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Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

86 Kapitel 6 6.2.

86 Kapitel 6 6.2. Relationen und Mengen Nun kann die Beziehung zwischen den Elementen eines geordneten Paares einfach darin bestehen, daß das erste zu einer Menge A und das zweite zu einer Menge B gehört. Nehmen wir an, die Menge A sei {Fritz, Hans, Kuno} und B {Maria, Luise}, dann ist z.B. Fritz, Maria ein mögliches geordnetes Paar. Man stelle sich vor, die Herren A und die Damen B seien auf einer Tanzveranstaltung. Man kann nun z.B. fragen, wieviele Tanzpaarungen zustande kommen, wenn nur die Herren die Damen zum Tanz auffordern. Es ist die Menge aller geordneten Paare x, y, wobei x ein Herr, also ein Element aus A, und y eine Dame, also ein Element aus B ist. Man nennt diese Menge CARTESISCHES PRODUKT von A und B (oder VERBINDUNGSMENGE ) und schreibt dafür AB (lies: A kreuz B). Definition 6.2. Cartesisches Produkt (Verbindungsmenge) Seien A und B zwei (nichtleere) Mengen. Das cartesische Produkt AB dieser Mengen ist die Menge der geordneten Paare x, y mit x aus A und y aus B: AB := {x, yxA yB} In unserem Beispiel ist AB = {Fritz, Maria, Fritz, Luise, Hans, Maria, Hans, Luise, Kuno, Maria, Kuno, Luise} Natürlich läßt sich auch das cartesische Produkt aus mehr als zwei Mengen bilden. Sind A, B, C Mengen, dann ist ABC die Menge aller geordneten Tripel x, y, z mit x aus A, y aus B und z aus C. Es sei A = {der, dieser}, B = {Bursche} und C = {raucht, schläft}; dann ist ABC die Menge: {der, Bursche, raucht, dieser, Bursche, raucht, der, Bursche, schläft, dieser, Bursche, schläft} Ein Sonderfall liegt vor, wenn B = A. Das cartesische Produkt AA einer Menge A mit sich selbst ist die Menge aller geordneten Paare, die sich aus den Elementen von A bilden lassen. Man nennt diese Menge auch PAARMENGE von A: Definition 6.3. Paarmenge Die Paarmenge AA einer Menge A ist die Menge aller geordneten Paare x, y mit x und y aus A: AA :={x, yxA yA} Sei A={a,b}. Dann ist AA={a,a,a,b, b,a,b,b} In gleicher Weise kann man von einer TRIPEL-Menge (AAA) und allgemein von einer n-tupel-Menge sprechen. Konstituentenstrukturgrammatiken können auch mengentheoretisch interpretiert werden. Eine Regel wie S NP ⌢ VP wird dann aufgefaßt als S = NPVP d.h., die Menge der Sätze ist das kartesische Produkt aus der Menge der Nominalphrasen und der Menge der Verbalphrasen. Nominalphrasen ihrerseits sind definiert als das kartesische Produkt aus der Menge der Determinatoren und der Menge der Nomina: NP Det ⌢ N NP=DetN

Systeme und Strukturen 87 Sei Det={the, a} und N={boy, dog}, dann ist NP=DetN={the, boy,the, dog, a,boy, a, dog} Wir haben gesehen, daß ein Allgemeinbegriff wie Pferd auf zweierlei Weise interpretiert werden kann. Es ist einmal ein EIGENSCHAFTSBEGRIFF, d.h. es meint die Summe der (invarianten) Eigenschaften, die jedem Exemplar 'Pferd' zukommen. Das kommt zum Ausdruck, wenn wir einen Satz wie (6.4)(a) als (6.4)(b) umschreiben: (6.3.) (a) Halla ist ein Pferd (b) Halla kommt die Eigenschaft 'Pferd' zu. (c) Pferd(Halla) Es ist andererseits ein Klassenbegriff, d.h. es meint die Menge aller Individuen, denen die Eigenschaft Pferd zukommt. Das kommt zum Ausdruck, wenn wir (6.4)(a) wie in (6.5)(a) umschreiben: (6.4.) (a) Halla ist ein Exemplar aus der Menge der Pferde (b) Halla {xPferd(x)} Das gleiche gilt für alle Prädikate, auch für zwei- und mehrstellige, d.h. es gilt auch für RELATIONEN. Die Relation größer (als) läßt sich einmal auffassen als eine Menge von Eigenschaften, die einem bestimmten Individuenpaar, z.B. Fritz und Kuno zukommt: (6.5.) (a) Fritz ist größer als Kuno (b) Fritz, Kuno kommt das Prädikat größer (als) zu (c) größer (Fritz, Kuno) Die Relation größer (als) läßt sich andererseits als KLASSENBEGRIFF auffassen, d.h. es bezeichnet die Menge aller Individuenpaare, denen das Prädikat größer (als) zukommt. (6.6.) (a) Fritz, Kuno ist ein Exemplar aus der Menge der Paare, zwischen denen die Beziehung größer (als) besteht. (b) Fritz, Kuno{x, y größer(x, y)} Der Begriff Relation läßt sich wie folgt als Menge definieren: Definition 6.4. Relation R := {x,y R(x,y)} In diesem Sinne ist auch die Paarmenge einer Menge M eine Relation. Man nennt sie die ALLRELATION von M. Definition 6.5. Allrelation Die Allrelation einer Menge M ist gleich der Paarmenge von M. Definition 6.6. Relation in einer Menge M Eine Relation R ist eine Relation in einer Menge M, wenn sie in der Allrelation von M enthalten ist, d.h. wenn gilt: x [xR x MM] Man wird z.B. oft die Frage stellen, zwischen welchen Elementen einer gegebenen Menge M eine bestimmte Beziehung besteht. Ein Lehrer möchte z.B. etwas über die sozialen Beziehungen zwischen den Schülern einer Klasse A wissen. Er kann z.B. fragen, welche Schüler welche anderen Schüler mögen. Gesucht ist also die Menge {x,yxA yA mag(x,y)}

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