Technische Fachhochschule Berlin Fachbereich VI (Informatik und ...

Technische Fachhochschule Berlin
Fachbereich VI (Informatik und Medien)
Manfred Ottens
E I N F Ü H R U N G I N D I E R E G E L U N G S T E C H N I K
Skript zur Vorlesung
Berlin, Sommersemester 2008

Inhaltsverzeichnis
1 Aufbau und prinzipielle Wirkungsweise von Regelkreisen
1.1 Steuerung und Regelung
1.2 Die Grundstruktur und prinzipielle Wirkungsweise von Regelkreisen
1.3 Praktische Beispiele von Regelkreisen
2. Kontinuierliche Regelkreise
2.1 Bauglieder des Regelkreises
2.1.1 Die Regelstrecke
2.1.2 Die Stelleinrichtung
2.1.3 Die Meßeinrichtung
2.1.4 Der Regler mit Vergleichseinrichtung
2.2 Struktureigenschaften von Regelkreisen
2.2.1 Die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises
2.2.2 Das Führungsverhalten eines Regelkreises
2.2.3 Das Störverhalten eines Regelkreises
2.2.4 Das Stellverhalten eines Regelkreises
2.2.5 Das statische Verhalten eines Regelkreises
2.2.6 Stabilität von Regelkreisen
2.3 Optimierung von Regelkreisen
2.3.1 Das Entwurfsprinzip des dominierenden Polpaares
2.3.2 Reglerentwurf im Bodediagramm des offenen Regelkreises
2.3.2.1 Entwurfsrichtlinien für P-, PI-, PD- und PID-Regler
2.3.2.2 Das Verfahren der Polkompensation
2.3.2.3 Eine Regleroptimierungsstrategie
2.3.3 Reglerentwurf mit der Wurzelortskurve
2.3.4 Ein Ausblick auf andere Regler-Entwurfsmethoden
3 Zeitdiskrete Regelkreise
3.1 Der Aufbau eines zeitdiskreten Regelkreises
3.2 Struktureigenschaften zeitdiskreter Regelkreise
3.3 Optimierung zeitdiskreter Regelkreise
3.3.1 Der quasikontinuierliche Reglerentwurf
3.3.2 Spezielle zeitdiskrete Entwurfsverfahren
3.3.2.1 Parameteroptimierung: Das Verfahren der
transformierten Frequenzkennlinien
3.3.2.2 Strukturoptimierung: Das Polvorgabe-Verfahren
3.3.2.3 Das "Dead Beat"-Verfahren

4 Regelgüteverbesserung durch Erweiterung der Standard-Regelkreis-Struktur
Literatur
Anhang
4.1 Sörgrößen-Aufschaltung
4.1.1 Störgrößenaufschaltung bei nicht meßbarer Störgröße und
4.2 Vorsteuerung
unbekanntem Störort
4.3 Regelkreise mit Hilfsregelgröße
4.4 Kaskadenregelungen
4.5 Totzeitkompensation
4.6 Anti-Reset-Windup
4.7 Andere Verfahren
A Regelungstechnik-spezifische Matlab-Programme und Simulink-Simulations-
strukturen.

Vorwort
Die Regelungstechnik ist ein Untergebiet der Systemtheorie und bildet neben der
Steuerungstechnik eine wesentliche Grundlage zur Automatisierung technischer
Prozesse. Die Regelungstechnik hilft auch im nicht technischen Bereich, z.B. in der
Physiologie und in der Wirtschaftswissenschaft, Regulationsvorgänge und Systeminteraktionen
zu begreifen und gegebenenfalls auch zu beeinflussen.
Obwohl die Regelungstechnik in diesem Sinne eine eigenständige Wissenschaft ist,
soll sie in diesem Skript -etwas eingeengt- nur auf technische Problemstellungen
angewendet werden. Um dies dennoch einheitlich und überschaubar machen zu
können, wird einerseits auf abstrakte Beschreibungsformen, wie sie in /1/ eingeführt
und erläutert wurden, zurückgegriffen. Andererseits wird durch viele Beispiele auch
intensiv ein Bezug zu praktischen Anwendungen hergestellt.
Nach dem Motto, daß "weniger mehr sein kann", wird sich auf die Analyse und
Synthese linearer, zeitinvarianter, kontinuierlicher und zeitdiskreter Regelkreise
beschränkt. Dabei werden nur wenige grundlegende Verfahren, z.B. zum
Reglerentwurf, beschrieben. Andere Verfahren werden erwähnt, zur Vertiefung wird
auf die entsprechende Literatur verwiesen.
Um den besprochenen Stoff ingenieurmäßig, d.h. mit angemessenem Aufwand auch
praktisch nutzen zu können, wird konsequent auf das Programmsystem MATLAB,
/13/ zurückgegriffen.
Obwohl es Matalb erlaubt, Untersuchungen an Systemen im Zeitbereich
vorzunehmen, die durch ihre Übertragungsfunktion beschrieben sind und umgekehrt
an Systemen, die durch ihr Zustandsmodell darstellt sind, Frequenzganguntersuchungen
durchzuführen, wird aus didaktischen Gründen auf die Benutzung
solcher Befehle weitgehend verzichtet. Alle notwendigen Transformationen, die
durch diese Befehle verdeckt würden, werden explizit durch Handrechnung oder
entsprechende Matlab-Befehle vorgenommen.
Dieses Skript setzt die Beherrschung systemtheoretischer Grundkenntnisse, wie sie
in /1/ vermittelt werden, voraus. Mit dem vorliegenden Skript und den in /2/
vorgestellten Methoden zur praktischen Systemidentifikation soll der Leser in die
Lage versetzt werden, ohne Hinzuziehung weiterer Literatur, grundlegende
regelungstechnische Problemstellungen in der Elektrotechnik, im Maschinenbau und
in der Verfahrenstechnik selbständig lösen zu können.
Berlin, Sommersemester 2004 M. Ottens

1 Aufbau und prinzipielle Wirkungsweise von Regelkreisen
In diesem Kapitel sollen mit anschaulichen Beispielen die Grundlagen zum Verständnis
von regelungstechnischen Problemen gelegt werden. Dazu wird zunächst der wesentliche
Unterschied zwischen einer Steuerung und einer Regelung beschrieben. Anschließend
wird gezeigt, daß sich alle Regelungen auf eine grundlegende Kreis-Struktur zurückführen
lassen. An Hand einiger Beispiele praktisch realisierter Regelkreise wird diese Erkenntnis
unterstützt.
1.1 Steuerung und Regelung
Um die Raumtemperatur ϑ(t) eines Hauses trotzt schwankender Außentemperatur ϑZ1 (t)
konstant auf einem Wert zu halten, benutzt man häufig eine außentemperaturgesteuerte
Heizung, wie sie in Bild 1.1.1 dargestellt ist.
Bild 1.1.1: Außentemperaturgesteuerte Raumheizung
Bei einer solchen Anlage wird die Außentemperatur ϑZ1 (t) mittels eines Temperaturfühlers
gemessen und einem Steuergerät zugeführt, das über eine Motor−/Ventil−Kombination
den Fluß q(t) aufgeheizten Wassers durch den Heizkörper steuert. Das Steuergerät besitzt
1.1

eine Steuerkennlinie, die den Fluß q(t) erhöht, wenn die Außentemperatur ϑZ1 sinkt. Um
die Raumtemperatur ϑ(t) dem individuellen Wärmeempfinden anpassen zu können, kann
eine Heizkennlinie aus einer vorwählbaren Kennlinienschar, wie sie in Bild 1.1.2 dargestellt
ist, ausgewählt werden.
q(t)
0
20°C
0°C
Bild 1.1.2 : Steuerkennlinienschar einer außentemperaturgeführten Heizung
Diese Heizungssteuerung besitzt jedoch einen gravierenden Nachteil: eine durch das
Öffnen eines Fensters hervorgerufene Änderung der Raumtemperatur wird vom Außenfühler
nicht bemerkt und somit nicht über die Steuereinrichtung korrigiert. Steuereinrichtungen
können i.a. nur Störgrößen entgegenwirken, auf die sie ausgelegt sind, andere
Störeinflüsse können sie nicht beseitigen. Systemtheoretisch besteht eine Steuerung aus
einer Reihenschaltung der beteiligten Wirkungselemente ("Steuerkette")
Ganz anders dagegen wirkt eine Regelung, bei der die konstant zu haltende
Raumtemperatur ϑ(t) mit einem Temperaturfühler gemessen und mit einem vorgebbaren
Temperatursollwert ϑw(t) (z.B. 22°C) verglichen wird.
Bei einem solchen Vergleich werden selbstverständlich keine Temperaturen miteinander
verglichen, sondern Abbildungsgrößen der Temperatur, die technisch gut miteinander
vergleichbar sind. Schaltet man z.B. als Sensor einen temperaturabhängigen Widerstand
mit einem ohmschen Widerstand als Spannungsteiler zusammen, kann man über einem
der Widerstände eine der Temperatur proportionale Spannung uϑ (t) messen (vergleiche
Bild 1.1.3).
Der Temperatursollwert uϑw (t) kann leicht mit einem an Spannung liegenden
Potentiometer erzeugt werden. Der Vergleich beider Signale erfolgt i.a. durch eine
Differenzbildung zwischen dem Sollwert uϑw (t) und dem Temperaturistwert uϑ (t), z.B.
durch eine elektronische Subtrahierschaltung (vergleiche Bild 1.1.3).
Abhängig vom Ergebnis dieses Vergleiches e(t)=uϑw (t)−uϑ (t) wird über eine nachfolgende
sog. Regeleinrichtung, die im einfachsten Fall ein elektrischer Verstärker sein kann, der
Wärmezufluß q(t) mit Hilfe einer Motor−/Ventilkombination in dem Sinne verändert, daß
1.2
ϑWasser
steigt
−20°C ϑ Z1

Bild 1.1.3 : Eine elektronische Temperatur-Vergleichseinrichtung
sich die Raumtemperatur ϑ(t) dem eingestellten Sollwert ϑw (t) nähert und letztlich gleich
wird. Da die zu regelnde Raumtemperatur gemessen wird, werden sowohl Störungen
durch eine sich ändernde Außentemperatur (die durch die Hauswände die
Raumtemperatur beeinflußt), als auch Temperaturänderungen durch das geöffnete
Fenster ausgeglichen. Regelungen bestehen systemtheoretisch aus einer Kreisstruktur,
dem "Regelkreis". Sogar ein sich ändernder Heizwert des Heizmittels im
Warmwasserbereiter würde von dieser Kreisstruktur dahingehend ausgeregelt, daß ϑ(t)=ϑ
w (t) wieder erreicht wird.
ϑ Z t
1 ()
Z Sollwert −
einsteller
Heizkörper
t
fühler
ϑ ∗ () 1
ϑZ2( t)
Regel −
einrichtung
et ()
ϑw () t
ϑ(t)
qt ()
M
Raumtemperatur -
1.3
ϑ Wasser
Warmwasserbereiter
Bild 1.1.4 : Geregelte Raumtemperaturheizung

Anschaulich liegt das "Geheimnis" dieser sehr umfassenden Störungsausregelung zu
einem in der Tatsache, daß die zu regelnde Größe, die Raumtemperatur ϑ(t), direkt
fortlaufend gemessen und mit dem gewünschten Sollwert ϑw (t) verglichen wird. Zum
anderen ruft die Vergleichseinrichtung in Form der Summationsstelle
e(t) = u ϑw (t) − u ϑ (t),
eine zum Funktionieren des Regelkreises notwendige Wirkungsumkehr hervor: Ist die
Raumtemperatur ϑ(t) geringer als der Sollwert ϑw (t), ergibt sich als Vergleichsdifferenz
e(t) = uϑw (t) − uϑ (t) > 0, durch die über den Regler und die Motor−/Ventilkombination
mittels Erhöhung von q(t) die Raumtemperatur erhöht wird. Ist ϑ(t) größer als ϑw (t) wird
e(t) 0, die q(t)
erhöht und somit die Raumtemperatur erhöht, bis uϑw (t) = uϑ (t) wird. Entsprechendes gilt
für eine Verringerung von uϑw (t).
Im systemtheoretischen Sinne ist die beschriebene Regelungsstruktur eine Kreis-
Anordnung miteinander gekoppelter Übertragungssysteme.
In der sog. Regelstrecke tritt die zu regelnde Größe auf (in unserem Falle die
Raumtemperatur ϑ(t)), die wir zukünftig als Regelgröße bezeichnen wollen. Die
Regelstrecke wird immer so mathematisch modelliert, daß die Regelgröße ihre Ausgangsgröße
ist. Als physikalische Regelstrecke kann in unserem Beispiel der beheizte Raum
aufgefaßt werden. Wichtiger jedoch ist die Eingangsgröße in die Strecke, die sog.
Stellgröße. Sie muß die Regelgröße stellend beeinflussen (erhöhen, verringern) können.
Wir wollen den Warmwasserstrom q(t) als Stellgröße auffassen. Damit bekommt unser
Übertragungssystem Regelstrecke folgendes Aussehen:
q(t) Regelstrecke
ϑ (t)
Mit Hilfe der sogenannten Meßeinrichtung, die nach Bild 1.1.3 die Raumtemperatur ϑ(t)
auf eine Spannung u ϑ (t) abbildet
ϑ (t) Meßeinrichtung
u ϑ(t)
1.4
.
,

