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Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

22 Kapitel 3 3.5.2.

22 Kapitel 3 3.5.2. DISJUNKTION Die logische DISJUNKTION zweier Aussagen entspricht der Verwendung von oder in der Bedeutung 'entweder — oder, oder beides'. Der Funktor wird durch das Zeichen symbolisiert. Sind P und Q zwei Aussagen, dann ist auch P Q eine Aussage, und zwar mit folgenden Eigenschaften: Definition 3.4. Diskunktion Sind P und Q zwei Aussagen, dann ist die Disjunktion P Q eine FALSCHE Aussage genau dann, wenn sowohl P als auch Q falsch sind. Andernfalls ist sie wahr. Wahrheitstabelle: P Q P Q w w w w f w f w w f f f 3.5.3. KONDITIONAL Das KONDITIONAL (auch IMPLIKATION genannt) hat Ähnlichkeit mit der alltagssprachlichen Verwendung von wenn … dann, sie ist jedoch nicht damit identisch. In der allgemeinen Verwendung bezeichnet die wenn dann-Beziehung auch einen Kausalzusammenhang oder eine notwendige Folge: (3.10.) Wenn es regnet, wird die Straße naß (Kausalbezeichnung) (3.11.) Wenn ein Dreieck gleichwinklig ist, ist es auch gleichseitig (notwendige Folge) Das Konditional meint weder einen Kausalzusammenhang noch eine notwendige Folgerung. Der Funktor für das Konditionel wird durch das Zeichen symbolisiert. Wenn P und Q zwei Aussagen sind, dann ist auch P Q (lies: P impliziert Q) eine Aussage, und zwar mit folgenden Eigenschaften: Definition 3.5. Konditional Sind P und Q zwei Aussagen, dann ist die Aussagenverbindung P Q eine falsche Aussage genau dann, wenn P wahr und Q falsch ist. Andernfalls ist sie wahr. P Q K Q w w w w f f f w w f f w Diese Definition des Konditionals bereitet Verständnisschwierigkeiten, die z.T. daher rühren, daß die umgangssprachliche Verwendung des Konditionals vom Inhalt der Einzelaussagen abhängig ist. So behauptet die Definition, daß P Q auch dann wahr ist, wenn P falsch ist. Beispiel: (3.12.) Wenn Peter Maria liebt, dann liebt Maria Peter Man wird zugeben, daß diese Aussage wahr ist, wenn sowohl Peter Maria als auch Maria Peter liebt. Es leuchtet auch ein, daß die Aussage falsch ist, wenn zwar Peter Maria liebt, das umgekehrt aber nicht der Fall ist. Nach der Definition soll die Aussage aber wahr sein, wenn Peter Maria nicht liebt, gleichgültig, ob Maria Peter liebt oder nicht. Das will nicht mehr so recht einleuchten. Daß diese Definition des Konditionals dennoch sinnvoll ist, zeigt sich im Gesamtsystem der Aussagenlogik. Sie ist für die Schlußregeln notwendig und führt zu keinen Widersprüchen.

3.5.4. NEGATION Grundbegriffe der Aussagenlogik 23 Die logische NEGATION ist keine Aussagenverbindung im eigentlichen Sinn. Ist p eine Aussage, so ist die Negation von p die Aussage "es ist nicht der Fall, daß p". Der Ausdruck "es ist nicht der Fall, daß" wird durch das Zeichen symbolisiert. Ist P eine Aussage, so ist auch P eine Aussage, und zwar mit folgenden Eigenschaften: Definition 3.6. Negation Ist P eine Aussage, dann ist die Negation P wahr, wenn P falsch ist, und falsch, wenn P wahr ist. Wahrheitstafel: P P w f f w Diese Definition leuchtet unmittelbar ein. 3.5.5. KOMPLEXE AUSSAGENVERBINDUNGEN Natürlich gibt es auch Aussagenverbindungen, die aus mehr als zwei Aussagen bestehen. Man kann sie sich aus Aussagen und einfachen Aussagenverbindungen zusammengesetzt denken. Wir haben z.B. formuliert: wenn p und q Aussagen sind, dann ist auch p q eine AUSSAGE. Eine Aussagenverbindung ist eine Aussage. Man hat damit gleich eine Bildungsregel für komplexe Aussagenverbindung. p q bleibt eine Aussage, auch wenn man p oder q durch beliebige Aussagenverbindungen ersetzt. Um den Bezug der Funktoren eindeutig zu machen, müssen die substituierten Aussagenverbindung eingeklammert werden. Ersetzt man z.B. q durch q r, erhält man die komplexe Aussagenverbindung p (q r). Es gibt jedoch bestimmte Konventionen für die Bindekraft der Funktoren (s.o.) —- — — , bindet am stärksten, am schwächsten. Unter dieser Voraussetzung kann der Ausdruck auch als p q r geschrieben werden. Für komplexe Aussagenverbindungen gelten somit die gleichen Wahrheitsbedingungen wie für einfache Aussagenverbindungen. Die Aussage p (q r) ist nach der Definition der Implikation nur dann falsch, wenn p wahr ist und q r falsch. Die Aussage q r wiederum ist dann falsch, wenn sowohl q als auch r falsch ist. Folglich ist p (q r) genau dann falsch, wenn p wahr ist und q und r falsch. Durch schrittweise Anwendung der Wahrheitsfunktionen für die einzelnen Funktoren (z.B. mithilfe der Wahrheitstabellen) lassen sich die Wahrheitswerte von komplexen Aussagenverbindungen berechnen. p q r w w w w w w w w w f w w f w w w f f f f f w w w w f w w w f f w f w w f w f f f Schritte 1 5 2 4 3

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