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Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

42 Kapitel 3 (3.36.) p q

42 Kapitel 3 (3.36.) p q r ∶ z m n zu beweisen, beweisen wir (3.37.) p q r ∶ z m n Ein Schlußschema ist dann und nur dann gültig, wenn die Implikation mit der der Konjunktion der Prämissen als Antezedens und der Konklusion als Konsequens eine Tautologie ist, in unserem Fall muß das für (p q … z) (m n) einerseits und (p q … z m) n andererseits gelten. Die Gültigkeit des Konditionalbeweises beruht auf der Tatsache, daß diese beiden Aussagenverbindungen logisch äquivalent sind, wie folgende Ableitung zeigt: (1) (p q … z) (m n) (2) (p q … z) (m n) (1) Kond. (3) (p q … z) (m n) (2) Kond. (4) ((p q … z) m) n (3) Assoz. (5) ((p q … z) m) n (4) DeM. (6) ((p q … z) m) n (5) Kond. Beispiel: (3.38.) p (q r) r p q Beweis: (1) p (q r) Prämisse (2) r Prämisse (3) p Konditionalbeweis (4) q r (1),(3), Modus Ponens (5) r q (4),Kommutativität (6) q (2),(5), Modus Tollendo Ponens (7) p q Konditionalbeweis 3.6.5. DER INDIREKTE BEWEIS (REDUCTIO AD ABSURDUM) Die bisherigen Beweisverfahren gehören all zur Klasse der direkten Beweise, die durch eine endliche Folge von gültigen Ableitungsschritten als letzte Zeile einer Ableitung die Konklusion liefern.

Grundbegriffe der Aussagenlogik 43 Ein besonders in der Mathematik häufig verwendetes Beweisverfahren ist der INDIREKTE BEWEIS, traditionell auch reductio ad absurdum genannt. Bei einem indirekten Beweis wird die Negation der zu beweisenden Konklusion als vorläufige Prämisse hinzugenommen, und zu zeigen versucht, daß die so entstandene Aussagenmenge zu einem Widerspruch führt. Wenn die einzelnen Ableitungsschritte zulässig sind, dann kommt man zu einem Widerspruch dann, wenn eine oder mehrere Prämissen falsch sind. Da alle ursprünglichen Prämissen als wahr vorausgesetzt werden, muß die als Prämisse hinzugenommene Negation der zu beweisenden Konklusion falsch sein. Somit ist die zu beweisende Konklusion wahr. Betrachten wir dazu folgendes Beispiel: (3.39.) p q q r r p Bei einem indirekten Beweis geht man folgendermaßen vor: (1) p q Prämisse (2) q r Prämisse (3) r Prämisse (4) p Indirekter Beweis (5) q (1),(4) Modus Tollendo Ponens (6) r (2),(5) Modus Ponens (7) r r (3),(6) Konjunktion (8) p Zu beweisen ist p. In Zeile (4) wird die Negation p vorläufig zu den Prämissen hinzugenommen. Dies führt in Zeile (7) zu dem Widerspruch r r. p muß daher falsch sein. Somit ist p wahr. 3.6.6. DAS RESOLUTIONSPRINZIP Der indirekte Beweis (reductio ad absurdum) hat in den letzten Jahrzehnten in Verbindung mit dem Schlußschema der RESOLUTION und der KONJUNKTIVEN NORMALFORM in der Forschung zum automatischen Beweisen große Bedeutung erlangt. Dieses sog. RESOLUTIONSPRINZIP wurde in den sechziger Jahren von J. A. Robinson (s. ROBINSON 1965) begründet. Dieses Prinzip beruht wie der Name schon sagt auf dem Schlußschema der Resolution: (3.40.) p q p r q r Man bezeichnet die Konklusion beim Resolutionsschema als RESOLVENTE. Der Beweis soll hier der Bequemlichkeit halber noch einmal aufgeführt werden: (1) p q Prämisse (2) p r Prämisse (3) q p (1), Kommutativität (4) q p (3), Konditional (5) p r (2), Konditional (6) q r (4), (5), Kettenregel (7) q r (6), Konditional

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