wird eine der Raumtemperatur proportionale Spannung u ϑ (t) der Vergleichseinrichtung
zugeführt. Diese stellt, wie schon erwähnt, im systemtheoretischen Sinne eine
Summationsstelle folgender Form dar
u (t)
u (t)
ϑ
1.5
e(t) = u (t) - u (t)
ϑw ϑ w ϑ
die die Differenz e(t) zwischen dem Istwert der Regelgröße uϑ (t) und ihrem Sollwert
uϑw (t) bildet. Den Sollwert der Regelgröße werden wir zukünftig Führungsgröße nennen,
weil mit ihr die Regelgröße auf unterschiedliche Werte geführt werden kann.
Die aus der Vergleichseinrichtung austretende Differenz zwischen Führungs− und Regelgröße
wird als Regelabweichung, Regelfehler oder Regeldifferenz bezeichnet.
Dies ist sinnvoll, da der Wert dieser Größe immer angibt, wie weit und in welche Richtung
die Regelgröße von der Führungsgröße entfernt ist. Sind Regelgröße und Führungsgröße
gleich −was der Zweck der Regelung ist− ist die Regelabweichung sinnvollerweise gleich
Null.
Mit der Regelabweichung e(t) wird die Regeleinrichtung angesteuert. Obwohl sie im
Regelkreis eine herausragende Bedeutung hat, können wir ihr an dieser Stelle noch keine
anschauliche funktionelle Bedeutung zuordnen. Wie wir später bei den theoretischen
Untersuchungen sehen werden, stellt die Regeleinrichtung ein Rechengerät dar, das die
Regelabweichung verstärkt, abschwächt, ggf. aufintegriert oder sogar differenziert und als
Ausgangsgröße u(t) ausgibt.
e(t)
Regeleinrichtung u(t)
Mit der richtigen Auswahl der notwendigen Rechenoperationen, was wir später
Regleroptimierung nennen werden, wird es uns gelingen eine geforderte Regelgüte zu
erreichen. Diese Begriffsbildungen werden im Folgenden noch ausführlich besprochen.
Das Ausgangssignal u(t) der Regeleinrichtung steuert die sog. Stelleinrichtung an, deren
Ausgangsgröße, die Stellgröße, wiederum die Regelstrecke ansteuert. Die Stelleinrichtung
ist bei den meisten Regelkreisen im weitesten Sinne ein Leistungsverstärker in
verschiedensten Ausführungsformen. Auch in unserem Beispiel werden mit der
Motor−/Ventilkombination mittels niederenergetischer elektrischer Steuersignale u(t) Heizenergieströme
q(t) in die Regelstrecke geleitet
u(t) Stelleinrichtung q(t)
.
,

Wenn wir diese Teilübertragungssysteme der Regelkreisstruktur im Sinne ihres
funktionellen Zusammenspiels miteinander verknüpfen, erkennen wir deutlich die Kreisstruktur
unseres Raumheizungsregelkreises:
Bild 1.1.5 : Struktur eines Raumheizungsregelkreises
In Bild 1.1.5 sind neben den vorangehend beschriebenen Signalen und Übertragungssystemen
noch die beiden Störgrößen ϑ∗ Z1 (t) und ϑZ2 (t) eingezeichnet. Da sie direkt die
Regelgröße ϑ(t) beeinflussen, können sie als additiv auf die Regelgröße einwirkend
aufgefaßt werden.
1.2 Die Grundstruktur und prinzipielle Wirkungsweise eines Regelkreises
Obwohl die Regelkreisstruktur nach Bild 1.1.5 aus einem spezifischen Regelkreis, nämlich
aus einem Raumheizungsregelkreis abgeleitet wurde, hat sie weitgehend eine Struktur,
die allen Regelkreisen gemeinsam ist. Jeder Regelkreis, egal ob er aus elektrischen,
elektronischen, mechanischen, pneumatischen, hydraulischen oder sogar biologischen
Übertragungssystemen zusammengesetzt ist, besteht aus
• einer Regelstrecke (Strecke),
• einer Meßeinrichtung (Meßglied),
• einer Vergleichseinrichtung (Vergleicher),
• einer Regeleinrichtung (Regler),
• einer Stelleinrichtung (Stellglied).
Diese Tatsache erlaubt es, tiefergehende Betrachtungen an Regelkreisen losgelöst von
einem praktischen Beispiel durchführen zu können. Das Bild 1.1.6 zeigt die in diesem
Zusammenhang allgemein gebräuchlichen Signalnamen und Signalkurzbezeichnungen.
1.6

Regelabweichung Stellgröße
Störgröße
z(t)
e(t) u(t)
w(t)
Regler Stellglied Strecke
y(t)
-
Führungsgröße
y (t)
Meßgröße M
1.7
Meßeinrichtung
Regelgröße
Bild 1.1.6 : Struktur eines einschleifigen Regelkreises mit allgemeinen Signalbezeichnungen
Wie man erkennt, gibt es keinen geprägten allgemeinen Namen für das Signal zwischen
Stellglied und Strecke. Dies liegt daran, daß es in den meisten praktischen Fällen nicht
möglich ist, eine eindeutige Trennung zwischen Stellglied und Strecke vorzunehmen. In
unserem Beispiel "Raumheizungsregelkreis" hatten wir als Stellgröße den Heizmittelfluß
q(t) gewählt, genau so gut hätten wir auch den Ventilöffnungsquerschnitt a des Heizmittelventils
oder die Motorsteuerspannung u(t) als Stellgröße bezeichnen können. Aus
diesem Grunde faßt man bei theoretischen Betrachtungen häufig die Stelleinrichtung und
die Regelstrecke zusammen und nennt diese Anordnung Regelstrecke. Schließlich wird
die in den Regelkreis eingreifende Störung noch über ein fiktives Übertragungsglied
("Störungsfilter") auf den Ausgang der Strecke geleitet. Wie wir später noch sehen
werden, ist es damit einfach möglich, Störangriffe, die nicht auf den Ausgang der Strecke
wirken, so umzurechnen, daß sie als am Ausgang angreifend angesehen werden können.
Die damit entstehende Struktur wollen wir Standard−Regelkreis nennen. Er wird bei den
folgenden Betrachtungen, falls nichts anderes gesagt wird, immer zugrunde gelegt.
w(t)
-
e(t) u(t)
Regler Strecke
y (t)
M
Meßeinrichtung
z(t)
Störungsfilter
w(t): Führungsgröße; e(t): Regelabweichung
u(t): Stellgröße; z(t): Störgröße
y(t): Regelgröße; yM (t): Meßgröße
Bild 1.1.7 : Einschleifiger Standard−Regelkreis
y(t)

Unseren vorangehenden Ausführungen über eine Raumheizungsregelung haben wir
entnommen, daß ein Regelkreis zwei Aufgaben erfüllen soll:
• Die Regelgröße y(t) hat einer Veränderung der Führungsgröße w(t) möglichst gut zu
folgen, diese Eigenschaft wird als Führungsverhalten des Regelkreises bezeichnet.
• Der Regelkreis soll Störungen, die auf die Strecke einwirken, in dem Sinne optimal
ausregeln, daß die Regelgröße − auch bei permanenter Störungseinwirkung − wieder
den Wert der Führungsgröße annimmt. Diese Eigenschaft des Regelkreises wird als
sein Störverhalten bezeichnet.
Der Zustand "optimal" muß anhand der realen Aufgabenstellung definiert werden,
theoretisch optimal wäre folgendes Verhalten:
• sofortiges Folgen der Regelgröße y(t) nach einer Führungsgrößenänderung w(t),
• sofortiges Ausregeln einer Störung z(t) ohne Beeinflusssung der Regelgröße y(t).
w(t)
z(t)
y(t)
sofortiges Ausregeln der Störung z(t) ohne
Beeinflussung der Regegelgröße
sofortiges Folgen der Führungsgröße w(t)
Bild 1.1.8 : Ideales Führungs− und Störungsverhalten eines Regelkreises
Wegen des nicht verzögerungsfreien Übertragungsverhaltens der Übertragungsglieder
des Regelkreises, insbesondere der Regelstrecke, ist ein solches Führungs− und Störverhalten
nicht realisierbar. Bei einem realen Regelkreis ist das Übergangsverhalten von
einem Systemzustand in den anderen (Stör− oder Führungsgrößenänderung) durch
Abweichungen der Regelgröße vom theoretisch optimalen Verlauf gekennzeichnet. Auch
ist nicht bei jeder beliebigen Regelkreiskonfiguration sichergestellt, daß der stationäre
Endwert der Regelgröße genau den Wert der Führungsgröße annimmt. Ein solcher
Regelkreis arbeitet dann statisch ungenau, er besitzt eine bleibende Regelabweichung.
1.8
t
t
t

w(t)
z(t)
y(t)
Bild 1.1.9 : Mögliches reales Führungs− und Störungsverhalten eines Regelkreises
Je nach Auswahl der Rechenfunktionen (bzw. genauer der Übertragungsfunktion) des
Reglers ergibt sich ein mehr oder weniger stark schwingender oder aperiodischer Verlauf
der Regelgröße. Wie bereits erwähnt, hängt es von der realen Problemstellung ab,
welchen Einschwingvorgang man als optimal bezeichnet. Betrachtet man z.B. eine
lagegeregelte Kopierfräsmaschine, bei der die Regelgröße die Position des Fräsers und
die Führungsgröße die Position des Kopiertastkopfes darstellt, so soll der Fräser sicherlich
schnell der Position des Tastkopfes nachfahren, darf aber nicht überschwingen, da
sonst Ausschuß entsteht. Dagegen wird es bei einer Raumheizungsregelung nicht von
besonderer Bedeutung sein, wenn z.B. bei einer Vergrößerung der Führungsgröße von 18
°C auf 21 °C die Regelgröße kurzfristig auf 24 °C überschwingt, um dann den Wert der
Führungsgröße anzunehmen.
Wir können die in diesem Kapitel gewonnenen Erkenntnisse wie folgt zusammenfassen:
• Regelkreise besitzen alle eine einheitliche Grundstruktur, die in Bild 1.1.6 bzw. Bild
1.1.7 dargestellt ist.
• Das grundlegende Störungs− und Führungsverhalten eines Regelkreises, d.h. das
tendenzmäßige Ausregeln von Störungen und das Folgen einer Führungsgrößen-
änderung wird durch die Grundstruktur des Regelkreises erreicht:
− ständiges Messen der Regelgröße,
− Rückführung (Kreisstruktur) der gemessenen Regelgröße und Vergleich mit der
Führungsgröße,
− Wirkungsumkehr in der Vergleichseinrichtung.
1.9
t
t
t

• Die Feinstruktur des Übergangsverhaltens von einem Systemzustand in den anderen
bei einer Führungs− oder Störgrößenänderung wird durch die Auswahl eines Reglers
und die Wahl der Systemparameter seiner Übertragungsfunktion bestimmt.
• Beim Vorgang der Regelkreisoptimierung (Auswahl und Parametrierung des Reglers)
müssen einige Randbedingungen eingehalten werden:
− Der Regelkreis soll stationär genau arbeiten oder eine vorher definierte stationäre
Ungenauigkeit (bleibende Regelabweichung) nicht überschreiten.
− Da ein Regelkreis wegen seiner Kreisstruktur instabil werden kann, d.h. die
Regelgröße nicht gegen einen stationären Endwert läuft, sondern Dauerschwingungen
oder aufklingende Schwingungen erzeugt, ist das Hauptziel des Reglerentwurfs
Stabilität des Regelkreises.
• Die Stellgröße u(t), also die Eingangsgröße in die Regelstrecke, kann bei überhöhten
Forderungen an die Regelgüte (z.B. wenn gefordert wird, daß bei einer Raumheizung
bei einer Führungsgrößenänderung von 20°C auf 25°C die Regelgröße nach unrealistischen
10 sek ihren neuen stationären Endwert erreichen soll) übersteuert
werden. Übersteuerung bedeutet Nichtlinearität des Regelkreises, was zu einem
nichtvorhersagbaren Verhalten des Kreises führen kann. Eine Randbedingung des
Reglerentwurfs ist es daher, die Stellgröße nur innerhalb ihrer Begrenzungen
auszusteuern.
Mit den in /1/ erworbenen systemtheoretischen Kenntnissen wird es uns in den folgenden
Kapiteln möglich sein, den Reglerentwurf unter Erreichung von bestimmten
Regelgüteforderungen und bei Einhaltung der obigen Randbedingungen systematisch
durchzuführen.
1.3 Praktische Beispiele von Regelkreisen
Bevor wir uns der analytischen Durchdringung des Regelkreisverhaltens und der
Regleroptimierung zuwenden, wollen wir uns in diesem Kapitel noch mit einigen
Beispielregelkreisen beschäftigen, um insbesondere festzustellen, daß sich in ihnen immer
die vorgestellte Regelkreisstruktur wiederfindet.
Bild 1.1.10 zeigt einen Regelkreis zur Positionierung einer Teleskop−Antenne. Mit Hilfe
eines solchen Regelkreises kann die Antennenposition ϕ(t) einem beweglichen Objekt
nachgeführt werden. Windbelastungen der Antenne, die die Position ϕ(t) verändern
würden, werden ausgeregelt.
1.10

