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Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

24 Kapitel 3 3.5.6.

24 Kapitel 3 3.5.6. TAUTOLOGIE UND KONTRADIKTION Eine wesentliche Aufgabe der Aussagenlogik ist die Untersuchung der Wahrheitswerte von komplexen Aussagenverbindungen. Dabei interessieren vor allem zwei Fälle: 1. Aussagenverbindungen, die immer wahr sind, gleichgültig, welchen Wahrheitswert die Einzelaussagen haben; diese Aussagenverbindungen werden TAUTOLOGISCH genannt. 2. Aussagenverbindungen, die immer falsch sind; sie werden KONTRADIKTORISCH genannt. Definition 3.7. Tautologie Eine Aussagenverbindung ist eine TAUTOLOGIE, wenn sie unter allen Interpretationen wahr ist. Definition 3.8. Kontradiktion Eine Aussagenverbindung ist eine KONTRADIKTION, wenn sie unter allen Interpretationen falsch ist. Definition 3.9. erfüllbar Aussagenverbindungen, die weder tautologisch noch kontradiktorisch sind, heißen ERFÜLLBAR oder KONTINGENT. Eine einfache Tautologie ist z.B. (3.13.) a. Es ist nicht der Fall, daß Hans dumm ist und nicht dumm ist. b. (p p) Dagegen ist der folgende Satz eine Kontradiktion: (3.14.) a. Hans ist ehrlich und unehrlich. b. p p Das ist leicht einzusehen. Eine Konjunktion ist nur wahr, wenn beide Konjunktionsglieder wahr sind. Ist p wahr, dann ist p falsch; ist p falsch, dann ist p wahr. Folglich ist p p immer falsch und (p p) immer wahr. Dies wird auch in der expliziten Berechnung mit Wahrheitsfunktionen deutlich: (p p) w w f f w w f f w f Die Kontradiktion der Form p p spielt in der Beweisführung der Mathematik eine große Rolle. Das Verfahren besteht darin, daß man das Gegenteil der zu beweisenden Aussage annimmt und zeigt, daß diese Annahme zu einem Widerspruch führt (reduction ad absurdum). Nach dem gleichen Verfahren läßt sich auch beweisen, ob eine Aussagenverbindung eine Tautologie bzw. eine Kontradiktion ist. Es soll z.B. gezeigt werden, daß die folgende Aussagenverbindung eine Tautologie ist: (3.15.) (p q q r) (p r) (Wenn gilt 'p impliziert q' und 'q impliziert r', dann gilt auch p impliziert r.) Man kann den Beweis dadurch antreten, daß man sämtliche Wahrheitswertkombinationen durchrechnet (das wären immerhin acht Fälle). Das entspricht dem wissenschaftlichen Verfahren der VERIFIKATION. Man kann die Behauptung aber auch zu falsifizieren versuchen.

Grundbegriffe der Aussagenlogik 25 Eine Aussagenverbindung ist tautologisch, wenn sie immer wahr ist. Wir nehmen nun an, daß (p q q r) (p r) keine Tautologie ist, d.h. daß sie in mindestens einem Fall falsch ist. Nach der Definition der Implikation müßte dann (p q q r) wahr und (p r) falsch sein. (3.16.) (p q q r) (p r) w f f Nach der Definition der Konjunktion müssen daher p q und q r beide wahr sein. Außerdem kann p r nur dann falsch sein, wenn p wahr und r falsch ist. (3.17.) (p q q r) (p r) w w w f w f f Wenn r falsch ist, kann q r nur wahr sein, wenn auch q falsch ist. Wenn q falsch ist, kann p q nur wahr sein. wenn auch p falsch ist. (3.18.) (p q q r) (p r) F w f w f w f f W f f Die Annahme , daß (p q q r) (p r) keine Tautologie ist, hat die Folge, daß p gleichzeitig wahr und falsch sein müßte. Das ist ein Widerspruch. Folglich ist unsere Annahme falsch und (p q q r) (p r) ist eine Tautologie. Eine der Hauptaufgaben der formalen Logik ist es zu untersuchen, unter welchen formalen Bedingungen LOGISCHE SCHLÜSSE gültig sind. Ein Schluß besteht aus einer Menge von PRÄMISSEN, die als wahr angenommen werden und einer KONKLUSION, die daraus logisch (d.h. unabhängig von der Bedeutung der Prämissen) folgen soll. Ein Schluß ist gültig, wenn es eine entsprechende AUSSAGENFUNKTION (Assagenverbindung) gibt, die eine Tautologie ist. Betrachten wir folgendes Beispiel: Prämissen: 1. Entweder zahlt die Regierung Lösegeld, oder die Terroristen werden ihre Opfer töten 2. Die Regierung wird jedoch kein Lösegeld zahlen Konklusion: Folglich werden die Terroristen ihre Opfer töten. Die Frage ist nun, ob dieser Schluß gültig ist, d.h. ob die Konklusion tatsächlich logisch aus den Prämissen folgt. Setzen wir p = Die Regierung zahlt Lösegeld und q = Die Terroristen werden ihre Opfer töten, dann hat die erste Prämisse die Form p q, die zweite die Form p. Die Konklusion soll aus der Konjunktion der Prämissen folgen, d.h. aus (p q) p. Der gesamte Schluß wird also durch die folgende Aussagenverbindung dargestellt: (3.19.) (p q) p q Mithilfe der Wahrheitsfunktionen der Funktoren läßt sich die Gültigkeit dieser Formel berechnen: (p q) p q w w w f f w w w w w f f f w w f f w w w w f w w f f f f w f w f Schritte 1 5 2 7 6 3 8 4

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