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Katastrophen- und Chaostheorie in der linguistischen Modellbildung

Katastrophen- und Chaostheorie in der linguistischen Modellbildung

Katastrophen- und Chaostheorie werden, dabei ist der Exponent ein Maß dieser Komplexität; der Grad bestimmt sich durch den höchsten vorkommenden Exponenten: Tabelle 1: Gleichungen ersten bis vierten Grades (Beispiele) 10x - 3y = 8 Gleichung ersten Grades x 2 + y 2 = 70 Gleichung zweiten Grades x 3 - y + x = 1 Gleichung dritten Grades x 4 + x 2 y 2 + 15y 3 = 0 Gleichung vierten Grades Die Gleichungen zweiten Grades beschreiben klassische Kurven, wie den Kreis, die Ellipse, die Parabel, die Hyperbel. Die Gleichungen dritten Grades erlauben uns, eine wichtige qualitative Veränderung zu beobachten. Die allgemeine Gleichung lautet jetzt: y = A(x 3 + Bx). Dabei ist B ein Faktor der qualitativen Bifurkation. Bei positi- vem B liegt keine kritische Stelle (Maximum, Minimum oder Sattel) vor; bei B = 0 gibt es einen Sattelpunkt (waagerechte Tangente) und bei B < 0 (negativ) entstehen ein Maximum und ein Minimum. Dies zeigt Abbildung 2. HANDBUCHARTKATASTROPHEN-UNDCHAOSTHEORIE2004.DOC2004 6 VON 43

Katastrophen- und Chaostheorie Abbildung 2: Die Formen der Parabel: y = A(x 3 + Bx). Wenn wir der Einfachheit halber A = 1 setzen und für B die Werte +1, 0, -1 be- trachten, können wir die qualitative Veränderung auch rechnerisch erfassen (y' und y'' = die erste und zweite Ableitung von y): y1 = x 3 + x ; y1' = 3x 2 + 1 ; y1'' = 6x (B +1) y2 = x 3 ; y2' = 3x 2 ; y2'' = 6x (B = 0) y3 = x 3 - x ; y3' = 3x 2 - 1 ; y3''' = 6x (B = -1) Die erste Ableitung soll an den kritischen Stellen gleich null (0) sein. Im ersten Fall erhalten wir: 3x 2 + 1 = 0; x 2 = - 1 /3; x = - 1 /3; ; die Wurzel ist imaginär (i = -1), d.h. x = 1 /3 i. Im zweiten Fall ergibt sich: 3x 2 = 0; x 2 = 0; x = 0. Nur im dritten Fall haben wir reelle Wurzeln: 3x 2 – 1 = 0; 3x 2 = 1; x 2 = 1 /3; x = ± 1 /3 HANDBUCHARTKATASTROPHEN-UNDCHAOSTHEORIE2004.DOC2004 7 VON 43

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2 Modellbildung und Simulation
Modulbeschreibung Modellbildung und Simulation
Das dynamische Paradigma in der Linguistik - Universität Bremen