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Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

32 Kapitel 3 Zur

32 Kapitel 3 Zur Illustration soll dies für die Äquivalenz P Q P Q demonstriert werden: P Q P Q P P Q (P Q) (P Q) w w w f w w w f f f f w f w w w w w f f w w w w Da die Wahrheit einer Tautologie unabhängig von der Wahrheit ihrer Elementaraussagen ist und ausschließlich von der formalen Struktur abhängt, kann man diese Elementaraussagen durch beliebige andere Aussagen ersetzen, ohne daß sich am Status der Tautologie etwas ändert, vorausgesetzt daß die Ersetzung konsistent erfolgt. Ist P Q eine Tautologie, so ist auch P' Q' eine Tautologie, wenn P' und Q' durch konsistente Substitution aus P bzw. Q hervorgehen. Wenn man in unserem Beispiel: (p q) (p q) beispielsweise p durch r s und q durch s ersetzt, erhält man die Tautologie ((r s) s) ((r s) s) und somit die logische Äquivalenz ((r s) s) ((r s) s). 3.6. Logisches Schließen Die eigentliche Aufgabe der formalen Logik ist es, die Gesetze des logischen Schließens zu untersuchen. Dabei geht es wiederum wesentlich darum zu zeigen, inwieweit die Gültigkeit eines Schlusses sich allein aus seiner Form ergibt. Definition 3.12. Schluß Ein SCHLUSS beteht aus einer Menge von Aussagen {P1,…,Pn}, den PRÄMISSEN, die als wahr vorausgesetzt werden, und einer weiteren Aussage K, der KONKLUSION, deren Wahrheit notwendig aus der Wahrheit der Prämissen folgen soll. Beispiel: Prämissen: Wenn Sokrates ein Mensch ist, so ist er sterblich. Sokrates ist ein Mensch Konklusion: Sokrates ist sterblich. Das Zeichen steht für also und kennzeichnet die Konklusion. Definition 3.13. Schlußschema Ein SCHLUSSSCHEMA ist eine Schlußform, in der anstelle von Aussagen Aussagenvariable stehen. Ein Schluß ist dann eine INSTANZ (ein "Einsetzungsbeispiel") eines Schlußschemas, wenn alle Variablen konsistent durch Aussagen ersetzt werden. Unser Beispiel ist eine Instanz des folgenden Schlußschemas, mit den Substitutionen {p/Sokrates ist ein Mensch, q/Sokrates ist sterblich} (3.21.) p q p q

3.6.1. LOGISCHE IMPLIKATION Grundbegriffe der Aussagenlogik 33 Ein Schluß ist dann gültig, wenn die Konklusion aus den Prämissen logisch folgt. Man nennt die logische Folge IMPLIKATION. Definition 3.14. logische Implikation Eine Aussage K ist die LOGISCHE IMPLIKATION einer Menge von Aussagen P = {P1,…,Pn} (symbolisch P ⊨ K gdw. P1 P2 … Pn K eine Tautologie ist. Definition 3.15. Gültigkeit Ein Schlußschema aus den Prämissen P = {P1,…,Pn} und der Konklusion K ist GÜLTIG gdw. P ⊨ K, d.h. wenn das Konditional P1 P2 … Pn K eine Tautologie ist; andernfalls ist das Schlußschema NICHT GÜLTIG. Definition 3.16. gültiger Schluß Ein Schluß ist gültig, wenn er die Instanz eines gültigen Schlußschemas ist. Um die Gültigkeit eines Schlußschemas zu beweisen, gilt es also zu zeigen, daß das Konditional aus der Konjunktion der Prämissen und der Konklusion eine Tautologie ist. In unserem Beispiel müßte also gezeigt werden daß (p q) q) q tautologisch ist. Ein sicheres Verfahren, das immer zum Ziel führt, besteht in der Berechnung der Wahrheitswerte: p q p q (p q) p ((p q) p q w w w w w w f f f w f w w f w f f w f w Aufgabe: Es soll überprüft werden, ob der folgende Schluß gültig ist: (3.22.) Wenn Hans Meier ein Konservativer ist, dann ist er für die Privatisierung der Müllabfuhr Hans Meier ist für die Privatisierung der Müllabfuhr Hans Meier ist ein Konservativer Dies ist eine Instanz des folgenden Schlußschemas (3.23.) p q q p Dieses Schema wäre gültig, wenn (p q) q p eine Tautologie wäre. Die Wahrheitstabelle dazu lautet: p q p q (p q) q ((p q) q) p w w w w w w f f f w f w w w f f f w f w (p q) q p ist nicht tautologisch und das zugrunde liegende Schlußschema somit nicht gültig.

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