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Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

56 Kapitel 4 Definition

56 Kapitel 4 Definition 4.10. Geschlossene Formel Sind in einer Formel F alle Variablen durch Quantoren gebunden, gibt es also keine "freien" Variablen, dann wird F als GESCHLOSSENE FORMEL bezeichnet. Es gelten folgende Bindungsregeln und binden stärker als bindet stärker als bindet stärker als Definition 4.11. Sprache erster Ordnung Beispiele: Eine Sprache erster Ordnung bei einem gegebenen Alphabet besteht aus der Menge der Formeln, die aus den Symbolen des Alphabets nach den Regeln der Syntax gebildet werden können. (4.45.) (a) (x (y (p(x,y) q(x)))) (b) ((x (p(x,a) q(f(x))))) (c) (x (p(x,g(x)) (q(x) (r(x))))) sind Formeln. Unter Berücksichtigung der Vorrangskala können diese wie folgt vereinfacht werden: (4.46.) (a) x y (p(x,y) q(x)) (b) x(p(x,a) q(f(x))) (c) x(p(x,g(x)) q(x) r(x)) 4.5. Die Semantik der Junktoren und Quantoren 4.5.1. JUNKTOREN Die Junktoren (, , , , ) haben in der Prädikatenlogik die gleiche Semantik wie in der Aussagenlogik. 4.5.2. QUANTOREN x p(x) bedeutet "es gibt ein x das p(x) wahr macht", oder: p(a1) p(a2) p(a3) … p(an) x p(x) bedeutet "für alle x gilt, daß p(x) wahr ist", oder: p(a1) p(a2) … p(an). x (p(x) q(x) r(x,g(x))) heißt also "für alle x gilt, wenn p(x) wahr ist und q(x) falsch, dann ist r(x, g(x)) wahr."

4.5.3. ÄQUIVALENZEN (1) x F F Ableitung: x p(x) p(a1) p(a2) … p(an) (p(a1) p(a2) … p(an)) p(x) (2) x F F x p(x) p(a1) p(a2) … p(an) (p(a1) p(a2) … p(an)) x p(x) (3) x y F y x F (4) x y F y x F (5) x y F y x F (6) x (F G) x F x G (7) x (F G) x F x G Grundbegriffe der Prädikatenlogik 57 4.6. Logisches Schließen im Rahmen der Prädikatenlogik Eine wesentliche Aufgabe auch der Prädikatenlogik ist die Untersuchung der Gesetzmäßigkeiten des logischen Schließens, wobei sich durch all- bzw. existenzquantifizierte Aussagen besondere Probleme ergeben. Für nicht-quantifizierte Aussagen gelten die Schlußregeln der Aussagenlogik weiterhin. Das Schließen mit allquantifizierten Aussagen soll an einem linguistischen Beispiel kurz erläutert werden. Im übrigen soll die Thematik, mit Ausnahme des Resolutionsprinzips im nächsten Abschnitt, nicht weiter vertieft werden. Als Beispiel wählen wir eine kontexfreie Phrasenstruktur-Grammatik als Beschreibung der grammatischen Sätze eines Fragments der englischen Sprache. Die Sätze sind Ketten von englischen Wörtern, die bestimmte Bedingungen erfüllen, z.B. die, daß sie nach festen Regeln aus Teilketten aufgebaut sind. (4.47.) Gegeben sei folgende Grammatik: Satz NP⁀VP NP Det⁀N NP Name VP Vt⁀NP

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