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Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

28 Kapitel 3 P Q P Q w

28 Kapitel 3 P Q P Q w w w w f f f w f f f w Deutsche Ausdrücke, die dem Bikonditional entsprechen, sind dann und nur dann wenn, genau dann wenn, gerade dann wenn und ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für. Durch derart definitorisch eingeführte Äquivalenzen werden keine neuen Erkenntnisse gewonnen, aber die Ausdrucksfähigkeit der Sprache erweitert. In ähnlicher Weise ließe sich das Konditional per Definition einführen, wobei gilt P Q P Q: P Q P P Q P Q w w f w w w f f f f f w w w w f f w w w Es wurde schon darauf hingewiesen, daß eine Voraussetzung für die Äquivalenz von Ausdrücken ist, daß sie aus den gleichen Elementaraussagen aufgebaut sind. Beispielsweise können p q und p r nicht logisch äquivalent sein. Hingegen sind die Ausdrücke p (q q) und p (r r) jedoch logisch äquivalent, wie eine Berechnung der Wahrheitswerte zeigen würde, obwohl sie aus verschiedenen Elementaraussagen gebildet sind. Dies hängt damit zusammen, daß q q und r r beides Tautologien sind und somit unabhängig von den Wahrheitswerten von q und r stets genau den gleichen Beitrag für die Berechnung der Wahrheitswerte des Gesamtausdrucks leisten. Wir können allgemein sagen, daß zwei beliebige Tautologien oder zwei beliebige Kontradiktionen logisch äquivalent sind, selbst wenn sie nicht dieselben Elementaraussagen enthalten, da ihre Wahrheitswerte ja unabhängig von diesen Elementaraussagen sind. Wie bereits ausgeführt sind logisch äquivalente Ausdrücke in der Logik von großer Bedeutung, da sie in jedem Ausdruck beliebig füreinander ersetzt werden können, ohne dessen Wahrheitsgehalt zu ändern. Dadurch wird es möglich, aus Ausdrücken auf rein syntaktischem Wege neue äquivalente Ausdrücke zu bilden. In der logischen Praxis hat es sich als nützlich erwiesen, ein Grundinventar von logischen Äquivalenzen quasi als Grundgesetze zur Verfügung zu haben, aus denen alle anderen abgeleitet werden können (vgl. Tabelle Abb. 3.3.). Diese Tabelle enthält gewisse Redundanzen, insofern gewisse Äquivalenzen aus anderen abgeleitet werden können. Idempotenz und Komplementarität Die Gesetze für die IDEMPOTENZ und KOMPLEMENTARITÄT ergeben sich aus den folgenden Wahrheitstafeln: P P P P P P P P P P P w w w f w w f f f f w f w f

Grundbegriffe der Aussagenlogik 29 P, P P, P P, und P haben in der Tat die gleichen Wahrheitstafeln und sind somit äquivalent. P P ist eine Tautologie, was durch P P W ausgedrückt wird, hingegen ist P P eine Kontradiktion: P P F. Die Konjunktion und Disjunktion sind jeweils ASSOZIATIVE Verknpüfungen, d.h. es kommt nicht auf die Reihenfolge der Auswertung an. Da (p q) r und p (q r) äquivalent sind, können die Klammern auch weggelassen werden: p q r. 1) Gesetze der Idempotenz a) P P P b) P P P 2) Gesetze der Assoziativität a) (P Q) R P (Q R) b) (P Q) R P (Q R) 3) Gesetze der Kommutativität a) P Q Q P b) P Q Q P 4) Gesetze der Distributivität a) P(Q R) (P Q) (P R) b) P(Q R) (P Q) (P R) 5) Gesetze der Identität a) P F P b) P W W c) P F F d) P W P 6) Gesetze der Komplementarität a) P P W b) P P Gesetz der Negation c) P P F 7) Gesetze von De Morgan a) (P Q) P Q b) (P Q) P Q 8) Gesetze für das Konditional a) P Q P Q b) P Q (P Q) c) P Q Q P Gesetz der Kontraposition 9) Gesetze für das Bikonditional a) P Q(P Q) (Q P) b) P Q( P Q)(P Q) Abb. 3.3.

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