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Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

58 Kapitel 4 VP Vi Det

58 Kapitel 4 VP Vi Det the N boy N girl N ball Name John Name Mary Vt loves Vt kicked Vi jumped Die Regel SatzNP⁀VP ist etwa so zu interpretieren: Eine Wortkette z ist ein Satz gdw. sie sich so in zwei Teilketten x und y zerlegen läßt (d.h. z = x⁀y), daß x eine Nominalphrase (NP) und y eine Verbalphrase (VP) ist. Prädikatenlogisch ausgedrück heißt dies: x y (Satz(x⁀y) NP(x) VP(y)). Wir können die Grammatik als ein Axiomensystem G auffassen, das aus einer Menge von Allaussagen und Einzelaussagen über Wortketten und Wörter besteht. Eine Wortkette ki ist dann ein grammatischer Satz, wenn die Aussage Satz(ki) aus dem Axiomensystem ableitbar ist, d.h. wenn gilt G Satz(ki). Die prädikatenlogische Interpretation dieser Grammatik sieht wie folgt aus: (4.48.) R1: x y (NP(x) VP(y) Satz(x⁀y)) R2: x y (Det(x) N(y) NP(x⁀y)) R3: x (Name(x) NP(x)) R4: x y (Vt(x) NP(y) VP(x⁀y)) R5: x (Vi(x) VP(x)) Lexikon: Det(the) N(boy) N(girl) N(ball) Name(John) Name(Mary) Vt(loves) Vt(kicked) Vi(jumped) Vi(laughed) Es soll beispielsweise gezeigt werden, daß der Ausdruck the girl laughed ein grammatischer Satz ist. Dazu müssen wir mit den Regeln und dem Lexikon der Grammatik als Prämissen beweisen, daß die Ausage Satz(the⁀girl⁀laughed) aus der Grammatik G ableitbar ist, daß also gilt: G Satz(the⁀girl⁀laughed)

Beweis Grundbegriffe der Prädikatenlogik 59 (1) Det(the) Lexikon (2) N(girl) Lexikon (3) Det(the) N(girl) (1),(2) Konjunktion (4) Det(the) N(girl) NP(the⁀girl) R2, Allbeseitigung (5) NP(the⁀girl) (3),(4) Modus Ponens (6) Vi(laughed) Lexikon (7) Vi(laughed) VP(laughed) R5, Allbeseitigung (8) VP(laughed) (6),(7) Modus Ponens (9) NP(the⁀girl) VP(laughed) (5),(8) Konjunktion (10) NP(the⁀girl) VP(laughed) Satz(the⁀girl⁀laughed) R1 (11) Satz(the⁀girl⁀laughed) (9),(10) Modus Ponens 4.7. Das Resolutionsprinzip in der Prädikatenlogik Wir haben das Resolutionsprinzip bereits in der Aussagenlogik kennengelernt. Die Anwendung auf die Prädikatenlogik wird komplizierter durch die Existenz von quantifizierten Aussagen mit Individuenvariablen. Wir müssen für die Prädikatenlogik einige Begriffe neu definieren, den Algorithmus zur Übersetzung von Formeln in die Klauselform erweitern, und die Bedingungen für die Anwendung des Resolutionsschemas präzisieren. 4.7.1. KLAUSELFORM Die Begriffe LITERAL und KLAUSEL müssen für die Prädikatenlogik neu definiert werden: Definition 4.12. Literal Ein LITERAL ist eine Primformel oder die Negation einer Primformel. Beispiele für Literale sind p(x), q(f(a,b)),v(x,y) . Definition 4.13. Klausel Eine KLAUSEL ist eine Formel der Form x1…xs(L1 … Lm) wobei jedes Li ein Literal ist und x1,…, xs die einzigen Variablen sind, die in L1 … Lm vorkommen. Beispiele: Die folgenden Formeln sind Klauseln x y z (p(x,z) q(x,y) r(y,z)) x y (p(x,y) r(f(x,y),a)) Für Klauseln gibt es eine besondere Schreibweise, die in der Logikprogrammierung verwendet wird. Man erhält sie, indem man zunächst die Literale nach positiven und negativen Literalen sortiert, z.B. (4.49.) x1…xs(A1 … Ak B1 … Bn)

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