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Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

54 Kapitel 4 Definition

54 Kapitel 4 Definition 4.2. Alphabet Ein ALPHABET besteht aus folgenden Symbolklassen: Individuenvariable: x, y, z, x1…,y1…, z1… Individuenkonstante: a, b, c, …, a1 …, b1…, c1… Funktionen: f, g, h, f1 …, g1 …, h1 … mit verschiedener Stelligkeit >0. Prädikaten: p, q, r, p1 …, q1 …, r1 … mit verschiedener Stelligkeit 0. Negation: Konjunktion und Disjunktion: , Konditional und Bikonditional , Allquantor: Existenzquantor: Interpunktionszeichen: (, ), [, ], {,} und ",". Zur Bezeichnung von Variablen, Konstanten, Funktionen und Prädikaten werden hier die üblichen Konventionen angenommen. Zur Beschreibung eines bestimmten Gegenstandsbereiches kann es sinnvoll sein, enger am Gegenstand orientierte Repräsentationsformen zu wählen. Die Grundbausteine der Formeln werden TERME genannt. Definition 4.3. Term Ein TERM wird induktiv wie folgt definiert: 1. Jede Individuenvariable ist ein Term. 2. Jede Individuenkonstante ist ein Term. 3. Ist f eine n-stellige Funktion und sind t1, …, tn Terme, dann ist f(t1,…,tn) ein Term. 4. Nur so gebildete Zeichenketten sind Terme. Beispiele: x, y (Variable) a1, b2, cn (Konstante) f(a), g(x, f(a,y), f(a, g(b, h(x,y)), f1(z)) (Funktionen) Ist f(t1, …, tn) ein Funktionsterm, so heißen die Terme t1, …, tn die ARGUMENTE des Terms. Funktionen sind komplexe Repräsentationen von Individuen. Wofür eine Funktion steht, hängt von der Interpretation des Formalismus bezüglich eines bestimmten Gegenstandsbereiches ab. Definition 4.4. Primformel Ist p ein n-stelliges Prädikat und sind t1, …, tn Terme, dann ist p(t1, …, tn) eine PRIMFORMEL. 20 Beipiele: p, q (0-stellige Prädikate) p1(x), r(f(a)) (1-stellige Prädikate) q2(f(a,b), g(x), s(x, f(y)) (2-stellige Prädikate) 20 PRIMFORMELN werden auch ATOMARE FORMELN oder ATOME genannt.

Definition 4.5. Argument Grundbegriffe der Prädikatenlogik 55 Ist p(t1, …, tn) eine Primformel, so heißen die Terme t1, …, tn die ARGUMENTE der Primformel. Prädikate unterscheiden sich von Funktionen dadurch, daß sie Wahrheitswerte repräsentieren. Alle komplexen FORMELN sind aus Primformeln zusammengesetzt: Definition 4.6. Formel Eine (WOHLGEFORMTE) FORMEL kann induktiv wie folgt definiert werden: 21 1. Primformeln sind Formeln. 2. Ist F eine Formel so ist auch F eine Formel. 3. Sind F und G Formeln, so sind auch (F G), (F G), (F G) und (F G) Formeln. Für (F G) kann auch (G F) geschrieben werden. 4. Ist F eine Formel und x eine Variable, dann sind (x F) und (x F) Formeln. Beispiele p, q (0-stellige Primformeln) p(x), q(y), r(a) (1-stellige Primformeln) (p(x)) (p(a) q(b)), (p(x) q(x)), p(a) q(b) (x p(x)), (y (p(y) q(y)) Die BINDUNGSBEREICHE der Quantoren ergeben sich aus der in der Definition aufgrund von (3.) verwendeten Klammerung. Definition 4.7. Skopus Der SKOPUS (Bindungsbereich) von x (bzw. x) in x F (bzw. x F) ist F. Definition 4.8. gebunden Eine Variable kommt in einer Formel GEBUNDEN vor, wenn sie unmittelbar nach einem Quantor steht (z.B. x P oder x Q) oder wenn sie im Skopus eines Quantors mit der gleichen Variablen vorkommt (z.B. x p(x, y) bzw. y (p(y) q(y)). Definition 4.9. frei Beispiele Eine Variable die nicht gebunden ist ist frei. In der Formel x p(x, y) q(x) kommt x die ersten beiden Male gebunden vor, das dritte Mal frei, denn der Skopus von x ist p(x, y). In x (p(x, y) q(x)) kommt x nur gebunden vor, weil der Skopus von x jetzt p(x, y) q(x) ist. 21 Änderungen im Vergleich zur Aussagenlogik sind eingerahmt.

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