Bild 1.1.10 : Positionsregelung einer Teleskop−Antenne
Regelgröße und damit Ausgangsgröße der Regelstrecke ist die Position ϕ(t) der Antenne.
Wenn das Stellglied separat betrachtet werden soll, kann man ϕ∗ (t), den Motordrehwinkel,
als Streckeneingangsgröße betrachten. Das Stellgerät, bestehend aus
Thyristor−Steuersatz und Antriebsmotor, hat dann als Eingangsgröße die
Reglerausgangsspannung u(t) und als Ausgangssignal den Motordrehwinkel ϕ∗ (t). Regler
und Vergleichseinrichtung mit ihren Eingangs− und Ausgangssignalen sind dem
Gerätebild des Regelkreises deutlich zu entnehmen. Das Potentiometer unter dem
Getriebe stellt die Meßeinrichtung dar, die die Regelgröße Teleskopposition ϕ(t) auf eine
ihr proportionale Spannung uϕ (t) abbildet.
Bild 1.1.11 stellt eine Wirkungsanordnung zur Neutralisation einer Prozeßflüssigkeit dar,
bildet also einen pH−Wert−Regelkreis. Die Prozeßflüssigkeit kann z.B. Abwasser mit
zwischen sauer und basisch schwankendem pH−Wert sein. Um diese Prozeßflüssigkeit
biologisch klären zu können, muß sichergestellt sein, daß der pH−Wert bei ca. 7 liegt. Eine
so neutralisierte Prozeßflüssigkeit stellt das Überleben der Klärbakterien sicher.
Regelgröße und Ausgangsgröße der Regelstrecke ist der pH−Wert im Abfluß der Prozeßflüssigkeit
aus dem Reaktor. Eingangsgrößen in die Regelstrecke sind die Neutralisationsflüssigkeits−Ströme
qb (t) und qs (t). Zwei verschiedene Stellgößen sind notwendig,
wenn die Prozeßflüssigkeit sowohl sauer als auch basisch sein kann. Ventil und Ventilstellgerät
sind die Stellglieder dieses Regelkreises. Regler, Vergleichs− und Meßeinrichtung
können dem Bild 1.1.11 deutlich entnommen werden. Auszuregelnde Hauptstörgröße
ist der schwankende pH−Wert der Prozeßflüssigkeit, auch Inhomogenitäten in
den Neutralisationsmittel−Flüssen werden ausgeregelt.
1.11

Bild 1.1.11 : pH−Wert−Regelung einer Prozeßflüssigkeit
Auf dem folgenden Bild 1.1.12 ist eine Wirkungsanordnung dargestellt, die z.B. in einer
Papiermaschine das Zerreißen des Fördergutes Papier beim Durchlauf durch Transport−
oder Bearbeitungswalzen (z.B. zur Trocknung) verhindert. Würde das Papier direkt vom
linken Walzenpaar in das rechte geführt, wird bei einer Drehzahlsenkung des linken
Paares, z.B. durch eine hier nicht dargestellte Lasterhöhung des Antriebsmotors, das
Papier zwischen den beiden Walzenpaaren zerreißen. Um dies zu verhindern, wird über
zwei Umlenkrollen zwischen den Walzenpaaren eine Papierschlaufe gebildet, in die eine
senkrecht geführte Walze ("Tänzerwalze") eingelegt wird. Ändert sich nun die Drehzahl
des linken Walzenpaares, wird bei Drehzahlerhöhung die Tänzerwalze nach unten und bei
Drehzahlsenkung nach oben befördert. Der Zweck der Regelung besteht darin, durch
Veränderung der Drehzahl des rechten Walzenpaares, die Lage s(t) der Tänzerwalze
konstant bei s(t) = 0 zu halten und so indirekt ein Zerreißen des Papiers zu verhindern.
Regelgröße und Ausgangsgröße der Regelstrecke ist die Lage der Tänzerwalze s(t),
Eingangsgröße ω(t) die Drehzahl des Antriebsmotors des rechten Walzenpaares. Die
Stelleinrichtung bildet wieder der Thyristorsteuersatz mit Antriebsmotor. Regler und
Vergleichseinrichtung sowie deren Eingangs− und Ausgangsgrößen sind deutlich dem Bild
1.1.12 zu entnehmen. Die Seilzug−Lagemeßeinrichtung bildet die Regelgröße, den
Bewegungsweg s(t) der Tänzerwalze, auf eine ihm proportionale Spannung us (t) ab.
1.12

Bild 1.1.12 : Regelung einer Tänzerwalze
Der Regelkreis, der in Bild 1.1.13 dargestellt ist, wurde der Literaturstelle /15/ entnommen.
Er stellt eine Vorlauftemperaturregelung zur Beheizung eines chemischen
Reaktionsgefäßes dar. (Vorlauftemperatur ist ein Begriff aus der Heizungstechnik, er
bezeichnet die Temperatur eines Heizmittels vor Eintritt in das zu beheizende System).
Dieser Regelkreis unterscheidet sich von den vorangehend vorgestellten dadurch, daß er
keine elektrischen Baukomponenten besitzt.
bewegliche
Düse
Druckluft
Faltenbalg
Stellschraube
Zylinder-Kolbensystem
Ventil
Heizgas Heizmittel
1.13
Heizkessel
Vorlauftemperatur
Reaktionsstoffe
Reaktionskessel
Heizschlange
Bild 1.1.13 : Regelung der Vorlauftemperatur eines Reaktionsgefäßes
Reaktionsprodukt
Die Regelgröße Vorlauftemperatur wird mit einem Ausdehnungsthermometer, das eine
leicht siedende Flüssigkeit enthält, gemessen. Bei einer Temperaturerhöhung dehnt sich
diese Flüssigkeit aus und dehnt den Faltenbalg, der daraufhin eine nach oben wirkende
Kraft erzeugt. Die Kraft bewegt eine drehbar gelagerte Düse, so daß der größere

Luftstrom in das obere Rohr des Zylinder−/Kolbensystems gepreßt wird. Dadurch
verschiebt sich der Kolben nach rechts und verkleinert die Durchtrittsöffnung des
Ventils für das Heizgas. Durch die geringer werdende Heizintensität sinkt die
Vorlauftemperatur. Bei einer Temperatursenkung der Vorlauftemperatur kehrt sich
leicht nachvollziehbar der Wirkungsvorgang um.
Bei diesem Regelkreis wird auch sehr deutlich, daß keine eindeutige Abgrenzung
zwischen Regler, Stelleinrichtung und Regelstrecke möglich ist. Als Eingangsgröße in
die Regelstrecke könnte man den Ventilöffnungsquerschnitt des Heizgasventils
festlegen, Ausgangsgröße ist die Regelgröße Vorlauftemperatur. Stellorgan, Regler
und Teile der Vergleichseinrichtung befinden sich im Zylinder−/Kolbensystem. Die
Meßeinrichtung dagegen ist klar abgrenzbar: die Vorlauftemperatur wird auf eine Kraft
abgebildet, die die bewegliche Düse in ihrer Stellung verändert. Die Vergleichseinrichtung
führt bei diesem Regelkreis einen Kraftvergleich zwischen der Kraft des
Faltenbalges und der Federkraft an der Stellschraube aus. Die Stellung der Stellschraube
stellt ein Maß für die Vorlauftemperatur dar und ist damit die Führungsgröße.
Die erforderliche Wirkungsumkehr innerhalb des Regelkreises wird durch die
Anordnung des oberen Zuluftkanals vor dem Kolben und des unteren hinter dem
Kolben bewirkt. Störgrößen, die die Vorlauftemperatur verändern können, sind
Temperaturrückwirkungen aus dem Reaktionskessel, Veränderungen des Heizwertes
des Heizgases und verschiedene Eintrittstemperaturen des Heizmittels in den
Heizkessel.
1.14

2. Kontinuierliche Regelkreise
Wie im Vorwort bereits angedeutet, wollen wir uns mit kontinuierlichen und zeitdiskreten
Regelkreisen auseinandersetzen. Da nahezu alle Regelstrecken kontinuierlicher Natur
sind, besteht der Unterschied zwischen kontinuierlichen und zeitdiskreten Regelkreisen
schlicht darin, daß im kontinuierlichen Falle der Regler kontinuierich arbeit (man spricht
dann auch von analogen Reglern) und im zeitdiskreten Falle digital in Form einer
Differenzengleichung auf einem Digitalrechner mit A/D- und D/A-Wandler realisiert wird.
In diesem Kapitel wollen wir uns zunächst kontinuierlichen Regelkreisen widmen.
2.1 Die Bauglieder eines Regelkreises
Bevor wir uns der analytischen Durchdringung eines kontinuierlichen Standard-
Regelkreises zuwenden, soll in diesem Kapitel noch eine gewisse Systematik in die Vielfalt
der praktisch auftretenden Regelkreisbauelemente gebracht und ihre Funktionen noch
einmal an verschiedenen Beispielen verdeutlicht werden. Dabei werden abschließend
besonders intensiv Regler betrachtet, weil sie die Bauglieder des Regelkreises sind,
welche von Regelungstechniker ausgewählt und an die Problemstellung angepaßt werden
müssen Die anderen Regelkreisbauelemente, insbesondere die Regelstrecke, sind im
allgemeinen fest vorgegeben, um einen geplaten technisch/wirtschaftlichen Nutzen
erbringen zu können.
2.1.1 Die Regelstrecke
Als Regelstrecke wird der Teil einer Anlage (oder eines Gerätes) bezeichnet, in der die
durch den Regelkreis zu beeinflussende Regelgröße auftritt. Auf die Regelstrecke wirken
Störgrößen ein, deren Größe, Zeitpunkt und Dauer des Auftretens nicht vorhersagbar sind
und deren Einfluß auf die Regelgröße unterdrückt werden soll.
Für die weiter hinten zu besprechenden Entwurfs- und Optimierungsverfahren für
Regelkreise muß ein mathematisches Modell der dieser Regelstrecke bekannt sein. Das
zu bildende Modell muß als Eingangsgröße die Stellgröße u(t) und als Ausgangsgröße die
Regelgröße y(t) aufweisen. Regelstrecken haben in vielen Fällen nichtlineares
Übertragungsverhalten. Da wir uns in dieser Einführung in die Regelungstechnik
ausschließlich mit linearen Systemen und Systembeeinflussungsmechanismen (Reglern)
auseinandersetzen, müssen die mathematischen Modelle solcher Regelstrecken linear
sein. Dazu kann einerseits die in /1/ beschriebene Methode der Linearisierung
herangezogen werden, wenn ein Zustandsmodell, das aus einer physikalisch,
2.1

mathematischen Modellbildung hervorgegengen ist, vorliegt. Falls das Modell aus einer
meßtechnischen Systemerkennung, wie sie in /2/ beschrieben wird, hervorging und man
die dort angegebnen Richtlinien zur Systemidentifikation berüchsichtigt, stellt das
gewonennene Modell bereits eine lineare Aprroximation der realen Regelstrecke dar.
Das gewonnene lineare Modell der Regelstrecke kann anschließend in Form von
Zustandsmodellen, Übertragungsfunktionen oder Frequenzgängen dargestellt werden.
Mit wenigen Ausnahmen lassen sich dann alle Regelstrecken entweder in die Kategorie
global proportional oder global integral wirkend einordnen. Dieses Globalverhalten wird i.a.
durch Verzögerungs− und Vorhaltverhalten verschiedener Ordnung und ggf. Totzeiten
überlagert.
Bei der Beschreibung der folgenden typischen Regelstrecken orientieren wir uns an den
Darstellungen von W. Oppelt. Die im folgenden stark zusammengefaßte Beschreibung
wird in /3/ sehr breit anhand von Geräte− und Anlageskizzen sowie Ansätzen zur
theoretischen Modellbildung dargestellt.
• Stoffströme als Regelstrecke
Stoffströme als Regelstrecken treten überall dort auf, wo Gas− oder Flüssigkeitsströme,
Papier−, Kunsstoff− oder Metallbahnen verarbeitet und transportiert werden müssen.
Die bei diesen Vorgängen auftretenden Regelaufgaben sind z.B. die Beeinflussung von
Druck und Durchflußmenge von Gas− oder Flüssigkeitsströmen, das Konstanthalten
eines Flüs-sigkeitsniveaus in einem Behälter, die Regelung der Materialstärke bei
Walzvorgängen und die Regelung der Ausgangsproduktkonzentration bei
Stoffmischvorgängen.
• Wärmeerzeugungsanlagen, Wärmetauscher
Wärmeerzeugungsanlagen erzeugen durch Verbrennung, chemische Reaktionen, elektrische
Einwirkung oder Kernspaltung Wärmeenergie, die weitergeleitet, gemischt oder
ausgetauscht werden muß. Mögliche Regelungsziele sind z.B. Aufrechterhaltung des
Wärmeerzeugungsprozesses (z.B. bei Kernreaktoren) oder die konstante Warmhaltung
eines Prozesses (Temperofen). Dabei werden häufig Wärmetauscher, die Wärmetauschprozesse
zwischen zwei getrennten Medien herstellen, eingesetzt.
• Chemische Reaktoren
Chemische Reaktionen laufen i.a endo− oder exotherm ab. Zur Aufrechterhaltung einer
Reaktion muß daher häufig Wärme geregelt zu− oder abgeführt werden. Andere
Regelungsziele bei chemischen Reaktoren bestehen z. B. in der Erzeugung von
Stoffen mit bestimmten Konzentrationen.
2.2

