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Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

38 Kapitel 3

38 Kapitel 3 Abtrennregel Die am häufigsten verwendete Schlußregel ist die ABTRENNREGEL mit dem traditionellen Namen modus ponens (genauer modus ponendo ponens) und hat die Form (3.28.) p q p q Die Gültigkeit dieses Schlusses setzt voraus, daß die Formel (p q) p q eine Tautologie ist. Dies kann auf verschiedene Weise gezeigt werden. 1. Durch eine Wahrheitstafel p q p q (p q) p (p q) p q w w w w w w f f f w f w w f w f f w f w 2. Indirekt durch die Annahme, daß die Formel nicht tautologisch sei, wobei die Berechnung der Wahrheitswerte zu einem Widerspruch führt ( p q ) p q w w w w w f f Die Annahme, daß der Schluß keine Tautologie ist, führt zu dem Widerspruch, daß q gleichzeitig wahr und falsch sein müßte. 3. Durch Vereinfachung mit Äquivalenztransformationen Schritt Formel Äquivalenzregel (1) (p q) p q) Konditional (8.a) (2) [(p q) p] q De Morgan (7.b) (3) [(p q) p] q Konditional (8.a) (4) [( p q) p] q De Morgan (7.a) (5) [( p q) p] q Negation (6.b) (6) [(p q) p] q Kommutativität (3.a) (7) [ p(p q)] q Distributivität (4.a) (8) [( p p)( p q)] q Kommutativität (3.a) (9) q[( p p)( p q) ] Distributivität (4.a) (10) [q ( p p)] [q( p q)] Assoziativität (11) (q p p) (q p q) Kommutativität (12) (q p p) ( p q q) Komplementarität (6.a) (13) (q W) ( p W) Identität (5.b) (14) (q W) W Identität (5.d) (15) q W Identität (5.b) (16) W 4. Überführung in konjunktive Normalform. Das ist fast identisch mit dem vorherigen Verfahren. Zeile (11) ist bereits in KNF.

Modus Tollens Grundbegriffe der Aussagenlogik 39 Das Schlußschema des modus tollens (genauer modus tollendo tollens) hat folgende Form (Beispiel s. Tabelle): (3.29.) p q q p Der Beweis erfolgt leicht durch die Äquivalenzregel der Kontraposition (8.c) und der soeben bewiesenen Abtrennregel: (1) p q Prämisse Kettenregel (2) q Prämisse (3) q p (1), Kontraposition (8.c) (4) p (2), (3), Abtrennregel Die KETTENREGEL (auch HYPOTHETISCHER SYLLOGISMUS) hat die Form (Beispiel s. Tabelle): (3.30.) p q q r p r Der Beweis per Wahrheitstafel ist bereits recht umständlich, am einfachsten ist ein indirekter Beweis über Wahrheitswerte: ( p q ) ( q r ) ( p r ) w w w w f w f f w f f 5 6 8 3 9 7 4 1 5 2 4 Das Konditional ist nur dann falsch (1), wenn die Konklusion falsch (2) und das Antezedens wahr ist (3). Die Konklusion ist wieder ein Konditional und kann nur falsch sein, wenn das rechte Glied falsch (4) und das Antezedens wahr ist (5). Damit sind die Werte für die Variablen p und r festgelegt. Die Konjunktion (3) kann nur wahr sein, wenn beide Konjunktionsglieder wahr sind (6 u. 7). Ein Konditional (6) mit wahrem Antezendens (5) ist wahr, wenn die Konklusion wahr ist (8). Ein Konditional mit falscher Konklusion ist wahr, wenn das Antezendens falsch ist (9). Das führt zu einem Widerspruch, denn nun müßte q gleichzeitig wahr (8) und falsch sein (9). Damit ist die Annahme, daß die Kettenregel keine Tautologie ist widerlegt. Resolution (3.31.) p q p r q r Beweis: (1) p q Prämisse (2) p r Prämisse (3) q p (1), Kommutativität (4) q p (3), Konditional (5) p r (2), Konditional (6) q r (4), (5), Kettenregel (7) q r (6), Konditional

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