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Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

36 Kapitel 3 Formel

36 Kapitel 3 Formel Umformung mit (p q) p q [(p q) p] q Kond [(p q) p] q De Morgan [(p q) p] q Neg [(p q) p] q De Morgan [p (p q] q Komm. [(p p) (p q)] q Distrib q [(p p) (p q)] Komm [q (p p)] [q (p q)] Distrib (q p p) (q p q) Assoz In der ersten Klausel kommen p und p, in der zweiten q und q vor, folglich ist die Formel tautologisch. Beispiel: Es soll gezeigt werden, daß die Formel (p q) (p q) eine Tautologie ist. Formel Umformung mit (p q) (q p) (p q) (q p) Kond (p q) (q p) Neg [(p q) (q p)] [(q p) (p q)] Bikond [(p q) (q p)] [(q p) (p q)] Kond [(p q) (q p)] [(q p) (p q)] De Morgan [(p q) (q p)] [(q p) (p q)] Neg {[p (q p)] [q (q p)]} {[q (p q)] [p (p q)]} Distrib [(p q p) (q q p)] [(q p q) (p p q)] Assoz (p q p) (q q p) (q p q) (p p q) Assoz Die letzte Zeile der Ableitung ist in konjunktiver Normalform. In jeder Klausel kommt eine Aussagenvariable sowohl als positives als auch als negatives Literal vor. Somit haben wir es nach Theorem 3.2 mit einer Tautologie zu tun. 3.6.3. SCHLUßREGELN Ein weiteres Verfahren, die Gültigkeit eines Schlusses zu beweisen besteht in der Zurückführung des Schlusses auf eine Kette von gültigen Schlüssen. Jede neue Formel, die aus den Prämissen gültig abgeleitet werden kann, sei es durch eine Äquivalenztransformation, oder als Konklusion eines als gültig erwiesenen Schlußschemas, kann als zusätzliche Prämisse im weiteren Beweisgang verwendet werden. Ähnlich wie bei den Äquivalenztransformationen ist es nützlich, sich einen Vorrat an gültigen Schlußschemata als Schlußregeln anzulegen.

Grundbegriffe der Aussagenlogik 37 Schlußregel Beispiel Modus Ponens (Abtrennungsregel) (M.P) p q Wenn Jumbo ein Elefant ist, dann ist er ein Säugetier p Jumbo ist ein Elefant q Jumbo ist ein Säugetier Modus Tollens (M.T.) p q Wenn Jumbo ein Elefant ist, dann ist er ein Säugetier q Jumbo ist kein Säugetier p Jumbo ist kein Elefant Kettenregel (K.R.) p q Wenn Hans ein Bayer ist, dann ist er ein Deutscher q r Wenn Hans ein Deutscher ist, dann ist er ein Europäer p r Wenn Hans ein Bayer ist, dann ist er ein Europäer Resolution (Res.) p q Der Anlaut ist stimmlos oder der Vokal ist gerundet p r Der Anlaut ist nicht stimmlos oder der Auslaut ist ein Konsonant q r Der Vokal ist gerundet oder der Auslaut ist ein Konsonant Modus Tollendo Ponens (M.T.P) p q Dieser Satz ist ein Aussagesatz oder ein Fragesatz p Der Satz ist kein Aussagesatz q Der Satz ist ein Fragesatz Vereinfachung (V.) p q [p] ist labial und [k] ist velar p [p] ist labial Konjunktion (K.) p Hans ist dumm q Fritz ist gescheit p q Hans ist dumm und Fritz ist gescheit Addition (Add.) p 'der Baum' ist ein Syntagma p q 'der Baum' ist ein Syntagma oder 'Baum' ist ein Morphem

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