenn diese nicht durch Klammern explizit ausgedrückt ist. So ist z.B. der Ausdruck a b c als (a b) c zu lesen. Man sagt, der Operator 'bindet' stärker als der Operator .

Es gelten folgende Bindungsregeln: bindet stärker als bindet stärker als bindet stärker als Grundbegriffe der Aussagenlogik 19 Berücksicht man diese Bindungsregeln, kann man die Klammerausdrücke vereinfachen. Die äußerste Klammer kann in jedem Falle weggelassen werden, d.h. (P) vereinfacht sich zu P. Zeile (7) der obigen Ableitung vereinfacht sich dadurch zu (p q) q q. 3.3. Semantische Regeln Das durch die Formationsregeln definierte formale System kann mit einer Semantik verbunden werden, durch die jeder Formel ein Wert zugewiesen wird, und zwar nach folgenden Regeln (P und Q sind jeweils Formeln): 14 Regel 1: eine Variable kann die Werte 1 oder 0 annehmen. Regel 2: f(P Q) = Regel 3: f(P Q) = 1, gdw f(P) 1 und f(Q) 1 0, sonst 0, gdw f(P) 0 und f(Q) 0 1, sonst Regel 4: f(P Q) = 0, gdw f(P) 1 und f(Q) 0 1, sonst Regel 5a: f(P) = 0, gdw f(P) = 1 Regel 5b: f( P) = 1, gdw f(P) = 0 Diese Regeln können als eine Charakterisierung der ‘Bedeutung’ der logischen Konstanten aufgefaßt werden, d.h. Regel 2 definiert die Bedeutung der Konstanten , Regel 3 die der Konstante , etc. Der Wert einer beliebigen Formel kann nun aus den Werten ihrer Konstituenten abgeleitet werden. Im folgenden Ausdruck soll gelten: p = 1 und q = 0: (p q) (q q) 1 1 0 0 1 0 1 1 0 Schritte: 8 1 5 2 9 3 7 6 4 Auf diese Weise können die Werte des Ausdrucks für alle möglichen Kombinationen der Werte von p und q berechnet werden: 14 gdw ist eine Abkürzung für 'genau dann wenn'. (p q) (q q) 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 Schritte: 8 1 5 2 9 3 7 6 4

Kapitel 3: Grundbegriffe der Aussagenlogik
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