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Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

52 Kapitel 4 Dieser Satz

52 Kapitel 4 Dieser Satz kann folgendermaßen paraphrasiert werden: (4.34.) (a) Es ist nicht der Fall, daß alle Menschen glücklich sind (b) x (Mensch(x) glücklich(x)) Die gleiche Bedeutung wie (4.34.) hat auch (4.35.) (a) Manche Menschen sind nicht glücklich (b) Es gibt Menschen, die nicht glücklich sind (c) x (Mensch(x) glücklich(x)) Es besteht also ein enger Zusammenhang zwischen Allaussagen und Existenzaussagen, bei dem die Negation eine wichtige Rolle spielt. Man kann daher auch Regeln formulieren, nach denen Aussagen in andere Aussagen umgeformt werden können, ohne daß sich die Wahrheitsbedingungen ändern. So gelten z.B. allgemein folgende Äquivalenzbeziehungen: (4.36.) (a) x P x P ("Für alle x gilt P" ist äquivalent mit "es gibt kein x für das P nicht gilt") (b) x P x P ("Es gibt ein x für das P gilt" ist äquivalent mit "es ist nicht der Fall, daß für alle x P nicht gilt") Diese Äquivalenzen lassen sich formal auch noch folgendermaßen begründen: Wir haben gesehen, daß die Quantoren x und x sozusagen als "Summenzeichen" der Konjunktion bzw. der Disjunktion gelten können: x p(x) p(a1) p(a2) p(a3) … p(an) Nach dem Gesetz der Negation gilt dann auch: (p(a1) p(a2) p(a3) …) bzw. (p(a1) p(a2) p(a3) …)] Aufgrund der Assoziativität der Konjunktion (P (Q R)) (P Q) R P Q R können wir darauf schrittweise das Gesetz von de Morgan anwenden: p(a1) (p(a2) p(a3) …)] p(a1) p(a2) (p(a3) p(a4) …)] usw. (p(a1) p(a2) (p(a3) p(a4) …) x p(x) 4.3. Relationen Die bisher behandelten Aussagen bestehen entweder aus einer Individuenkonstante und einem Prädikat, sind also von der Form P(a), oder aus einer quantifizierten Verbindung von Aussageformen der Art P(x). Die Aussage (4.37.) dagegen enthält zwei Individuenkonstanten: Peter und Fritz. (4.37.) Peter ist größer als Fritz Die Aussage (4.37.)hat die Form (4.38.) x ist größer als y

Grundbegriffe der Prädikatenlogik 53 wobei x und y Individuenvariablen sind. Den verbleibenden Teil ist größer als nennt man ebenfalls Prädikat. Ebenso ist der Ausdruck liegt zwischen ... und in (4.39.) ein Prädikat: (4.39.) (a) Bremen liegt zwischen Frankfurt und Hamburg (b) x liegt zwischen y und z Man kann also zwischen Aussagen mit einer Individuenkonstante und solche mit mehr als einer Individuenkonstante unterscheiden. Die entsprechenden Aussagenformen enthalten dann eine oder mehrere Leerstellen (Variablen). Man nennt die in diesen Aussagen bzw. Aussagenformen enthaltenen Prädikate daher jeweils EINSTELLIGE, ZWEISTELLIGE, DREISTELLIGE etc. Prädikate. Mehrstellige Prädikate stehen für RELATIONSBEGRIFFE, d.h. für Begriffe, die irgendwelche Beziehungen zwischen Objekten repräsentieren. Man nennt mehrstellige Prädikate daher auch RELATIONEN. Auch Substantive können Relationen sein, z.B.: (4.40.) (a) Hans und Paul sind Brüder (b) Hans ist Bruder von Paul Aussagen mit Relationen (mehrstelligen Prädikaten) symbolisiert man ähnlich wie Aussagen mit einstelligen Prädikaten, indem man zuerst die Relation nennt und dahinter die Individuenkonstanten (bzw. Variablen) in Klammern setzt: (4.41.) (a) R(a, b) (b) R(x, y) Prädikate bezeichnen also Allgemeinbegriffe (z.B. Pferd, Katze) Eigenschaftsbegriffe (z.B. groß, rot) Relationsbegriffe (z.B. größer als) Wie muß nun eine Aussage (4.42.) analysiert werden? (4.42.) Pferde sind größer als Kaninchen Es wird ausgesagt, daß die Beziehung "x ist größer als y" zwischen jedem beliebigen Pferd einerseits und jedem beliebigen Kaninchen andererseits gilt. Anders ausgedrückt, jedes Element aus der Menge der Pferde ist größer als jedes Element aus der Menge der Kaninchen: (4.43.) (a) Für alle x und alle y gilt: wenn x ein Pferd ist und y eine Katze, dann ist x größer als y (b) x y (Pferd(x) Katze(y) größer als(x, y)) Man vergleiche auch (4.44.) (a) Manche Menschen gleichen sich (b) Es gibt mindestens einen Menschen x und einen Menschen y, so daß gilt: x gleicht y (c) x y (M(x) M(y) G(x, y)) 4.4. Die Syntax der Prädikatenlogik Nach der vorangegangenen eher informellen Besprechung der sprachlichen Erweiterungen der Aussagenlogik in der Prädikatenlogik, können wir jetzt daran gehen, die Sprache der Prädikatenlogik durch genaue Syntaxregeln präzise zu definieren. Sie ist bestimmt durch eine Menge von Grundzeichen, einem ALPHABET, und der Menge der (wohlgeformten) FORMELN, die aus dem Alphabet konstruierbar sind.

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