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Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

20 Kapitel 3 3.4.

20 Kapitel 3 3.4. Interpretation Das obige formale System kann auf unterschiedliche Weise interpretiert werden. Im folgenden handelt es sich um das Aussagenkalkül, wenn wir die Variable als Aussagen (Propositionen) auffassen. Der Begriff AUSSAGE ist nicht leicht zu definieren und Gegenstand kontroverser Auseinandersetzungen in der Philosophie. Es möge folgende Arbeitsdefinition gelten: Definition 3.2. Aussage Eine AUSSAGE ist das, was durch einen Aussagesatz ausgedrückt wird, wenn wir damit eine Feststellung über einen Sachverhalt treffen. Ein Ausdruck bezeichnet eine AUSSAGE nur dann, wenn er als WAHR oder FALSCH interpretiert werden kann. Der Satz London ist die Hauptstadt von Uganda z.B. drückt eine Aussage aus, die falsch ist. Zwei oder mehrere Aussagen können durch Ausdrücke, die bedeutungsmäßig etwa den Wörtern 'nicht', 'und', 'oder', 'wenn … dann' entsprechen zu komplexen Aussagen (Aussagenverbindungen) verknüpft werden. Diese Ausdrücke heißen LOGISCHE KONSTANTE, FUNKTOREN, JUNKTOREN oder OPERATOREN. Wir können beispielsweise die obige Aussage und die durch den Satz London ist die Hauptstadt des Vereinigten Königreichs zur Aussagenverbindung London ist die Hauptstadt von Uganda oder London ist die Hauptstadt des Vereinigten Königreichs verknüpfen. Allgemein gilt, wenn p und q zwei Aussagen sind, dann ist die Verknüpfung p q ebenfalls eine Aussage, wobei das Zeichen die logische Konstante 'oder' symbolisiert. In der Alltagssprache werden Aussagen durch Sätze ausgedrückt. Ein und dieselbe Aussage kann dabei durch verschiedene Sätze ausgedrückt werden. So geben z.B. die folgenden Sätze die gleiche Aussage wieder: (3.5.) (a) Sterben ist menschlich (b) Jeder Mensch muß sterben (c) Der Mensch ist sterblich In loser Redeweise nennt man Sätze Aussagen, wenn sie Aussagen ausdrücken. Beispiele von Aussagen sind: (3.6.) (a) München liegt am Rhein (b) 3 ist eine Primzahl (c) Die Schlange ist ein Vogel (d) Die Luft ist leichter als Wasser Keine Aussagen sind: (3.7.) (a) Ein Objekt ist schwer (b) Rot ist besser als gelb (c) Scher dich zum Teufel Das Aussagenkalkül ist eine mögliche konkrete Interpretation des obigen formalen Systems, wobei die Variablen Aussagen und die Formeln Aussagenverbindungen repräsentieren. Die Werte stehen für die Wahrheitswerte wahr = 1 und falsch = 0. Die obigen semantischen Regeln definieren die WAHRHEITSFUNKTIONALEN Eigenschaften der logischen Konstanten: Negation: P: Es ist nicht der Fall daß P, wobei P falsch ist wenn P wahr ist, und wahr, wenn P falsch ist. Konjunktion: P Q: Sowohl P als auch Q, wobei P Q wahr ist gdw sowohl P als auch Q wahr sind; andernfalls ist es falsch. Disjunktion: P Q: Entweder P oder Q, oder beides, wobei P Q falsch ist gdw sowohl P als auch Q falsch ist; andernfalls ist es wahr. Implikation: P Q: Wenn P dann Q, wobei P Q falsch ist gdw P wahr ist und Q falsch; andernfalls ist es wahr.

3.5. Aussagenverbindungen Grundbegriffe der Aussagenlogik 21 AUSSAGENVERBINDUNGEN sind Verknüpfungen von Aussagen zu komplexen Aussagen. Verknüpfungen von Aussagen sind Aussagenverbindungen nur dann, wenn sie einen Wahrheitswert haben, d.h. entweder WAHR oder FALSCH sind. Demnach sind Aussagenverbindungen selbst Aussagen. Die Verknüpfung erfolgt durch aussagenlogische FUNKTOREN, denen in der Alltagssprache die Wörter und, oder, wenn … dann entsprechen. Dabei ist jedoch zu berücksichtigen, daß die alltagssprachlichen Wörter nicht eindeutig sind. So hat oder mindestens zwei Bedeutungen: (a) entweder … oder, oder beides (inklusives oder) (b) entweder … oder, aber nicht beides (exklusives oder) Die sprachlichen Mittel einer Wissenschaftsprache müssen jedoch präzise sein. Sie müssen daher genau definiert werden. Dabei entspricht die aussagenlogische Bedeutung nicht immer der alltagssprachlichen. Das ist besonders deutlich bei der sogenannten IMPLIKATION (s.u.). 3.5.1. KONJUNKTION Aussagenlogische Funktoren werden durch Wahrheitswerte definiert; es sind AUSSAGEN- FUNKTIONEN. Es wird dabei genau festgelegt, wie der Wahrheitswert einer bestimmten Aussagenverbindung von den Wahrheitswerten der Einzelaussagen abhängt. Da es dabei auf den konkreten Inhalt der Aussagen nicht ankommen soll, ersetzt man die Aussagen durch AUSSAGENVARIABLE, die durch kleine Buchstaben (p, q, r…) bezeichnet werden. Die logische KONJUNKTION zweier Aussagen entspricht ungefähr der Verwendung von und. 15 Der Funktor wird durch das Zeichen symbolisiert. Sind p und q zwei Aussagen, so ist auch p q eine Aussage, und zwar mit folgenden Eigenschaften: Definition 3.3. Konjunktion Sind P und Q zwei Aussagen, dann ist die Konjunktion P Q eine WAHRE Aussage genau dann, wenn sowohl P als auch Q wahr ist. Andernfalls ist sie falsch. Dem entspricht folgende Wahrheitstabelle: P Q P Q w w w w f f f w f f f f Diese Definition der Konjunktion leuchtet unmittelbar ein. Die Aussagenverbindung (3.8.) München liegt an der Isar, und Bonn liegt an der Weser ist wahr, wenn München wirklich an der Isar und Bonn wirklich an der Weser liegt. Da Bonn nicht an der Weser liegt, ist diese Aussagenverbindung falsch. Da es auf den konkreten Inhalt von Aussagen nicht ankommen soll, sondern nur auf den Wahrheitswert, ist auch der folgende Satz aussagenlogisch gesehen, der Ausdruck einer sinnvolle Aussagenverbindung: (3.9.) Die Katze ist ein Säugetier und 2 + 2 = 4 Es ist sogar eine wahre Aussagenverbindung, da die beiden Einzelaussagen ebenfalls wahr sind. 15 Es gibt jedoch auch andere Bedeutungen von und, z.B. in Er fiel die Treppe hinunter und brach sich das Bein. Hier kann die Reihenfolge der Teilsätze nicht umgekehrt werden: *Er brach sich ein Bein und fiel die Treppe hinunter.

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