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Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

80 Kapitel 5 Häufig

80 Kapitel 5 Häufig werden die Bezeichnungen MENGE und KLASSE mit gleicher Bedeutung verwendet. Es ist jedoch sinnvoll einen Unterschied zu machen und von KLASSEN nur dann zu sprechen, wenn die Elemente durch gleiche Eigenschaften definiert sind: Definition 5.7. Klasse Eine Menge ist eine KLASSE, wenn alle ihre Elemente durch gemeinsame Merkmale definiert sind. Die meisten Mengen, mit denen wir es in der Sprachwissenschaft zu tun haben, sind Klassen in diesem Sinne. 5.3. Beziehungen zwischen Mengen Man kann Mengen hinsichtlich ihrer Elemente vergleichen und aufgrund gewisser Beziehungen zwischen Mengen neue Mengen bilden. Definition 5.8. gleich Zwei Mengen heißen GLEICH, wenn sie die gleichen Elemente enthalten. A = B : x (x A x B) Definition 5.9. disjunkt Zwei Mengen heißen DISJUNKT, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben. disjunkt(A, B) : x(x A x B) Definition 5.10. Teilmenge Eine Menge M1 ist TEILMENGE einer Menge M2 (ist in M2 enthalten), wenn jedes Element aus M1 auch Element aus M2 ist. Die Beziehung IST ENTHALTEN wird durch das Zeichen symbolisiert. M1 M2 : x (x M1 x M2) Beispiel: Die Menge {a, c, e} ist in der Menge {a, b, c, d, e} enthalten. Nach der Definition der Teilmenge ist auch {a, c, e} in {c, e, a} enthalten. Diese Mengen sind jedoch identisch. Nach dieser Definition ist jede Menge in sich selbst enthalten. Das kommt auch in der Form des Inklusionszeichens zum Ausdruck, das man sich aus den Zeichen und = zusammengesetzt denken kann. Es gibt noch einen engeren Begriff der Teilmenge der den Fall der Gleichheit von Mengen ausschließt: Definition 5.11. Echte Teilmenge Eine Menge M1 ist eine echte Teilmenge einer Menge M2 (ist in M2 echt enthalten), wenn M1 eine Teilmenge von M2 ist, beide Mengen aber verschieden sind: M1 M2. M1 M2 : M1 M2 M1 M2 Zu den Begriffen TEILMENGE und ECHTE TEILMENGE gibt es die Umkehrbegriffe OBERMENGE und ECHTE OBERMENGE:

Definition 5.12. Obermenge Grundbegriffe der Mengenlehre 81 Eine Menge M1 ist eine Obermenge einer Menge M2, genau dann, wenn M2 eine Teilmenge von M1 ist: M1 M2 : M2 M1 Definition 5.13. echte Obermenge Eine Menge M1 ist eine echte Obermenge einer Menge M2, genau dann, wenn M2 eine echte Teilmenge von M1 ist: M1 M2 : M2 M1 Zwischen und ist streng zu unterscheiden, was in der Alltagssprache häufig nicht beachtet wird. Der Ausdruck ist ein in Hansi ist ein Kaninchen und in Ein Kaninchen ist ein Säugetier bedeutet jeweils etwas anderes: im ersten Falle bezeichnet es die Elementbeziehung (Hansi Kaninchen) im zweiten die Teilmengenbeziehung (Kaninchen Säugetier). Mengenbeziehungen können mit Hilfe von sog. VENNDIAGRAMMEN 26 veranschaulicht werden. Dabei muß man sich die Objekte, die zu Mengen zusammengefügt werden, in einer Ebene verteilt denken. Die Elemente einer bestimmten Menge werden durch eine Linie eingeschlossen. Beispiel: m a b d e B h g i l s j n k f r Abb. 5.1. Durch die dünne Linie wird die Menge A = {c, d, e, f, g, h, i, j, k, n, s}dargestellt, durch die dicke Linie die Menge B ={f, g, j}. Die graphische Darstellung zeigt deutlich, daß B echte Teilmenge von A ist. Wenn zwei "Mengenlinien" sich schneiden, entstehen neue geschlossene Linienzüge, d.h. neue Mengen. 26 nach dem britischen Logiker J. Venn. *1834, † 1923. a c b d e f Abb. 5.2. c i g h A q o p

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