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Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

78 Kapitel 5 Es sei M

78 Kapitel 5 Es sei M die Menge der natürlichen Zahlen, die größer als 5 sind, dann gilt z.B.: (5.1.) (a) 7 ist Element von M (5.2.) (a) 4 ist nicht Element von M In symbolisierter Sprache schreibt man dafür kürzer: (5.1.) (b) 7 M (5.2.) (b) 4 M Ein Individuum kann gleichzeitig Element von mehreren Mengen sein. Es gibt einige zusammengesetzte Substantive wie Jagdbomber oder Dichterkomponist, die diese Eigenschaft aufweisen. Wenn jemand ein Dichterkomponist ist, ist er gleichzeitig ein Dichter und ein Komponist. Die Elemente einer Menge brauchen weder konkret nocht real zu sein. Auch abstrakte oder imaginäre Objekte wie Zahlen, Einhörner, oder der Stein der Weisen können Elemente einer Menge sein. Da Mengen als Ganzheiten betrachtet werden, können die Elemente einer Menge können selbst Mengen sein. Die Bundesliga z.B. ist eine Menge von Elementen, die selbst Mengen sind, die Bundesligamannschaften, die ihrerseits Mengen von Individuen, den einzelnen Spielern, sind. Mengen können aus endlich oder unendlich vielen Elementen bestehen. Die Menge der Seminarteilnehmer ist endlich, die Menge der natürlichen Zahlen unendlich. Man kann Mengen auf zwei Arten beschreiben: 1. indem man Ihre Elemente aufzählt 2. durch eine Beschreibung, die auf alle Elemente zutrifft (Aussonderung durch eine Eigenschaft) Mengen kennzeichnet man durch geschweifte Klammern (Mengenklammern): { } Gegeben sei die Menge M der natürlichen Zahlen, die kleiner als 5 sind. In aufzählender Schreibweise ist M beschrieben durch: (5.3.) {1, 2, 3, 4} Die Reihenfolge der Nennung der Elemente spielt dabei keine Rolle. Die Mengen (5.3.) und (5.4.) sind identisch: (5.4.) {2, 3, 1, 4} Die aufzählende Mengenschreibweise ist nur möglich bei endlichen Mengen und nur praktisch bei kleinen Mengen. Sie ist allerdings notwendig bei Mengen, deren Elemente keine gemeinsame Eigenschaft haben, wie z.B. die Menge {Hut, 3, §}. Die Menge der natürlichen Zahlen läßt sich nicht durch Aufzählung beschreiben. Man vergleiche folgende Paraphrasen: (5.5.) a) Menge der natürlichen Zahlen b) Menge der Objekte, die natürliche Zahlen sind c) Menge der Objekte mit der Eigenschaft natürliche Zahl d) Menge der x, für die gilt, x ist eine natürliche Zahl e) Menge der x, für die gilt, x hat die Eigenschaft natürliche Zahl Die Ausdrücke (5.5.) (d) und (e) lassen sich in symbolisierte Sprache übersetzen: 1. der Ausdruck Menge der wird durch die Mengenklammer symbolisiert 2. der Ausdruck für die gilt wird durch einen Längsstrich '|' symbolisiert

Grundbegriffe der Mengenlehre 79 3. der Ausdruck x hat die Eigenschaft P wird durch den prädikatenlogischen Ausdruck P(x) symbolisiert Der Ausdruck (5.5.)(d) läßt sich dann wie folgt in symbolisierter Sprache schreiben: (5.6.) {x| x ist eine natürliche Zahl} Bezeichnet man den Ausdruck natürliche Zahl durch das Symbol N, kann man noch kürzer schreiben (5.7.) {x | N(x)} Ausdrücke, mit denen man Mengen bezeichnet, nennt man Mengenzeichen. Die Ausdrücke {..., ..., ...} und {x | P(x)} sind Mengenzeichen. Als allgemeine Mengenzeichen verwendet man Großbuchstaben: A, B, C ..., insbesondere M mit oder ohne Index (M1, M2, Mi ...). Verschiedene Mengenzeichen können die gleiche Menge bezeichnen. Beispiel: (5.8.) (a) {1, 2} (b) {x | x ist natürliche Zahl kleiner als 3} Statt "die durch A bezeichnete Menge" sagt man kurz "die Menge A" Man kann auch Regeln formulieren, welche die Bedingungen festlegen, die für die Mitgliedschaft in der Menge erfüllt sein müssen. Sei G={2, 4, 6, …} die Menge der geraden natürlichen Zahlen (d.h. G={x | gerade(x)}, dann läßt sich die Mitgliedschaft wie folgt definieren: 1. ist ein Element von G 2. wenn x ein Element von G ist, dann ist auch x+2 in G 3. nur nach 1. oder 2. bildbare Individuen sind Elemente von G Durch eine unerfüllbare Bedingung wie x1 wird man auf die LEERE MENGE geführt. Definition 5.5. leere Menge Die LEERE MENGE oder NULLMENGE ist die Menge, die keine Elemente hat. Sie wird üblicherweise durch das Zeichen bezeichnet, obwohl das Mengenzeichen { } konsequenter wäre. Es kann nur eine leere Menge geben. Man kann sie durch eine beliebige unerfüllbare Eigenschaft definieren, z.B.: := {x| x x} Ein weiterer Sonderfall einer Menge ist eine Menge mit nur einem Element. Obwohl es Ausdrücke wie Einmannbebtrieb oder Einmannkapelle gibt, besteht in der Alltagssprache die Neigung Einermengen mit dem Objekt, aus dem sie jeweils bestehen, zu identifizieren. Für eine saubere Begriffsbildung ist es jedoch notwendig, die beiden zu unterscheiden. Bob Beamon und die Menge, die Bob Beamon als einziges Element enhält sind nicht die gleichen Objekte. Bis 1991 konnte letztere beispielsweise definiert werden als die Menge aller Leichtathleten, die 8,90m oder weiter gesprungen sind. Bis 1991 traf es sich, daß diese Menge nur Bob Beamon als Element enhielt. Seit den olympischen Spielen von Tokyo 1991 kam mit Mike Powell ein zweites Element hinzu. Definition 5.6. Einermenge Eine EINERMENGE ist eine Menge mit nur einem Element. Ist M eine Menge, dann ist {M} die Einermenge von M. Sei H={a, b}, dann ist {H}={{a, b}}. Man beachte, daß H zwei Elemente hat, {H} aber nur eines.

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