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Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

94 Kapitel 6 Sei S die

94 Kapitel 6 Sei S die Menge aller Systeme, dann läßt sich die von einem beliebigen x S mit der Äquivalenzrelation I ableitbare Äquivalenzklasse wie folgt charakterisieren: [x] = {yy S I(x, y)} Man nennt [x] dann die I-ÄQUIVALENZKLASSE VON X IN S. Es ist klar, daß x selbst in dieser Klasse enthalten sein muß. Zwei solcher Äquivalenzklassen [x] und [y] sind identisch, wenn x zu y isomorph ist: (6.11.) [x] = [y] genau dann, wenn I(x,y) Man kann zeigen, daß die Menge der Systeme S durch die Isomorphierelation I vollständig in paarweise elementfremde Äquivalenzklassen T1, T2,…,Tn zerlegt wird, d.h. S = T1 T2 … Tn Ti Tj = Zwei Systeme haben die gleiche Struktur, wenn sie isomorph sind. Alle Elemente einer I-Äquivalanzklasse Ti haben die gleiche Struktur. Man kann daher sagen, daß jedes Ti einen bestimmten Strukturtyp darstellt. Die Aufteilung in einer Menge in paarweise elementfremde Teilmengen nennt man KLASSIFIKATION. 6.6. Ordnungsstrukturen Ordnungsstrukturen sind Strukturen, die durch sog. ORDNUNGSRELATIONEN definiert werden. Ordnungsrelationen sind Relationen, die Mengen auf bestimmte Weise ordnen. Sie haben besondere Eigenschaften. Wir haben z.B. gesehen, daß der Begriff Äquivalenzrelation durch die Relationseigenschaften reflexiv, symmetrisch und transitiv definiert ist. Betrachten wir nun als Beispiel für einen anderen Relationstyp die Relation Teilmenge. Sie wird folgendermaßen charakterisiert: (6.12.) A B = x [x A x B] Das ist auch dann wahr, wenn man B durch A ersetzt: (6.13.) A A = x [x A x A] Daraus folgt, daß die Teilmengenbeziehung REFLEXIV ist. Die Teilmengenbeziehung ist sicher nicht symmetrisch. Sie ist aber auch nicht asymmetrisch. Das ergibt sich unmittelbar aus der Reflexivität. Die Aussage A B B A wird nämlich dann wahr, wenn man B durch A ersetzt: Anders ausgedrückt: wenn A in B enthalten ist und B in A, dann ist A = B. Eine Relation, die diese Eigenschaft hat, wird ANTISYMMETRISCH genannt. Definition 6.24. Antisymmetrisch Eine Relation R ist antisymmetrisch wenn gilt: x y [R(x,y) R (y,x) x = y] Die Teilmengenbeziehung ist also reflexiv, antisymmetrisch und transitiv. Eine Relation, die diese Eigenschaften hat, wird Ordnungsrelation genannt: Definition 6.25. Ordnungsrelation Eine Relation heißt Ordnungsrelation, wenn sie reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.

Systeme und Strukturen 95 Ein weiteres Beispiel für eine Ordnungsrelation ist die Relation nicht größer als (= kleiner oder gleich groß) in der Menge der Zahlen. Es gilt: 1. a nicht größer als a; 2. wenn a nicht größer als b und b nicht größer als a, dann ist a = b; 3. ist a nicht größer als b und b nicht größer als c, dann ist a nicht größer als c. Definition 6.26. Halbordnung Ist R eine Ordnungsrelation in einer Menge M, dann nennt man R eine HALBORDNUNG der Menge M. An einem Beispiel soll gezeigt werden, inwiefern man von einer Ordnung sprechen kann. Aus einer Menge A kann man eine neue Menge bilden, die aus allen Teilmengen von A besteht. Man nennt diese Menge die POTENZMENGE von A: Definition 6.27. Potenzmenge Die Potenzmenge P einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A: P(A) := {XX A} Ist z.B. A = {1, 2, 3}, dann ist (6.14.) P(A)={, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1,3}, {2, 3},{1,2,3}} Dabei sind die Teilmengen von A aus Darstellungsgründen nach der Anzahl ihrer Elemente (nach ihrer Mächtigkeit) angeordnet. In dieser Menge ist die Teilmengenbeziehung eine Halbordnung. So gilt z.B .: (6.15.) (a) {1} {1,2} {1,2,3} (b) {2} {1,2} {1,2,3} (c) {3} {2,3} {1,2,3} Anschaulicher werden die Verhältnisse, wenn man die Elemente von P(A) nach ihrer Mächtigkeit (ihrer Anzahl der Elemente) so in Zeilen anordnet, daß gleichmächtige Mengen in einer Zeile stehen, und dann die Mengen, zwischen denen die Teilmengenbeziehung besteht, durch eine Linie verbindet. Dabei sind die Relationspaare, die sich aus der Transitivität der Relation ergeben, gestrichelt gekennzeichnet (die Reflexivität ist nicht berücksichtigt): {1, 2, 3} {1,2} {2, 3} {1, 3} {2} {1} {3} Abb. 6.9. Potenzmenge

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