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Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

92 Kapitel 6 Ist A die

92 Kapitel 6 Ist A die Menge der Seiten in einem Buch und B die Menge der Seitenzahlen, dann ist R = x hat die Seitenzahl y eine eineindeutige Abbildung von A auf B. 6.5. System und Struktur Es ist sinnvoll, die Begriffe System und Struktur zusammen zu behandeln, weil sie sich gegenseitig bedingen. Systeme sind strukturierte Gegenstände, Strukturen sind eine Eigenschaft von Systemen, sie existieren nicht unabhängig von Systemen. Ein System ist eine "nach Ordnungsprinzipien gegliederte Mannigfaltigkeit von materiellen Dingen, Prozessen usw. (MATERIELLES SYSTEM) oder von Begriffen, Aussagen usw. (IDEELLES SYSTEM)" (KLAUS/BUHR, s.v. System). In dieser Definition sind zwei zentrale mathematische Begriffe enthalten, die die Grundlage für eine allgemeine Definition des Systembegriffs bilden, nämlich die Begriffe RELATION (Ordnungsprinzipien) und MENGE (Mannigfaltigkeit von Dingen, Prozessen, Begriffen, Aussagen etc.). Im allgemeinsten Sinn ist ein System eine Menge von Elementen und eine Menge von Relationen zwischen den Elementen dieser Menge. Definition 6.21. System Ein System ist ein geordnetes Paar =M, R, wobei M eine Menge von Elementen ist und R eine Menge von Relationen R1, R2, …, Rn in M. Ein System in diesem Sinne ist z.B. das System der natürlichen Zahlen mit M = N = {1, 2, 3, …} und einer Vielzahl von Relationen wie z.B. R1 = {1,2,2,3,3,4,…} (x ist um 1 kleiner als y, f(x) = x+1) R2 = {1,1,2,4,3,9,4,16, …} (f(x)=x 2 ) R3={1,1,2,1,2,3,1,3,4, …} (f(x,y) = x + y) Um ein einfacheres Beispiel zu nehmen: Sei M = {Fritz, Ina, Egon, Martha, Mark} R1= {Egon, Martha} (Ehemann) R2= {Egon, Fritz,Egon, Ina, Egon, Marl} (Vater) R3 = {Martha, Fritz, Martha, Ina, Martha, Mark} (Mutter) R4 = {Fritz, Ina, Fritz, Mark, Mark, Fritz} (Bruder) R5 = {Ina, Fritz, Ina, Mark} (Schwester) Dann ist = M, {R1, R2, R3, R4, R5} das Verwandtschaftssystem einer fünfköpfigen Familie. Interessant an diesem Beispiel ist, daß nicht alle Verwandtschaftsbeziehungen explizit genannt werden müssen, weil sie aus anderen ableitbar sind. Zum Beispiel ist die Beziehung Sohn (S) aus der Beziehung Vater(V) und der Beziehung Bruder(B) ableitbar: V(x,y) B(y,z) S(y,x) Aufgrund dieser allgemeinen Beziehung kann man aus R2 und R4 ableiten, daß Fritz und Mark Söhne von Egon sind.

Systeme und Strukturen 93 Das ist wichtig für die Beschreibung von Systemen, denn man wird im allgemeinen nur die Relationen explizit nennen, die nicht aufgrund allgemeiner Gesetzmäßigkeiten von anderen Relationen ableitbar sind. Das ist außerdem für den Strukturbegriff von Bedeutung, wenn man unter der Struktur eines Systems die Menge der Relationen in diesem System versteht: Definition 6.22. Struktur Ist = M, R ein System, dann nennt man R die Struktur von . Der Strukturbegriff läßt sich präziser fassen über den Begriff Strukturgleichheit (Isomorphie): Definition 6.23. Isomorphie Zwei Systeme = M, R und ' = M', R ' sind ISOMORPH (strukturgleich), wenn es eine eineindeutige Abbildung gibt, die jedem Element x aus M ein Element x' aus M' und jedem Element Ri aus R ein Element Ri' aus R' eineindeutig zuordnet, derart, daß, wenn ein n-tupel mit Elementen aus M ein Element aus Ri ist, das zugeordnete n-tupel mit Elementen aus M' ein Element aus Ri' ist. Das klingt etwas kompliziert und soll daher gleich an Beispielen erläutert werden. Beispiel 1: Sei =N, R, wobei N die Menge der natürlichen Zahlen und R die Menge der geordneten Tripeln x, y, z mit z = x + y ist, und ' = G, R', wobei G die Menge der geraden natürlichen Zahlen und R' die Menge der geordneten Tripel x', y', z' mit z' = x' + y' ist. Diese beiden Systeme sind isomorph, denn es gibt eine eineindeutige Abbildung f, die jedem Element aus N genau ein Element aus G zuordnet und jedem Element aus R genau ein Element aus R', wobei f(x, y, z) = f(x), f(y), f(z) ist. Für. diese Abbildung gilt f(u) = 2u. Diese Abbildung ordnet also z.B. den Elementen 2, 3, 5 aus N die Elemente 4, 6, 10 aus G zu und dem Tripel 2, 3, 5 aus R das Tripel 4, 6, 10 aus R'. Man sieht sofort, daß 5 = 2 + 3 und 10 = 4 + 6. x y z=x+y N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, … } ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ G = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, … } x' y' z'=x'+y' Beispiel 2: Die Menge der Städte bilden mit einer Menge von Lagerelationen wie S = südlich von und W = westlich von ein System. Auf einer Landkarte sind den Städten Kartenpunkte und den Relationen S und W die Relationen U = unterhalb von bzw. L = links von eineindeutig zugeordnet. Sind zwei Städten x und y die Kartenpunkte x' und y' zugeordnet, so folgt aus S(x, y), U(x', y'). Das System der Kartenpunkte und das System der geographischen Lage von Städten sind isomorph. Man kann nun alle Systeme, die zueinander isomorph sind, in einer Menge zusammenfassen. Die Relation der Isomorphie (I) ist reflexiv, symmetrisch und transitiv, d.h. sie ist eine Äquivalenzrelation. Man kann die Menge zueinander isomorpher Systeme dadurch gewinnen, daß man von einem beliebigen System x ausgeht und fragt, welche Systeme zu x isomorph sind. Da die Isomorphie eine Äquivalenzrelation ist, nennt man die so gewonnene Menge eine ÄQUIVALENZKLASSE.

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