• Kernreaktoren
Beim Kernreaktor als Regelstrecke besteht die Hauptregelaufgabe in der Konstanthaltung
des Kernspaltungsvorganges durch Regelung der Neutronengeschwindigkeit.
• Fahrzeuge als Regelstrecken
Bei nichtspurgebundenen Fahrzeugen (Schiffen, Flugzeugen, Raketen) besteht ein
Regelungsziel darin, einen vorgegebenen Kurs einzuhalten. Ein anderes Ziel kann z.B.
eine konstante Fortbewegungsgeschwindigkeit sein. Auch die Regelung einer stabilen
Fluglage bei Flugzeugen und Hubschraubern ist ein wichtiges Regelungsziel.
• Elektrische Maschinen
In elektrischen Anlagen dienen Generatoren zur Aufbringung von Spannungen, um
durch Verbraucher Ströme zu treiben. Als Motoren stellen rotierende Maschinen
antreibende Bauglieder zum Bewegen und Verstellen von mechanischen Systemen
dar. Beein-flussungsaufgaben in diesem Zusammenhang können z.B. Strom−,
Spannungs−, Drehzahl− und Drehmomentregelungen sein.
• Regelstrecken der Nachrichtentechnik
Auch in nachrichtentechnischen Geräten treten Regelaufgaben auf. So ist die AFC
(Automatic Frequency Control) bei UKW−Rundfunkempfängern eine Einrichtung, die
durch geregelte Veränderung der Empfangsfrequenz die Empfangsfeldstärke
maximiert. In Fernsehgeräten heißt diese Einrichtung "getastete Regelung". Viele
Fernsehgeräte besitzen auch eine Regelung, die den Bildkontrast an die
Umgebungshelligkeit anpaßt.
2.1.2 Die Stelleinrichtung
Die Stelleinrichtung erzeugt aus der Ausgangsgröße des Reglers ein Signal, mit dem die
Regelstrecke angesteuert wird. In den meisten Fällen stellt die Stelleinrichtung im
weitesten Sinne einen Leistungsverstärker dar.
Während von der Meßeinrichtung über die Vergleichseinrichtung und den Regler nur
niederenergetische Signale weitergeleitet werden, treibt das Stellglied sehr häufig Energie
− oder Stoffströme in die Regelstrecke, da in den meisten Fällen eine Veränderung der
Regelgröße nur durch Aufbringung von Energie möglich ist (vergleiche die
Beispielregelkreise in Bild 1.1.10, 1.1.12 und 1.1.13).
2.3

w(t)
-
Regler Stellglied
Strecke
Signale
2.4
Energie- oder Stoffströme
Bild 2.1.1 : Das Stellglied als Leistungsverstärker
Stelleinrichtungen lassen sich grob in drei Klassen einteilen:
Meßeinrichtung
• Stelleinrichtungen für masselose (Elektro−) Energieströme (Transistor− und Thyristor−
steller für die Elektroenergie− und Antriebstechnik),
• Stelleinrichtungen für Stoffströme (Motorventil, Pumpen und Bänder),
• Stelleinrichtungen für Festkörperbewegungen (Elektromotoren, pneumatische oder
hydraulische Stellzylinder).
Stellgeräte haben entweder global proportionales oder integrales Wirkungsverhalten. Da
primär proportionales Verhalten gewünscht wird, gibt es z.B. für integral wirkende Motor−
/Stellventil−Kombinationen sog. Stellungsrückmelder, die der Kombination proportionales
Verhalten (mit Verzögerung) aufprägen /3/.
Stelleinrichtungen haben häufig nichtlineare statische Übertragungskennlinien, die i.a.
bekannt und reproduzierbar sind. Daher ist es möglich − insbesondere bei zeitdiskreten
Regeleinrichtungen mit Digitalrechnern − im Regler eine entgegengesetzt wirkende Kennlinie
zu implementieren, so daß die Kombination Regler/Stellglied wieder lineares Übertragungsverhalten
erhält.
Stellglieder produzieren nicht immer kontinuierliche Stellsignale. In der modernen
Regelungstechnik setzen sich wegen der einfacheren (und damit kostengünstigeren)
technologischen Realisierbarkeit z.B. pulsmodulierte Stellgeräte zunehmend durch. Die
verschiedenen Ausführungsformen von Stellgliedern, die in der Literatur auch als Aktoren
oder Aktuatoren bezeichnet werden, sind in den Literaturstellen /3/ und /4/ sehr ausführlich
dargestellt.

2.1.3 Die Meßeinrichtung
Die Meßeinrichtung im Regelkreis dient zur fortwährenden Bestimmung des Regelgrößenistwertes
und dessen Abbildung auf eine Größe, die innerhalb der Vergleichseinrichtung
leicht mit der Führungsgröße vergleichbar ist. Meßeinrichtungen bestehen i.a.
aus einer sog. Meßkette, die aus verschiedenen Gliedern bestehen kann. Das erste Glied
in dieser Kette ist der Fühler oder Sensor, der die zu messende Größe in eine andere
leichter verarbeitbare Größe wandelt. Nach einer Signalverstärkung, die wiederum mit
einer Signalwandlung verbunden sein kann, liegt i.a. ein Normsignal vor, das zur
Vergleichseinrichtung weitergeleitet wird. In /4/ wird beispielhaft für eine Meßkette
folgende (Bodendruck−) Füllstandsmeßeinrichtung angegeben.
h(t)
Flüssigkeitsbehälter
p(t)
Druckmeßdose
F(t)
s(t)
Differentialspule
~
Meßbrücke
L
2.5
Spulenkern
u (t)
~
u(t)
Normstromwandler
Anzeige
Bild 2.1.2 : Prinzipschaltbild der Meßkette einer Füllstandsmeßeinrichtung
Normausgangssignale von Meßketten sind i.a. sog. eingeprägte Ströme von 0−20mA oder
4−20mA oder Spannungen im Bereich 0−10V oder ±10V. Falls das Signal über größere
Strecken weitergeleitet werden soll, können noch andere Signalmanipulationen
vorgenommen werden.
Eine Meßkette hat im weitesten Sinne immer global proportionales Verhalten, wobei die
statische Kennlinie häufig nichtlinear ist. Auch hier ist man im Falle der Nichtlinearität
bestrebt, durch entgegengesetzt wirkende Kennlinien im Regler wieder ein lineares
Gesamtübertragungsverhalten zwischen zu messender Regelgröße und Reglerausgangsgröße
herzustellen /4/. Häufig werden auch so Hysterese und Schwelleneffekte kompensiert.
Meßketten von Meßeinrichtungen in Regelkreisen werden, sofern es die
physikalisch/chemischen Zusammenhänge erlauben, so konstruiert, daß das Zeitverhalten
gegenüber der Regelstrecke vernachlässigbar ist (d.h die Verzörungszeitkonstanten der
α (t)
i(t)

Meßeinrichtung müssen klein gegenüber der der Regelstrecke sein). Alle Ansätze zur
Regleroptimierung in den folgenden Kapiteln setzen diese Tatsache voraus.
Obwohl auch noch Regeleinrichtungen (Meß−, Vergleichs−, Regel− und Stelleinrichtungen)
ohne jedes elektrische Signal existieren (z.B. eine pneumatische Servolenkung
in einem LKW), setzen sich Systeme mit elektrischer Signalverarbeitung in zunehmendem
Maße durch. Meßeinrichtungen werden damit, sofern keine elektrische
Regelgröße vorliegt, primär Einrichtungen zur elektrischen Messung nichtelektrischer
Größen sein.
Folgende wichtige Regelgrößen müssen gemessen werden können /3/, /4/:
Temperatur, Druck, Durchfluß, Volumen, Füllstand, Masse, Kraft, Moment, Dichte,
Viskosität, Feuchte, pH−Wert, Stoffkonzentration, Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung,
Winkel, Winkelgeschwindigkeit, Drehzahl, Stückzahl.
2.1.4 Der Regler mit Vergleichseinrichtung
Obwohl wir in Blockschaltbildern Vergleichseinrichtung und Regler als zwei getrennte Einheiten
darstellen, sind sie in marktverfügbaren Reglern i.a. beide in einem Gerät integriert.
w(t)
y (t)
M
Regler
2.6
w(t)
y (t)
M
Regler
Bild 2.1.3 : Gerätetechnische Anordnung der Vergleichseinrichtung im Regelgerät
Die praktischen Realisierungsformen von Reglern kann man nach ihrem
• physikalisch/-technologischem Aufbau und
• nach ihrer systemtheoretischen Struktur
unterscheiden. In Bezug auf den physikalisch/technologischen Aufbau von Reglern kann
man diese wiederum in zwei Gruppen unterteilen:
• analogsignalverarbeitende Regler ("Kontinuierliche Regler")und
• algorithmisch realisierte Regler in Digitalrechnern ("Digitale oder zeitdiskrete Regler").
Die kontiunuierlichen Regler können noch in pneumatisch, hydraulisch, mechanisch und
elektrisch/elektronisch arbeitende Regler oder Mischformen daraus unterschieden werden.
Wegen der Vielzahl der konstruktiven Ausführungsformen nichtelektronischer Regler muß
zu ihrem Kennenlernen auf die Literatur verwiesen werden. In /3/ werden eine Fülle, z.T.

sehr kunstvoll ausgeführter pneumatischer, hydraulischer und elektro-mechanischer
Regler vorgestellt. Auf algorithmisch realisierte Regler, wie sie sich z.B. in
"Speicherprogrammierbaren Steuerungen" (SPS) wiederfinden, wird ausführlich im Kapitel
3, auf einen mit Operationsverstärkern realisierten kontinuierlichen Regler wird noch in
diesem Kapitel eingegangen.
Zunächst wollen wir aber herleiten, welche Eigenschaften ein Regler besitzen muß, um die
im Kapitel 1.2 angesprochenen Zielstellungen an einen Regelkreis erfüllen zu können.
Während von der Vergleichseinrichtung die notwendige Wirkungsumkehr im Regelkreis
herbeigeführt wird, hat der eigentliche Regler zwei weitere grundlegende Aufgaben:
• Sicherstellung der stabilen Arbeitsweise des Regelkreises,
• Herbeiführung der notwendigen statischen Regelgenauigkeit.
Da alle Kreisstrukturen − so auch der Regelkreis − die Gefahr der Instabilität beinhalten,
muß mit der Wahl der Übertragungsfunktion des Reglers dafür gesorgt werden, daß dieser
Zustand nicht auftritt. Führt man sich vor Augen, daß die meisten Regelstrecken
Tiefpaßcharakter haben, also aus PTn− oder ITn−Gliedern bestehen, die eine Phasendrehung
des zu übertragenden Signals nach negativen Phasenwerten hin bewirken und
auch die negative Rückführung der Regelgröße y(t) auf den Reglereingang eine negative
Phasendrehung von −180° darstellt, kann für eine bestimmte Signalfrequenz die Rückkopplungsbedingung
ϕ =−360° auftreten. D.h. das Ausgangssignal des Regelkreises wird
dem Eingangssignal phasengleich überlagert. Tritt dabei innerhalb des Kreises für diese
Signalfrequenz ein Verstärkungsfaktor auf, der größer als eins ist, führt dies zu
(aufklingenden) Schwingungen der Regelkreissignale.
Aus unseren Betrachtungen über das Wirkungsverhalten von Übertragungsgliedern
wissen wir, daß Vorhaltglieder Signalphasendrehungen in positive Richtungen vornehmen
(vergleiche /1/), also der Phasendrehrichtung der meisten Regelstrecken entgegenwirken.
Eine Forderung zur Verhinderung der Schwingneigung von Regelkreisen wird es also sein,
daß die Reglerübertragungsfunktion Vorhaltglieder enthält:
( ) ( ) ( )
G s = V 1 + sT ⋅ 1 + sT ⋅ � . (2.1.1)
R 1 2
Die zweite Grundforderung nach statischer Regelgenauigkeit kann man erfüllen, wenn in
den Regler ein integraler Wirkanteil implementiert wird. Wir zeigen diese Zusammenhänge
an folgendem Beispiel.
Beispiel 2.1.1: Der folgende Regelkreis mit einer Regelstrecke mit PT1−Verhalten werde
mit einem rein proportional wirkenden Regler betrieben.
2.7

w(t)
_
V R
2.8
VS
1 + sT
Regler Strecke
G (s) = 1
M
Bild 2.1.4 : Ein Regelkreis mit proportional wirkendem Regler
an einer global proportional wirkenden Strecke
Es soll festgestellt werden, ob bei einem Sprung der Führungsgröße w(t) = σ(t); ∆w = 1 die
Regelgröße y(t) stationär (d.h. für t → ∞) den Wert der Führungsgröße y(∞) = w(t) = 1
annimmt.
Nach den Verknüpfungsgesetzen für gekoppelte Übertragungssysteme berechnet sich die
Übertragungsfunktion der Kreisstruktur nach Bild 2.1.4 mit W(s) als Eingang und Y(s) als
Ausgang zu
Ys ( )
Ws ( )
=
VR
⋅
1
VS
+ sT
1 +
VR ⋅ VS
1 + sT
=
VR VS
1 + sT + V V
R S
y(t)
. ( 212 . . )
Zur Berechnung der Ausgangsgröße Y(s) in Abhängigkeit von der Eingangsgröße W(s)
muß (2.1.2) entsprechend umgestellt werden
Y(s) =
VR VS
1 + V V + sT
R S
⋅ W(s) .
( 213 . . )
Da das Verhalten von y(t) auf einen Führungssprung w(t) = σ(t), ∆w = 1 studiert werden
soll, muß für U(s) die Laplace−Transformierte dieses Sprunges in (2.1.3) eingesetzt
werden
1
wt () = ∆w ⋅σ() t = σ()
t ⇒ Ws ( ) = .
( 214 .. )
s
Damit ergibt sich als Sprungantwort im Laplace−Bereich
Y(s) =
1
VR VS
⋅ . ( 215 . . )
1 + V V + sT s
R S

