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Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

50 Kapitel 4 Der

50 Kapitel 4 Der Ausdruck (4.19.) ist die prädikatenlogische Darstellung der Aussage (4.9.) Die Analyse hat gezeigt, daß die äußerlich so ähnlichen Sätze (4.8.) und (4.9.) Aussagen von sehr verschiedener Struktur ausdrücken. Die Analyse der internen Struktur von Aussagen ist notwendig, um die Gesetzmäßigkeiten des logischen Schließens untersuchen zu können. Wir haben eingangs gesagt, daß die Gültigkeit des Schlusses (4.3.) mit den Mitteln der Aussagenlogik nicht zu etablieren ist. Die gleiche Struktur hat (4.20.) Fußballspieler sind bestechlich Fritz ist ein Fußballspieler Fritz ist bestechlich In prädikatenlogischer Darstellung lautet dieser Schluß: (4.21.) (a) x (Fußballspieler(x) bestechlich(x)) (b) Fußballspieler(Fritz) (c)bestechlich(Fritz) Aussagen mit einem Allquantor werden ALLAUSSAGEN genannt. Sie sollen für alle Objekte eines bestimmten Gegenstandsbereichs gelten. Allaussagen gehen in Einzelaussagen über, wenn man die Variablen durch Konstanten ersetzt. Ersetzt man in (4.21.)(a) die Variable durch Fritz, so erhält man die Einzelaussage (4.22.) Fußballspieler(Fritz) bestechlich (Fritz) Die Allaussage (4.21.)(a) wird als wahr vorausgesetzt. Folglich muß auch die Aussage (4.22.)als wahr vorausgesetzt werden, denn sie ist nur ein Sonderfall von (4.21.)(a). Es gilt allgemein das folgende Schlußschema (Allbeseitigung): (4.23.) x p(x) p(a) Damit läßt sich der Schluß (4.21.)(a) zurückführen auf das Schema Modus Ponens: (4.24.) (1) x (Fußballspieler(x) bestechlich(x)) Prämisse (2) Fußballspieler(Fritz) Prämisse (3) Fußballspieler(Fritz) bestechlich(Fritz) (1) Allbeseitigung (4) bestechlich(Fritz) (2), (3), Modus Ponens 4.2.2. EXISTENZQUANTOR Neben Allaussagen gibt es noch andere “quantifizierte” Aussagen, z.B.: (4.25.) Einige Menschen sind Kannibalen Wenn jemand (4.25.) behauptet, dann kann er den Beweis für seine Behauptung antreten, indem er mindestens einen Menschen vorführt, auf den das Prädikat Kannibale zutrifft. Wenn es mehr als einer ist, umso besser. Der logische Sinn von (4.25.) ist also: (4.26.) Es gibt mindestens einen Menschen, der Kannibale ist (4.27.) Es gibt mindestens ein x, für das gilt: x ist ein Mensch und x ist Kannibale.

Grundbegriffe der Prädikatenlogik 51 Der Ausdruck es gibt (mindestens) ein x, für das gilt wird durch das Zeichen x symbolisiert und EXISTENZQUANTOR genannt. Aussagen mit Existenzquantor heißen EXISTENZAUSSAGEN, sie behaupten die Existenz von Objekten mit bestimmten Eigenschaften. 19 Das Zeichen ist ein großes Disjunktionszeichen, was darin begründet ist, daß eine Existenzaussage als die "Summierung" einer Disjunktion von Elementaraussagen aufgefaßt werden kann: x = an p(x) = p(a1) p(a2) … p(an) x = a1 Die prädikatenlogische Darstellung von (4.25.) lautet also: (4.28.) x (Mensch(x) Kannibale(x)) 4.2.3. DAS VERHÄLTNIS VON ALLQUANTOR UND EXISTENZQUANTOR Wie muß nun ein Satz wie (4.29.) prädikatenlogisch dargestellt werden? (4.29.) Kein Mensch ist unfehlbar Es wird offenbar ausgesagt, daß das Prädikat unfehlbar auf keinen Menschen zutrifft, anders ausgedrückt, daß für alle Menschen gilt, daß sie nicht unfehlbar sind: (4.30.) (a) Für alle x gilt: wenn x ein Mensch ist, dann ist es nicht der Fall, daß x unfehlbar ist. (b) x (Mensch(x) unfehlbar(x)) Genausogut hätte man allerdings auch formulieren können (4.31.) (a) Für alle x gilt: es ist nicht der Fall, daß x ein Mensch und gleichzeitig unfehlbar ist. (b) x (Mensch(x) unfehlbar(x)) Formal ergibt sich dieser Zusammenhang aus den Gesetzen der Aussagenlogik, wo beispielsweise die Äquivalenzen P Q P Q und (P Q) P Q gelten. Damit erhalten wir folgende Ableitung: Mensch(x) unfehlbar(x) Mensch(x) unfehlbar(x) (Mensch(x) unfehlbar(x)) Die Ausdrücke (4.30.)(b) und (4.31.)(b) besagen das gleiche, sie sind ÄQUIVALENT. Nun kann man statt (4.29.) auch sagen (4.32.) (a) Es gibt keinen Menschen, der unfehlbar ist (b) Es ist nicht der Fall, daß es ein x gibt, so daß gilt: x ist ein Mensch, und x ist unfehlbar (c) x (Mensch(x) unfehlbar(x)) Etwas anderes bedeutet (4.33.) Nicht jeder Mensch ist glücklich 19 Eine alternative Konvention für den Existenzquantor ist x p(x).

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