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Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

60 Kapitel 4 Sei (4.49)

60 Kapitel 4 Sei (4.49) eine Klausel mit den Primformeln A1,…, Ak, B1,…,Bn und x1,…,xs als den einzigen darin vorkommenden Variablen, so kann dafür (4.50.) A1, …, Ak B1, …, Bn geschrieben werden. Dies ergibt sich aus der Äquivalenz von (4.51.) x1…xs(A1 … Ak B1 … Bn) und (4.52.) x1…xs(A1 … Ak B1 … Bn) und der Tatsache, daß alle vorkommenden Variablen allquantifiziert sind, so daß die Quantoren per Konvention weggelassen werden können. Definition 4.14. Programmklausel Eine PROGRAMMKLAUSEL ist eine Klausel der Form A B1,…,Bn und enthält genau ein positives Literal (A). A ist der KOPF und B1,…,Bn der RUMPF der Programmklausel. Definition 4.15. Einheitsklausel Eine EINHEITSKLAUSEL ist eine Klausel der Form A d.h. eine Programmklausel mit leerem Rumpf. Definition 4.16. Logikprogramm Ein LOGIKPROGRAMM ist eine endliche Menge von Programmklauseln. Definition 4.17. Definition In einem Logikprogramm ist die Menge aller Programmklauseln mit dem gleichen Prädikat p im Kopf die DEFINITION von p. Definition 4.18. Zielklausel Eine ZIELKLAUSEL ist eine Klausel der Form B1,…,Bn d.h. eine Klausel ohne Kopf. Jedes Bi(i=1,…, n) ist ein TEILZIEL der Zielklausel. Seien y1,…,yr die Variablen der Zielklausel B1,…,Bn, dann ist dies eine Abkürzung für y1 … yr(B1 … Bn) oder, äquivalent dazu, y1 … yr(B1 … Bn) Definition 4.19. Leere Klausel Die LEERE KLAUSEL , ist die Klausel ohne Kopf und Rumpf. Sie ist als Kontradiktion zu verstehen. Definition 4.20. Horn Klausel Eine HORN KLAUSEL ist eine Klausel, die entweder eine Programmklausel oder eine Zielklausel ist.

Grundbegriffe der Prädikatenlogik 61 4.7.2. UMWANDLUNG VON FORMELN IN KLAUSELFORM Bei der Umwandlung von Formeln in Klauselform gelten die gleichen Regeln wie für die Aussagenlogik, es kommen jedoch neue Regeln hinzu: 1. Beseitigung des Bikonditionals (Bikond): P Q (P Q) (Q P) 2. Beseitigung des Konditionals (Kond): P Q P Q 3. Skopus der Negation verringern (De Morgan): (P Q) P Q (P Q) P Q x P(x) x P(x) x P(x) x P(x) 4. Doppelte Negation beseitigen (Neg): P P 5. Variablen umbenennen, so daß jeder Quantor eindeutig eine Variable bindet. Da Variablen nur Platzhalter sind, wird dadurch der Wahrheitswert der Formel nicht beeinflußt. Zum Beispiel, die Formel x P(x) x Q(x) würde dadurch zu x P(x) y Q(y) umgewandelt werden. Dies dient der Vorbereitung für den nächsten Schritt 6. Bringe die Formel in die PRÄNEXE NORMALFORM, indem alle Quantoren an den Anfang der Formel gestellt werden, ohne jedoch ihre relative Reihenfolge zu verändern. Dies ist möglich, weil es durch den vorherigen Schritt keine Namenskonflikte geben kann. Eine Pränexe Normalform besteht aus einem PRÄFIX aus Quantoren gefolgt von einer quantorenfreien MATRIX. 7. Eliminiere die Existenzquantoren. Dies ist ein etwas schwierig nachzuvollziehender Schritt. Eine Formel wie z.B. x Bundeskanzler(x), die eine existenzquantifizierte Variable enthält, behauptet, daß es irgendein Indivduum gibt, das für x eingesetzt eine wahre Aussage ergibt. Wir wissen nicht, wer dieses Individuum ist, sondern nur, daß es existieren muß. Wir können diesem Individuum einen vorläufigen Namen geben — sagen wir s1 — und nehmen an, daß es für x eingesetzt die Existenzaussage wahr macht. Die Formel x Bundeskanzler(x) kann damit in Bundeskanzler(s1) transformiert werden. Man bezeichnet einen solchen "vorläufigen" Namen als SKOLEMKONSTANTE. Die Beseitigung von Existenzquantoren durch Skolemkonstante bzw. Skolemfunktionen (s.u.) wird SKOLEMISIERUNG genannt. Betrachten wir nun die Aussage "Jeder hat einen Vater": xy Vater(y,x). In diesem Falle steht der Existenzquantor im Skopus eines Allquantors. Es kann daher sein, daß der Wert von y, der das Prädikat erfüllen würde, in irgendeiner Weise vom Wert von x abhängig ist. In diesem Fall geht man davon aus, daß es eine FUNKTION gibt, die in Abhängigkeit von x den Wert von y bestimmt: y = s2(x). Man nennt eine solche Funktion

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