Dieser Ausdruck könnte nach einer Partialbruchzerlegung und Rücktransformation in den
Zeitbereich für t → ∞ betrachtet werden. Ein Vergleich zwischen y(∞) und w(t) = σ(t) würde
dann Auskunft über die stationäre Regelgenauigkeit (bleibende Regelabweichung) geben.
Diesen Rücktransformationsvorgang kann man sich aber ersparen, da ja nur der Wert von
y(∞) interessiert. Auf diesen Wert gelangt man einfacher mit dem Endwertsatz der Laplace
−Transformation /1/
( ) ( )
lim y t = lim s Y s . (2.1.6)
t→∞ s→0 ⋅
Wenn man (2.1.5) in (2.1.6) einsetzt und den Grenzübergang vornimmt
lim y(t) = y( ∞) = lim s ⋅Y(s)
= lim
t→∞ s→0 s→0 =
VR VS
VR VS
lim =
, ( 217 . . )
→0
1 + V V + 2sT
1 + V V
s
R S
2.9
s⋅VR VS
1 + V V + sT
erkennt man, daß y(∞) den Wert VRVS/(1+VRVS) annimmt. Für endliche Werte von VR und VS wird y(∞) nach (2.1.7) immer kleiner als eins sein und somit nicht den Wert der
Führungsgröße w(t) = 1 annehmen. Der Regelkreis arbeitet also statisch ungenau, er hat
eine bleibende Regelabweichung.
R S
R S
Verwendet man als Regler ein integral wirkendes Übertragungsglied, z.B. einen reinen
Integrierer
w(t)
_
VR s
VS
1 + sT
Regler Strecke
Bild 2.1.5 : Ein Regelkreis mit integral wirkendem Regler an
einer global proportional wirkenden Strecke
und führt nach Bildung der Übertragungsfunktion unter den gleichen Erregungs−
bedingungen
⋅
y(t)
1
s

⇒
Ys ( )
Ws ( )
Ys ( )
=
=
1
V
s
wieder den Grenzübergang durch
V
⋅
1 + sT
VR⋅VS s( 1 + sT)
R S
+
=
VR VS
VR VS
1
⋅ Ws ( ) =
⋅ ( 218 . . )
s( 1 + sT) + V V
s( 1 + sT) + V V s
R S
t→∞ s→0 s→0 2.10
VR VS
s( 1 + sT) + V V
R S
s V R VS 1
lim y(t) = y( ∞) = lim s Y(s) = lim ⋅
s(1 + sT) + V V s
R S R S
2
R S VRVS R S
R S
V V V V
= lim = = 1, (2.1.9)
s→0 s(2 + 3Ts ) + V V
erkennt man, daß der Kreis statisch genau, d.h. ohne bleibende Regelabweichung
arbeitet, da die Regelgröße y(t) stationär (t→∞) den Wert der Führungsgröße erreicht.
Zur Erreichung der Grundforderungen Stabilität und hohe statische Regelgenauigkeit
müßte der Regleransatz (2.1.1) also noch um einen integralen Anteil erweitert werden:
1
G R(s) = V ⋅ ⋅ ( 1 + sT1) ⋅ ( 1 + sT 2)
⋅ L . (2.1.10)
s
Leider besitzt diese Reglerstruktur wesentliche Nachteile. Der gravierendste besteht darin,
daß diese Übertragungsfunktion nicht gerätetechnisch realisierbar ist. Dies ist formal
daran zu erkennen, daß der Zählergrad der Übertragungsfunktion größer ist als der
Nennergrad. Realisierbare Systeme besitzen immer einen Zählergrad, der kleiner oder
gleich dem Nennergrad ist. Aus unseren Betrachtungen zum Frequenzgang von
Übertragungssystemen im /1/ wissen wir weiterhin, daß durch den Anstieg der
Betragskennlinie des Bodediagramms von Vorhaltgliedern nach hohen Frequenzen hin,
hochfrequente Rauschsignale extrem verstärkt werden. Aus dem Katalog über die
"Beschreibungsformen der wichtigsten Übertragungsglieder" im Kapitel 1.4 von /1/ ist
darüber hinaus zu entnehmen, daß schnelle Signaländerungen am Eingang von
Vorhaltgliedern zu starken Aussteuerungsspitzen des Ausgangssignals führen. Da jedes
reale Stellglied einen beschränkten Aussteuerungsbereich besitzt, würden diese
Aussteuerungsspitzen zu häufigen Stellgliedübersteuerungen führen. Abhilfe bringt hier
die Einführung sog. Realisierungs− (Verzögerungs−) Zeitkonstanten bei den
Vorhaltgliedern. Damit werden die Vorhaltglieder realisierbar, das Verstärkungsverhalten
bei Hochfrequenz gedämpft und die Aussteuerungsspitzen gemindert.

In der ca. sechzigjährigen systematischen Entwicklungsgeschichte von Reglern hat es
sich herausgestellt, daß mit einem Regler, der einen Proportionalanteil, einen Integralanteil
und einen differentiellen (vorhaltenden) Anteil mit Realisierungszeitkonstante T besitzt
VI
VDs GR( s) = VRegler
( 1 + +
) , ( 2111 . . )
�� � �� ��� s 1 + sT
�� � ��
P− Anteil I− Anteil
2.11
D− Anteil mit
Realisierungs −
zeitkonstante
in den meisten Fällen sehr gute Reglerergebnisse erzielt werden können. Neben den
beiden Grundforderungen nach Stabilität und statischer Regelgenauigkeit lassen sich mit
solchen Reglern noch speziellere Forderungen an die Regelgüte (die wir im Kapitel 2.3
definieren wollen) erfüllen.
Wegen der drei in diesem Regler enthaltenen Wirkungselemente Proportional−, Integral−
und Differentialanteil wird dieser Regler abgekürzt PID−Regler genannt. Im Gegensatz zu
den in (2.1.11) eingeführten Parametern VI, VD und T haben sich in der Entwicklungs−
geschichte des PID−Reglers andere Parameternamen bzw. Bezeichnungen etabliert, mit
denen der PID−Regler folgende Form bekommt
U(s) ⎛ 1 sT ⎞
G R(s) = =V R 1 . (2.1.12)
E(s) sT 1 sT
R
N
V
R
V
⎜ + + ⎟
⎝ N + R ⎠
V : Reglerverstärkungsfaktor
T : Nachstellzeit
T : Vorhaltzeit
T : Realisierungszeitkonstante
Abhängig von diesen vier Parametern, die z.B. bei marktverfügbaren Reglern einstellbar
sind, erhält der Regler ein bestimmtes Übertragungsverhalten, das das gesamte
Übertragungsverhalten des Regelkreises beeinflußt. Die Findung dieser Einstellwerte wird
Regelkreisoptimierung genannt, mit der wir uns in den Kapiteln 2.3 und 3.3 ausein-
andersetzen werden.
Je nach Struktur der Regelstrecke oder den Ansprüchen an die Regelgüte kann man mit
Reglern auskommen, die Teile der Eigenschaften eines PID−Reglers haben. Wählt man in
(2.1.12) TV = 0, erhält man den sog. Proportional−Integral−Regler (PI−Regler)
⎛ 1 ⎞
G R(s) = V R ⎜1 + ⎟ , (2.1.13)
sT
⎝ N ⎠
wählt man in (2.1.12) T N → ∞, also sehr groß, ergibt sich der Proportional−Differential−

Regler (PD−Regler)
⎛ sT ⎞
G (s) =V 1 + . (2.1.14)
R R
V
⎜ ⎟
⎝ 1 + sT R ⎠
Bei einer Wahl von TV = 0 und TN → ∞ erhält man schließlich den einfachsten Reglertyp,
den Proportionalregler (P−Regler)
G ( s) = V . ( 2. 115 . )
R R
Nachdem wir uns mit den notwendigen Funktionselementen auseinandergesetzt haben,
die ein Regler enthalten muß, wenn er die vorangehend beschriebenen Aufgaben
bewältigen soll, wollen wir uns jetzt mit systemtheoretischen Aufbaustruktur solcher Regler
beschäftigen. Vielen nichtelektrisch ausgeführten kontinuierlichen Reglern liegt eine
Gegenkopplungsstruktur zu Grunde, wie sie imfolgenden Bild dargestellt ist.
E(s)
2.12
K
G r (s)
Regler
U(s)
Bild 2.1.6 : Realisierung eines Reglers mittels Gegenkopplung
Dabei werden im Vorwärtszweig ein Proportionalverstärker mit sehr hohem Verstärkungsfaktor
K → ∞ und im Rückführzweig ein geeignetes Gegenkopplungsglied Gr(s) eingesetzt. Als Reglerübertragungsfunktion ergibt sich dann
G ( s)
R
und mit K >>⏐G r(s)⏐
G ( s)
R
= U(s)
E(s) =
U(s)
=
E(s)
≈
1
+
1
G ( s)
r
K
KG( s)
r
=
1
K
+
1
G ( s)
r
( 2116 . . )
. ( 2117 . . )
D.h. die Reglerübertragungsfunktion entspricht dem Kehrwert der Übertragungsfunktion
der Rückführung.
Wählt man als Rückführung ein Verzögerungsglied 1. Ordnung (PT 1−Glied)

K r
Gr( s)
=
( 2118 . . )
1 + T s
r
erhält man mit (2.1.17) einen (scheinbar nicht realisierbaren) PD−Regler mit V R =1/K r und
T V =T r :
U(s) 1 + T s 1
⎛1 + sT ⎞
G (s) = = = ( 1 + T s ) = V ⎜ ⎟ (2.1.19)
⎝ ⎠
r V
R r R
E(s) Kr Kr
Diese scheinbar Nichtrealisierbarkeit ist eine Folge der Annahme, daß K>>|Gr(s)| und der
daraus abgeleiteten Näherungsbeziehung (2.1.17). Praktisch stellt sich jedoch eine
Realisierungs-zeitkonstante ein. Ihre Größe ist allerdings i.a. nicht vorgebbar.
Ein Differenzierglied mit Verzögerung erster Ordnung (DT 1 −Glied)
Ks r
Gr( s)
=
( 2120 . . )
1 + T s
als Rückführungsglied führt mit (2.1.17) auf
r
1+ Trs Tr 1 Tr
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
G R(s) = = + = ⎜1+ ⎟ = VR ⎜1 + ⎟,
(2.1.21)
Ks r Kr Ks r Kr ⎝ Ts r ⎠ ⎝ Ts N ⎠
einen PI−Regler mit V R = T r/K r und T N = T r.
Man kann weiterhin zeigen, daß eine Reihenschaltung eines PT 1− und DT 1−Gliedes als
Rückführung auf einen PID−Regler führt. Häufig bringt auch eine Vermischung
verschiedener Ansätze (z.B. Rückkopplungsstrukturen innerhalb von Parallelschaltungs−
strukturen) Vorteile.
Im Folgenden soll beispielhaft die Realisierung eines PID−Reglers mit elektronischen
Operationsverstärkern (OP) dargestellt werden. Grundlage dieser Reglerrealisierung ist
der beschaltete gegengekoppelte Operationsverstärker ( vergleiche Bild 2.1.7).
Ohne große Fehler zu machen, können zur Bestimmung des Wirkungsverhaltens dieser
Schaltung folgende Annahmen gemacht werden:
• Wegen des hohen Eingangswiderstandes r e ≥ 1MΩ ist der Strom in dem OP i ee ≈ 0,
damit wird i e + i u = 0, d.h. i e = −i u .
2.13

Bild 2.1.7 : Gegengekoppelter Operationsverstärker
• Wegen der hohen offenen Verstärkung V0 ≈ 106 des OP reichen bereits sehr kleine
Spannungen uee ≈ 0V aus, um den OP auszusteuern. Wegen uee ≈ 0 liegt der invertierende
Eingang deshalb quasi an Masse ("virtuelle Masse").
Damit gelten für den gegengekoppelten Operationsverstärker folgendes Ersatzbild
e
Z 1
u Z1
i e
Bild 2.1.8 : Ersatzschaltbild eines gegengekoppelten Operationsverstärkers
und folgende Beziehungen zwischen den Scheinwiderständen, Strömen und Spannungen.
Um Differentialgleichungen zu vermeiden, wird die Analyse der Schaltung im
Frequenzbereich vorgenommen und zur Schreibvereinfachung jω = s gesetzt. Aus
folgt
i u
2.14
u Z2
( ) − ( ) ( ) ⋅ ( ) ( ) ⋅ ( )
I s = I s , E s = Z I s , U s = Z I s
E U 1 E 2 U
G ( s)
R
= U(s)
E(s)
Z
=
Z
2
1
Z 2
IU( s)
Z
⋅ = −
I ( s)
Z
2
E
1
u
. ( 2122 . . )
Damit lassen sich die Übertragungsfunktionen der folgenden Schaltungen leicht
berechnen:

