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Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

30 Kapitel 3

30 Kapitel 3 Kommutativität Die Gesetze der KOMMUTATIVITÄT ergeben sich eigentlich aus der Definition von Konjunktion und Disjunktion: f(P Q)= w, gdw f(P) w und f(Q) w f, sonst gleichgültig ob man {P/p, Q/q} oder {P/q, Q/p} substituiert. Distributivgesetz Das DISTRIBUTIVGESETZ 4.a. wird durch die folgenden Wahrheitstafeln verifiziert. Gesetze der Identität P Q R Q R P (Q R) P Q P R (P Q) (P R) w w w w w w w w w w f f w w w w w f w f w w w w w f f f w w w w f w w w w w w w f w f f f w f f f f w f f f w f f f f f f f f f Die Gesetze der IDENTITÄT ergeben sich wiederum aus der Definition von Konjunktion und Disjunktion. f(P Q)= und w, gdw f(P) w und f(Q) w f, sonst f(P Q)= f, dw f(P) f und f(Q) w, sonst f Für die Konjunktion gilt somit: ist Q eine Kontradiktion (F), so ist die Konjunktion immer falsch, gleichgültig welchen Wert P hat. Ist Q hingeben eine Tautologie (W), so ist der Wahrheitswert der Konjunktion ausschließlich von P abhängig. Für die Disjunktion gilt: ist Q eine Tautologie (W), so ist die Disjunktion immer wahr, gleichgültig welchen Wert P hat. Ist Q hingegen eine Kontradiktion (F), so ist der Wahrheitswert der Disjunktion ausschließlich von P abhängig. Gesetze für das Konditional Das Gesetz 8.a. ist bereits auf S. 28 durch Wahrheitstafeln verifiziert worden. Die übrigen Gesetze lassen sich durch Umformung ableiten, z.B.:

Grundbegriffe der Aussagenlogik 31 Zeile Formel aus Zeile(n) durch Gesetz (1) P Q (2) P Q (1) 8.a. (3) P Q (2) 6.b. Negation (4) (P Q) (3) 7.b. De Morgan Folglich: P Q (P Q) Zeile Formel aus Zeile(n) durch Gesetz (1) P Q (2) P Q (1) 8.a. (3) Q P (2) 3.a. Kommutativität (4) Q P) (3) 6.b. Negation (5) Q P (4) 8.a. Folglich: P Q Q P Gesetze für das Bikonditional Gesetz 9.a. gilt per Definition. Der Beweis von Gesetz 9.b. könnte wie folgt aussehen. Zeile Formel aus durch Gesetz (1) P Q (2) (P Q)(Q P) (1) 9.a. (3) ( P Q)( Q P) (2) 8.a. (4) (( P Q) Q) (( P Q) P) (3) 4.b. Distributivität (5) (( P Q) (Q Q)) (( P P) (P Q)) (4) 4.b. Distributivität (6) (( P Q) F) (F (P Q)) (5) 6.c. Komplementarität (7) ( P Q) (P Q) (6) 5.a. Identität Wir wollen nun noch einmal auf den Zusammenhang zwischen Äquivalenz und Bikonditional zu sprechen kommen. Wir haben gesagt, daß zwei Aussagen P und Q dann äquivalent sind, wenn sie unter den gleichen Bedingungen wahr oder falsch sind. Das bedeutet aber, daß sie immer nur gleichzeitig wahr oder gleichzeitig falsch sein können: f(P)=f(Q). Aus der Definition des Bikonditionals f(P Q)= w, gdw f(P) f(Q) f, sonst ergibt sich jedoch, daß es genau in diesen Fällen den Wert wahr erhält. Wir kommen damit zu folgendem Theorem: Theorem 3.1 Für beliebige Aussagen P und Q gilt: P und Q sind logisch äquivalent (P Q) genau dann, wenn P Q eine Tautologie ist.

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