• Proportionalverstärker
• Integrierer
• Differenzierer
Z 2 R2
Gs ( ) =− =− =−VR
( 2123 . . )
Z R
1
1
Z2
Gs ( ) =− =−
Z
1
sC 1 1
=− =− ,
R RCs T s
( 2121
. . )
1
Z 2
Gs ( ) =−
Z1
=−
R
1
s⋅C =−RC ⋅ s =−TV ⋅s
( 2125 . . )
Ein Differenzierer in dieser Form neigt zum Schwingen und ist daher nicht realisierbar.
Durch Einfügung eines Widerstandes R1 in den Eingang verschwindet diese Schwingneigung.
Die Übertragungsfunktion führt dann auf ein realisierbares DT1−Glied: Z2
1 sRC sTV
Gs ( ) =− =− =− =− ( 2126 . . )
Z
1 1 R +
1+ sR1C 1+
sTR
1
sC
2.15
N

Mit
und
folgt
• Summierer
X1
X 2
R
R
i x1 ix3
ix2
I x1(s) + I x2(s) = −I x3(s)
I ( s)
x1
R
2.16
X3
X ( s)
X ( s)
= ; I x2( s)
= ; I x3(
s)
=
R
R
1 2 3
X ( s)
R
X 3(s) X 1(s) X 2(s)
− = + ⇒ X 3(s) = − { X 1(s) + X 2(s)
} . (2.1.28)
R R R
Betrachtet man die Übertragungsfunktion des PID−Reglers (4.2.12)
U(s) ⎛ 1 sT ⎞
G R(s) = = V R 1 , (2.1.28)
E(s) sT 1 sT
V
⎜ + + ⎟
⎝ N + R ⎠
erkennt man, daß sie aus drei additiv miteinander verknüpften Termen besteht, die
wiederum multiplikativ mit VR verknüpft sind. Aus /1/ wissen wir, daß damit folgende
Parallel− und Reihenschaltungsstruktur beschrieben wird:
E(s) V R
1
sTN
sT V
1 + sTR
Bild 2.1.9 : Strukturbild eines PID−Reglers
Mit Hilfe der abgeleiteten Schaltungen läßt sich nun leicht der Stromlaufplan eines
elektronischen PID−Reglers aufzeichnen (vergleiche Bild 2.1.10).
Beim Entwurf der Schaltung mußte darauf geachtet werden, daß alle abgeleiteten
Grundschaltungen die Signale invertieren. Um diese Invertierung rückgängig zu machen,
mußten in jedem Zweig zwei Operationsverstärker in Reihe geschaltet werden. Deshalb
U(s)

et ()
R 4
( TR )
R 1
R 3
( TN )
C 2
R 5
−
OP1
+
P − Zweig
−
OP2
+
I − Zweig
−
OP3
+
R 1
( TV )
C 1
DT1 − Zweig
Bild 2.1.10 Ein elektronischer PID−Regler mit unabhängig
voneinander einstellbaren Parametern
2.17
R 2
R 2
R 2
−
OP4
+
befindet sich auch im P−Zweig ein Operationsverstärker. Um die Anzahl der Bauelemente
dennoch gering zu halten, wurde der Summierer (OP4) gleichzeitig als Verstärker (VR), der zu den drei parallelen Zweigen in Reihe liegt, mitbenutzt. Die entworfene Schaltung
hat die Eigenschaft, daß alle vier Reglerparameter VR, TN, TV und TR unabhängig
voneinander einstellbar sind.
Durch Weglassen der entsprechenden Zweige lassen sich aus dieser Schaltung auch eine
P−, PI−, oder PD−Reglerschaltung ableiten.
Die Übertragungsfunktion der Schaltung lautet
dabei sind
U(s) R6 ⎛ 1 sR5C2 ⎞
G R(s)
= = ⎜1 + +
⎟
(2.1.29)
E(s) R2 ⎝ sR3C1 1 + sR4C2 ⎠
VR = R C R C TR R C
R6
; T N = 3 1 ; T V = 5 2 ; = 4 2 ( 2130 . . )
R
2
Es ist auch möglich, mit nur einem Operationsverstärker einen PID−Regler (und auch die
anderen Typen) zu realisieren. In /5/ wird dafür folgende Schaltung angegeben:
( VR )
R 6
ut ()

C 1
et () R1 +
ut ()
Bild 2.1.11 : Ein PID−Regler mit nur einem Operationsverstärker
Diese Schaltung hat den Nachteil, daß sie zum einen das Eingangssignal zusätzlich
invertiert. Zum anderen werden bei der Veränderung eines Reglerparameters, z.B. durch
eine Widerstandsänderung, andere Reglerparameter mit verändert. Der große Vorteil
besteht im wesentlich geringeren Schaltungsaufwand. Solche Schaltungen mit minimalem
Bauelementeaufwand werden in Geräten eingesetzt, die in großen Stückzahlen produziert
werden und der Vorgang der Regleroptimierung nur einmal, z.B. am Geräteprototyp
vorgenommen wird.
• Ein Überblick über die Eigenschaften von P−, PI−, PD− und PID−Reglern
Um bei späteren Regelkreis−Optimierungsaufgaben einen schnellen Überblick über die
wichtigsten systemtheoretischen Eigenschaften der einzelnen Reglertypen zu erhalten,
werden auf den folgenden Seiten für jeden Reglertyp die Übertragungsfunktion, die
Sprungantwort und eine qualitative Skizze des Bodediagramms und ggf. einige Erläute-rungen
katalogisiert.
Neben der schon bekannten Partialbruchschreibweise der Reglerübertragungsfunktionen
(2.1.12) bis (2.1.15) werden auch die Schreibweisen in faktorisierter V−Normalform
angegeben. Diese werden insbesondere dann benötigt, wenn Bodediagramme von Reglern
gezeichnet werden müssen. Auch die Umrechnungsbeziehungen zwischen den Parametern
der V−Normalform und der Partialbruchform, die aus einem Koffizientenvergleich der beiden
Formen entstanden sind, werden angegeben. Um hier Verwechslungen zu vermeiden, ist
deutlich auf die Indizierung der Reglerparameter zu achten. Durch die Parametrierung der
Sprungantworten der einzelnen Regler können, ähnlich wie mit der Tabelle zur
kataloggestützten Sprungantwortanalyse in /2/, aus einer gemessenen Sprungantwort eines
Reglers die Parameter der Übertragungsfunktion (in Partialbruchschreibweise) bestimmt
werden. Bei den dargestellten Sprungantworten wurde immer ein Eingangssignal
zu Grunde gelegt.
2.18
−
R 2
e(t) = ∆e⋅σ(t) (2.1.31)
C 2

• Eine zu kleine Realisierungszeitkonstante TR erzeugt bei schnellen
Änderungen von e(t) hohe Ausgangssignalspitzen (siehe Sprung-
antwort), die das Stellglied übersteuern können.
• Häufig sind dem Eingangssignal des Reglers e(t) höherfrequente
Störeinstrahlungen überlagert. Aus der Betragskennlinie des
Bodediagramms geht hervor, daß diese bei zu kleiner Wahl von TR
erheblich verstärkt werden können.
Aus der Sprungantwort ist zu erkennen, daß mit wachsendem TV und
sinkendem TR die Spitze der Sprungantwort bei t=0 steigt. Die Abklingzeit
dieser Signalspitze wird ausschließlich von TR bestimmt. Für T=TR in
(2.1.39) geht der PD-Regler in einen P-Regler über.
Für die dynamischen Aspekte der Regelkreisoptimierung ist es
wesentlich, daß der PD-Regler eine Vorhaltzeitkonstante besitzt (2.1.39)
und daß die Phasenkennlinie zwischen den beiden Kennfrequenzen 1/T
und 1/TR eine Phasenverschiebung ϕ{G} nach positiven Phasenwerten
hin hervorruft. Die maximale Höhe des "Phasenbauches" liegt zwischen
0° und +90°. Mit wachsendem Abstand zwischen 1/T und 1/TR, d.h. für
den Fall TR

PID − Regler
Pr opotional −Integral −Differential −Regler
Übertragungsfunktion (Partialbruchschreibweise)
U(s) ⎛ 1 sT ⎞
G (s) = = V 1 ;
V
R R⎜
+ + ⎟
E(s) ⎝ sTN 1+ sTR
⎠
Übertragungsfunktion (V −Normalform)
( 1)( + 2)
( + )
2.23
V : Reglerverstärkungsfaktor
R
T : Nachstellzeit
N
T : Vorhaltzeit
V
T : Realisierungszeitkonstante
R
{ }
R R 1 2
E(s) s 1 sTR
(2.1.41)
U(s) V 1 + sT 1 sT
G (s) = = ; T < min T , T (2.1.42)
Umrechnung von V−Normalfor m in Partialbruchform
TT
V = V T + T − T ; T = T + T −T ; T = −T
(2.1.43)
( ) 1 2
R 1 2 R N 1 2 R V R
T1+ T2 −TR
Sprungantwort
⎛ T ⎞
V
eV ⎜ V
∆ ∆eV ⋅ ⋅ ⎜ 1 + ⎟
R ⎜ T ⎟
⎝ R ⎠
Erläuterungen
u(t)
TN R T TN R T
∆ eV ⋅
R
t
Bodediagramm
Der PID−Regler vereinigt alle Eigenschaften der vorangehend beschriebenen Regler in
sich: durch den I−Anteil wird eine hohe Regelgenauigkeit gewährleistet und der
D−Anteil sorgt für schnelles Regelverhalten. Um das charakteristische
Wirkungsverhalten eines PID−Reglers sicherzustellen, ist es notwendig, daß
TR

Es sei darauf hingewiesen, daß es noch andere Realisierungsformen von
PID−Reglern gibt, z.B. solche, die konjugiert komplexe Zählernullstellen besitzen:
( + + (
2
) )
s( 1 + sT)
V 1 2dTs Ts
G (s) = ; T > T ; d < 1. (2.1.44)
R R
R
Diese Form kann vorteilhaft zur Regelung schwingfähiger proportional wirkender
Strecken eingesetzt werden.
Manche Autoren gehen von einer PID−Regler−Übertragungsfunktion aus, bei der
sich die Realisierungszeitkonstante formal beim Verstärkungsfaktor befindet:
Vr ⎛ 1 ⎞
G R(s) = ⋅ ⎜1+ + sT d ⎟.
(2.1.45)
1 + sTr ⎝ sTi
⎠
Wenn dieser Ansatz gewählt wird, ändern sich selbstverständlich die
Umrechnungsbeziehungen
Partialbruchform.
(2.1.43) zwischen V−Normalform und dieser
2.24

Zum Abschluß dieses Kapitels über Regler sollen noch einige ergänzende Bemerkungen
gemacht werden.
• An Stelle des Reglerverstärkungsfaktor VR wurde bei Regelungen in der Verfahrenstechnik
früher der Begriff Proportionalbereich xp[%] angewendet. Beide Größen lassen
sich leicht ineinander umrechnen
x
p
1 1
= bzw . xp
% = ⋅ 100 % . ( 2. 1. 46 )
V
V
R
• Die beiden global integral wirkenden PI− und PID−Regler haben wir vorangehend in der
V−Normalform wie folgt beschrieben:
2.25
R
( + 1)( + 2)
( + )
V(1 + sT)
V 1 sT 1 sT
G PI(s) = ; G PID(s)
= . (2.1.47)
s s 1 sT
Aus unseren Betrachtungen über die Einheiten des Verstärkungsfaktors von global
integral wirkenden Übertragungssystemen in /1/ wissen wir, daß V mit der Einheit 1/sek
behaftet ist. Um diese Einheit zu vermeiden, fügen einige Autoren in die Übertragungsfunktionen
(2.1.47) fiktive "Zeitkonstanten" beim Integrator im Nenner ein:
R
( 1)( 2)
( + )
∗
V (1 + sT)
V 1 + sT 1 + sT
G PI(s) = ; G PID(s)
= . (2.1.48)
Ts T s 1 sT
∗
1 R
Wie die willkürliche Einfügung dieser Zeitkonstanten, ist auch die Wahl ihrer Größe
willkürlich. Wenn beim PI−Regler V∗/T = V und beim PID−Regler V∗/T1 = V gewählt
werden, gehen die Beschreibungsformen (2.1.47) und (2.1.48) ineinander über.
• In der angelsächsischen Literatur kommen häufig Reglerelemente zur Anwendung, die
Lead− und Lag−Glieder genannt werden. Durch Kaskadierung solcher Lead− und Lag−
Glieder hat man einen größeren Freiheitsgrad bei der Optimierung von Regelkreisen,
als bei den Standard P−, PI−, PD− und PID−Reglern.
Lead− und Lag−Glieder haben eine große Ähnlichkeit mit PD−Reglern und die
Reihenschaltung eines Lead− und Lag−Gliedes hat große Ähnlichkeit mit einem PID−
Regler.
Lead− und Lag−Glieder können mit der gleichen Übertragungsfunktion beschrieben
werden:

0
Us ( )
GR(s)
= =
Es ( )
V( 1 + sT)
T
1 + s
κ
2.26
;
κ > 1 : Lead − Glied
κ < 1 : Lag −Glied
. ( 2149 . . )
Das Lead−Glied (κ >1) entspricht völlig einem PD−Regler, die Vorhaltzeitkonstante ist
größer als die Verzögerungs− (Realisierungs−) Zeitkonstante.
Das Bild 2.1.12 stellt die Sprungantworten und Bodediagramme von Lead− und Lag−
Glied nebeneinander. In den Sprungantworten erkennt man deutlich das Überwiegen
der Vorhaltzeitkonstante beim Lead− und das Überwiegen der Realisierungszeitkonstante
beim Lag−Glied.
∆e V κ
G
dB
ϕ{G}
20
0
−20
0
−20
0
ht ()
T
κ
Tangente in der Spitze
1
T
1
T/κ
1 Dek.
∆e V
∆e V κ
a) b)
Bild 2.1.12 : Sprungantworten und Bodediagramme
von Lead−Glied (a) und Lag−Glied (b)
Während das Lag−Glied neben einer Amplitudenabsenkung nach hohen Frequenzen
hin die Phase zwischen den beiden Kennfrequenzen unter Null Grad absenkt, hebt das
ht ()
T
κ
Tangente im Anstieg
∆e V
0
t 0
t
ω
ω
G
dB
ϕ{G}
20
0
−20
0
−20
1
T / κ
1
T
1 Dek.
ω
ω

Lead−Glied die Amplitude zu hohen Frequenzen hin an und erzeugt zwischen den beiden
Kennfrequenzen eine phasenanhebende Wirkung.
Für den Fall, daß κ

w(t), Störgröße z(t) und der Ausgangsgröße Regelgröße y(t) zu Grunde.
w(t)
-
e(t)
G (s)
R
y (t)
M
u(t)
2.28
G (s)
S
G (s)
M
Bild 2.2.1 : Standard−Regelkreisstruktur
z(t)
G (s)
z
Parallel zu den theoretischen Betrachtungen soll zur Illustrierung ein praktisches Beispiel
gerechnet werden. Zu diesem Zweck betrachten wir die Positionsregelung einer
Teleskopantenne nach Bild 1.1.10 und wollen annehmen, daß mittels eines System-
idenifikationsverfahrens /1,2/ die Übertragungsfunktion der Regelstrecke (beginnend ab
Eingangsspannung u(t) des Thyristor−Steuersatzes bis zur Ausgangsgröße Drehwinkel
ϕ(t) der Antenne) bestimmt wurde:
⎡Grad/ sek ⎤
12
ϕ ⎢
GS ( s ) = =
⎣
⎥
⎦
. (2.2.1)
U s s 1 10 sek s
( s) V
( ) ⋅ + [ ]
( )
Der maximale Aussteuerbereich der Stellgröße u(t) betrage ±5 V. Die Meßeinrichtung
übertrage den Drehwinkel ϕ(t) proportional auf eine Spannung u ϕ (t)
( )
( )
Uϕs 5V
GM ( s ) = = = 0,0139 V / Grad . (2.2.2)
ϕ s 360°
Da die störende Windkraft direkt den Drehwinkel verändert, wollen wir die Störung (aus
didaktischen Gründen stark vereinfacht) direkt als Winkeländerung ϕ z (t) auffassen, so daß
in diesem Falle das Störfilter
( s)
( s)
ϕ
Gz ( s ) = = 1 [ −]
(2.2.3)
ϕ
z
ist. Die Vergleichseinrichtung arbeite auch rein proportional und bilde die Differenz der
Spannungen
y(t)

( ) [ ] ( ) [ ] − ( ) [ ]
E s V = U s V U s V . (2.2.4)
ϕwϕ Wenn die Antenne 360° nach rechts und links gedreht werden soll, muß wegen (2.2.2)
u ϕw (t) zwischen +5 V und −5 V einstellbar sein. Als Regler sei, um das Beispiel einfach
und überschaubar zu halten, ein P−Regler gewählt
( )
( )
U s
GR ( s ) = = V = 0,4 [ −]
. (2.2.5)
E s
Dieser Regler ist bereits mit den später noch zu erlernenden Optimierungsmethoden so
eingestellt, daß die Regelgröße bei einem Führungssprung leicht überschwingt (vergleiche
Bild 1.1.9).
e(t)
u(t)
12
uϕ w t
G R(s)
= 0,4
G S(s)
=
() ϕ( t)
-
u t
ϕ ()
Bild 2.2.2 : Mathematisches Modell des Lageregelkreises einer Teleskopantenne
2.2.1 Die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises
Viele grundlegende Betrachtungen zu Regelkreisen werden an der sogenannten
Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises L(s) vorgenommen, die wie folgt definiert
ist:
Trennt man einen Regelkreis im Rückführzweig vor der Vergleichseinrichtung
auf, nennt man das Produkt der Übertragungsfunktionen aller im Kreis in
Reihe geschalteten Übertragungsglieder die Übertragungsfunktion des
offenen Kreises L(s) :
L(s) = G R (s) . G S (s) . G M (s) (2.2.6)
2.29
s(1 + 10s)
G M(s)
= 0,0139
ϕz () t

w(t)
-
G (s)
R
2.30
G (s)
S
G (s)
M
G (s)
z
Bild 2.2.3 : Zur Definition der Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises
Befinden sich im Kreis noch mehr Übertragungsglieder, wenn z.B. die Stelleinrichtung
G Stell (s) mit dargestellt wird und sich hinter der Meßeinrichtung noch ein Korrekturglied
G K (s) befindet,
w(t)
G (s)
W
-
G (s)
R
G (s)
Stell
G (s)
K
G (s)
S
G (s)
M
y(t)
z(t)
G (s)
z
Bild 2.2.4 : Zur Berechnung der Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises
so berechnet sich die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises definitionsgemäß zu
( ) ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( )
L s = G s G s G s G s G s . (2.2.7)
R Stell S M K
Wie man deutlich erkennt, werden bei der Bildung der Übertragungsfunktion L(s)
außerhalb des Kreises liegende Übertragungsblöcke (G W (s), G Z (s)) nicht berücksichtigt.
In der Literatur wird die Übertragungsfunktion des offenen Kreis manchmal irreführend als
Kreisübertragungsfunktion bezeichnet.
Für unseren Beispielkreis berechnet sich die Übertragungsfunktion des offenen
Regelkreises zu
y(t)

⎡Grad/ sek ⎤
12
⎢ V ⎥
L( s ) = GR( s) ⋅GS( s) ⋅GM( s ) = 0,4 ⋅
⎣ ⎦
⋅0,0139
V / Grad
s1 10 seks ( + [ ] ⋅ )
2.31
( + [ ] ⋅ )
[ ]
⎡ 1 ⎤
0,0667
⎢sek =
⎣
⎥
⎦
(2.2.8)
s1 10 seks 2.2.2 Das Führungsverhalten eines Regelkreises
Das Führungsverhalten eines Regelkreises beschreibt die Auswirkung von Führungsgrößen−Signalaufschaltungen
w(t) auf die Regelgröße y(t). Wie wir schon anschaulich in
Kapitel 1.1.2 gezeigt haben, wird durch den Regelkreisaufbau und die darauf begründeten
Wirkungsmechanismen die Regelgröße y(t) immer der Führungsgröße w(t) folgen.
Basierend auf der sog. Führungsübertragungsfunktion TYW (s) kann dieses Verhalten
quantitativ analysiert werden. Für den Standard−Regelkreis (Bild 2.2.1) ergibt sich die
Führungsübertragungsfunktion nach den Berechnungsvorschriften für gekoppelte
Übertragungssysteme /1/ zu
( )
( )
R( ) ⋅
( )
S(
)
( )
Ls ( )
( )
Y s G s G s
TYW ( s ) = = . (2.2.9)
W s 1 + GR s ⋅GS s ⋅GM
s
�����������
Basierend auf dieser Übertragungsfunktion kann nach Einsetzen der spezifischen
Übertragungsfunktion von GR (s), GS (s) und GM (s), Umstellung der Formel zur
Ausgangsgröße Y(s), Wahl einer gewünschten Eingangserregung w(t) und Einsetzung
ihrer Laplace−Transformierten W(s) = L{w(t)} in die folgende Gleichung
⎧G R(s) ⋅ G S(s)
⎫
y(t) = L -1
⎨ ⋅W(s)
⎬
(2.2.10)
⎩ 1+ L(s) ⎭
analytisch die Systemantwort y(t) berechnet werden.
Zur einfacheren numerischen Berechnung der Sprungantwort y(t) mit dem Matlab-Befehl
y = lsim (sys, u, t, x0);
auf einen Führungssprung w(t) = ∆w . σ(t) wird direkt von der Übertragungsfunktion (2.2.9)
ausgegangen. Diese wird in die Polynomform umgerechnet und mittels der
Zuordnungsvorschrift mit der Übertragungsfunktionen in Zustandsmodelle umgeformt

werden können, in ein Zustandsmodell gewandelt (siehe /1/). Mit den entstehenden
Systemmatrizen A, b, c, und d kann dann das zur Simulation notwendige Zustandsmodell-
Objekt “sys“ erzeugt werden. "u" ist die Eigangsserregung und "t" das Beobachtungs-
intervall über dem die Führungs-Sprungantwort grafisch darstellt werden soll. Mit "x0"
können die Anfangswerte der Zustandsgrößen gesetzt werden. "y" ist die berechnete
Systemausgangsgröße.
Für unseren Beispiel-Regelkreis in Bild 2.2.2 gestaltet sich diese Berechnung wie folgt:
Zunächst wird die Führungsübertragungsfunktion berechnet
( )
( )
ϕw
( + )
( ) ( )
+ ( )
ϕ s GR s ⋅GS
s
TYW ( s ) = =
U s 1 L s
12
0,4 ⋅
s( 1 + 10s) 4,8
= = . (2.2.11)
0,0667 2
1 +
10s + s + 0,0667
s 1 10s
Da die Transformationsvorschrift zur Wandlung einer Übertragungsfunktion in ein
Zustandsmodell in /1/ vorschreibt, daß der Koeffizient vor der höchsten s−Potenz im
Nenner gleich eins ist, muß (2.2.11) durch 10 dividiert werden
( )
( )
ϕ s 0,48
T ( s ) = = .
U s s + 0,1s + 0,00667
YW 2
ϕw
Daraus ergibt sich dann folgendes Zustandsmodell, welches das Zeitverhalten der
Regelgröße ϕ(t) bei Führung mit dem Signal u ϕw(t)beschreibt.
()
()
() t = [ 0 1 ]
2.32
( )
()
⎡xt ⎤ ⎡0−0,00667⎤ ⎡x t ⎤ ⎡0,48⎤ = ⎢ ⋅ + ⋅ uϕwt 1 0,1
⎥ ⎢
0
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 1
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣x2 t ⎦ −
⎣x2 t ⎦
()
()
⎡x t ⎤
ϕ ⋅ ⋅
1
⎢ ⎥
⎣x2t ⎦
()
(2.2.12)
Basierend auf diesem Modell können die zur Bildung des Zustandsmodell-Objekts
benötigten Parameter abgelesen und das Objekt wie folgt parametriert werden:
A=[0, -0.00667; 1, -0.1]; b=[0.48; 0]; c=[0, 1]; d=0;
sys=ss(A,b,c,d);

Die restlichen Parameter zur Parametrierung des Simulationsbefehls “lsim“ werden wie
folgt bestimmt:
• Anfangswerte der Zustandsgrößen "x0"
Die Anfangswerte der Zustandsgrößen werden gleich Null gesetzt, weil wir das Zustandsmodell
(2.2.12) aus einer Übertragungsfunktion gewonnen haben und die
Zustandsgrößen somit keine physikalische Bedeutung mehr haben (vergleiche /1/,
Kapitel 1.2.7.1). In "lsim" kann der letzte Parameter x0 einfach weggelassen werden.
• Beobachtungsintervalldauer "t = 0 : dt : tbeob"
Bei der Wahl der Beobachtungsintervalldauer tbeob orientiert man sich zweckmäßig an
den Zeitkonstanten der Übertragungsfunktion. Dazu muß Gleichung (2.2.11) in die
V−Nor-malform gewandelt werden:
( )
( )
( )
ϕ s 72
T s = =
YW
U 2
ϕw
s 1 + 15s + 150s
72
= (2.2.13)
2
1 + 2 ⋅0,612 ⋅ 12,25s + 12,25s .
2.33
( )
Um sowohl den Einschwingvorgang als auch den Endwert einer Sprungantwort
darzustellen zu können, empfiehlt es sich
tbeob ≈ (10 ... 20) . Tmax
zu wählen. Tmax ist dabei die größte in der Übertragungsfunktion vorkommende
Zeitkonstante. Die Rechenschrittweite dt wird ca. 0.01 mal kleiner gewählt als die
kleinste in der Übertragungsfunktion vorkommende Zeitkonstante Tmin:
dt ≤ 0.01 . Tmin
Die Wahl von tend ist unkritisch und kann ausprobiert werden. dt sollte nie größer
gewählt werden, als in der Formel angegeben. In unserem Falle ist Tmax = Tmin = 12,25
sek.
• Eingangserregung "u"
Die Form der Eingangserregung hängt vom Zweck der Untersuchung des
Führungsverhaltens des Regelkreises ab. Wie wir später noch sehen werden, wählt

man häufig einen Eingangssprung, weil damit eine gute Vergleichbarkeit verschiedener
Simulationen erreicht wird und der Sprung i.a. eine starke dynamische Grenzbelastung
des Regelkreises darstellt, in im praktischen Betrieb häufig gar nicht auftritt ("Worst
Case Simulation").
Die Wahl der Führungssprungamplitude hängt eng mit dem praktisch zu untersuchenden
Regelkreis zusammen. Wir wollen eine Sprungamplitude von 2,5 V wählen,
die wegen (2.2.2) auf einen stationären Endwert des Antennenwinkels von 180° führen
müßte. Diesen Zusammenhang bestätigt auch die Führungsübertragungsfunktion in
V−Normalform, wenn man zu ihrer Berechnung die Einheiten mitführt:
( s)
( )
2.34
[ ]
[ ] ( [ ] )
ϕ
72 Grad/ V
TYW ( s ) = = (2.2.14)
U 2
ϕw
s 1 + 2 ⋅0,612 ⋅12,25 sek ⋅ s + 12,25 sek ⋅s
Aus der Beziehung ∆y ( ∞) = V⋅∆ u folgt für unser Beispiel
Grad
∆ϕ( ∞) = V ⋅∆u ϕw=
72 ⋅2,5
V = 180 Grad . (2.2.15)
V
Damit ergibt sich zur Simulation einer Führungssprung-Antwort folgendes Matlab-
Programm, das auch gleich einen Graphen berechnet.
% Berechnung der Führungs-Sprungantantwort der
% Winkel-Lage einer Teleskopantenne
dt=0.1; % Rechenschrittweite des
% Integrationsalgorithmus
% (ca. ≤ 0.01*Tmin.
tbeob=150; % Beobachtungs-Intervalldauer der
% Sprungantwort.
t=0:dt:tbeob; % Zeitachse.
u=2.5*stepfun(t,0); % Führungssprung-Erregung
A=[0, -0.00667; 1, -0.1]; % Systemparameter des Zustandsmodells
b=[0.48; 0]; % für Führung.
c=[0, 1];
d=0;
sys=ss(A,b,c,d); % Bildung eines Zustandsmodell-Objekts
y=lsim(sys,u,t); % Berechnung der Sprungantwort
plot(t,y), grid % Graph der Sprungantwort
Der entstehende Graph (siehe Bild 2.2.5) bestätigt unsere Vorüberlegungen: nach einem
kurzen Überschwinger von ca. 10% erreicht die Regelgröße einen Drehwinkel von 180°.

Bild 2.2.5 Führungssprungantwort des Regelkreises nach Bild 2.2.2 bei ∆u ϕw = 2,5 V
Neben der Führungssprungantwort liefert auch das Bodediagramm der Führungsüber-
tragungsfunktion T YW(s) interessante Aussagen über das Führungsverhalten des
Regelkreises. Das Bodediagramm kann entweder mit Hilfe der Konstruktionsregeln in /1/
von Hand oder mit Hilfe des Matlab-Befehls
[betrag, phase_] = bode (sys, omega_bereich)
rechnergestützt erstellt werden. Zur rechnergestützten Zeichnung des Bodediagramms
unseres Beispielregelkreises gehen wir von dessen Führungsübertragungsfunktion in
Polynomform (2.2.11)
( )
4,8
TYW s =
2
10s + s + 0,0667
Basierend auf diesem Modell können die zur Bildung des Übertragungsfunktions-Objekts
benötigten Parameter abgelesen und das Übertragungsfunktions-Objekt “sys“ gebildet
werden:
zaehler = 4.8;
nenner = [10, 1, 0.0667];
sys = tf (zaehler, nenner);
2.35

• Darstellungs-Frequenzbereich "omega-bereich"
Bei der Wahl des Frequenzbereichs über dem das Bodediagramm dargestellt werden
soll, orientiert man sich an den Kennfrequenzen der darzustellenden Übertragungsfunktion.
Da die Kennfrequenzen nur in der V-Normalnormform definiert sind, wird diese
betrachtet
72
T YW (s) = =
2
1+ 2 ⋅0.612 ⋅ 12,25s + (12,25s)
72
=
s ⎛ s ⎞
1+ 2⋅0.612⋅ +
0.082
⎜
0,082
⎟
⎝ ⎠
2.36
2
(2.2.16)
Um die Kennfrequenz ω k = 0,082 1/sek. ≈ 0,1 1/sek. ungefähr in die Bildmitte zu
bekommen, wird die Anfangsfrequenz = 0,001 1/sek. und eine Endfrequenz = 1 1/sek.
gewählt, d.h., das Bodediagramm wird über vier Dekaden dargestellt.
Damit ergibt sich zur Berechnung des Bodediagramms des Führungsverhaltens unserer
Teleskopantenne folgendes Matlab-Programm:
% Berechnung der Bodediagramms des Führungsverhaltens
% des Winkel-Lageregelkreises einer Teleskopantenne
zaehler=4.8; % Zähler der Führungs-
% Übertragungsfunktion.
nenner=[10, 1, 0.0667]; % Nenner der Führungs-
% Übertragungsfunktion.
sys=tf(zaehler, nenner); % Bildung eines Übertragungs-
% funktions-Objekts
omega_bereich=logspace(-3,1); % Darstellungsbereich.
[betrag, phase_]=bode(sys, omega_bereich);
% Berechnung des Bodediagramms.
betrag=reshape(betrag,[1,length(omega_bereich)]);
phase_=reshape(phase_,[1,length(omega_bereich)]);
% Wandlung der 3D-Arrays „betrag“
% und „phase“ in Vektoren.
betrag_dB=20*log10(betrag); % Umrechnung der Betrags-
% kennlinie in dB.
subplot(2,1,1) % Zeichnung der Betragskennlinie.
semilogx(omega_bereich, betrag_dB), grid
subplot(2,1,2) % Zeichnung der Pasenkennlinie.
semilogx(omega_bereich, phase_), grid
und damit das Bodediagramm von Bild 2.2.6.

ω
T ( j )
YW dB
40
20
0
-20
-40
-60
l YW q
ϕ T ( jω)
Grad
-100
-200
10 -3
Bild 2.2.6 : Bodediagramm des Führungsverhaltens des Regelkreises nach Bild 2.2.2
An der Betragskennlinie erkennt man, daß bei Änderungsgeschwindigkeiten des
Führungssignals bis ca. ω = 10 −1 1/sek. das Ausgangssignal ϕ(t) dem Eingangssignal
u ϕw(t) wunschgemäß folgt:
0
ϕw
( )
( )
ϕ jω ⎡Grad⎤ = 37 dB = ˆ 72 . (2.2.17)
u jω ⎢ V ⎥
⎣ ⎦
dB
ωb 10 1/
sek.
37dB -3dB
10 -2
(Die Amplitude des den Regelkreis erregende Sinussignal u ϕw(t) bei der Berechnung des
Bodediagramms wird vom Befehl "bode" mit 1 angesetzt. Eine Führungsgrößenamplitude
von 1V führt dann nach (2.2.2) auf einen Drehwinkel von 72 Grad)
Höheren Änderungsgeschwindigkeiten ω > 10−1 1/sek der Führungsgröße kann die Regelgröße
nicht mehr exakt folgen, da der Betragsverlauf zu hohen Frequenzen hin immer
mehr gedämpft wird und dadurch die Drehwinkel-Änderungen immer kleiner werden. Die
Frequenz, an der die Betragskennlinie um −3dB gegenüber dem ursprünglichen parallelen
Verlauf zur Frequenzachse abfällt, bezeichnet man allgemein als Bandbreite ωb (in diesem
Falle der Führungsverhaltens des Regelkreises).
2.37
−1
10 -1
Betragskennlinie
Phasenkennlinie
10 0
10 1
ω

2.2.3 Das Störverhalten eines Regelkreises
Das Störverhalten eines Regelkreises beschreibt die Auswirkung von Störgrößen-
einflüssen z(t) auf die Regelgröße y(t). Wie schon anschaulich in Kapitel 1 gezeigt wurde,
werden der Regelkreisaufbau und die darauf begründeten Wirkungsmechanismen
dahingehend wirken, daß Störungen − auch wenn sie dauernd auf den Kreis wirken −
ausgeregelt werden, so daß nach einer gewissen Zeit die Regelgröße wieder den Wert der
Führungsgröße annimmt.
Basierend auf der sog. Störungsübertragungsfunktion TYZ(s) kann dieses Verhalten
quantitativ analysiert werden. Für den Standard−Regelkreis (Bild 2.2.1) ergibt sich die
Störungsübertragungsfunktion, wiederum bestimmt mit den Berechnungsvorschriften für
gekoppelte Übertragungssysteme, aus
( )
( )
( )
( )
Y s GZ s
TYZ ( s ) = = . (2.2.18)
Z s 1 + L s
Dabei ist GZ(s) ein fiktives Übertragungsglied, das als "Störfilter" bezeichnet wird. Mit ihm
lassen sich Störangriffe in den Regelkreis so modellieren, daß sie über GZ(s) immer am
Ausgang der Strecke angreifen.
Wir können davon ausgehen, daß nur Störungen betrachtet werden müssen, die in der
Umgebung der Strecke, nämlich am Eingang, irgendwo in die Strecke oder am Ausgang
der Strecke angreifen. Störangriffe in Meß−, Vergleichs− und Regeleinrichtung können und
müssen von Regelungstechniker durch konstruktive/−technologische Maßnahmen
beseitigt werden.
Mit den Berechnungsvorschriften für gekoppelte Übertragungssysteme werden die
verschiedenen Störangriffe in die Umgebung der Strecke wie folgt durch GZ(s) modelliert
• Störangriff am Eingang der Strecke
w(t)
-
G (s)
R
z(t)
( )
( )
G (s)
S
G (s)
M
y(t)
( )
( )
2.38
w(t)
-
G (s)
R
( )
( )
G (s)
S
G (s)
M
z(t)
G (s) = G (s)
Z S
Y s GZ s GS s
TYZ ( s ) = = = (2.2.19)
Z s 1 + L s 1 +
L s
y(t)

• Störangriff in die Strecke
w(t)
-
G (s)
R
G (s)
S1
( )
( )
z(t)
G (s)
S
G (s)
S2
G (s)
M
( )
( )
y(t)
2.39
w(t)
-
( )
( )
G (s)
R
G (s)
S
G (s)
M
z(t)
G (s) = G (s)
Z S2
Y s GZ s GS2 s
TYZ ( s ) = = = (2.2.20)
Z s 1 + L s 1 + L s
• Störangriff am Ausgang der Strecke
w(t)
-
G (s)
R
G (s)
S
G (s)
M
( )
( )
z(t)
y(t)
w(t)
-
G (s)
( )
( ) ( )
R
G (s)
S
G (s)
M
z(t)
G (s) = 1
Z
Y s GZ s 1
TYZ ( s ) = = = (2.2.21)
Z s 1 + L s 1 + L s
Zur analytischen Berechnung der Systemantwort y(t) auf eine Störgrößenänderung z(t),
wird zunächst die Übertragungsfunktion T YZ(s) ausgewählt, die den Störangriff der vor-
liegenden Problemstellung beschreibt (für unser Beispiel müßte die Gleichung (2.2.21)
gewählt werden, da bei ihr der Störangriff am Ausgang der Strecke liegt). Nach Einsetzen
der problemspezifischen Übertragungsfunktion von Regler, Strecke und Meßeinrichtung in
T YZ(s), Umstellung zur Ausgangsgröße Y(s), Wahl und Transformation einer gewünschten
Störsignalform z(t) kann die Systemantwort analytisch mittels Partialbruchzerlegung und
Laplace−Rücktransformation berechnet werden.
Zur numerischen Berechnung der Störsprungantwort y(t) auf einen Störsprung z(t) = ∆z.σ(t)
wird direkt von der Übertragungsfunktion (2.2.18) ausgegangen. Wiederum nach
Umrechnung in die Polynomform und Bildung des Zustandsmodells, kann mit den Koeffi-
zienten dieses Zustandsmodells ein Zustandsmodell-Objekt berechnet und damit der
y(t)
y(t)

Befehl "lsim" parametriet und die Störsprungantwort numerisch berechnet werden. Für
unseren Beispielregelkreis (Bild 2.2.2) geschieht diese Berechnung folgendermaßen: nach
Bestimmung der Störungsübertragungsfunktion
( )
( )
2
( )
( )
ϕ s GZs 1
TYZ ( s ) = = =
ϕ 0,0667
Z s 1 + L s
1 +
s1 + 10s
2.40
( )
s + 0,1s
= (2.2.22)
2
s + 0,1s + 0,00667
wird wieder nach /1/ das dazugehörige Zustandsmodell gebildet. Da mit (2.2.22) der Fall
vorliegt, daß der Zählergrad m gleich dem Nennergrad n ist, muß zunächst eine Polynom-
division vorgenommen werden
2 2
( ) ( )
−0,00667
s + 0,1s : s + 0,1s + 0,00667 = 1 +
,
2
s + 0,1s + 0,00667
2 ( s 0,1s 0,00667)
− + +
−
0,00667 (2.2.23)
wodurch sich der Durchgangsfaktor d = 1 und eine transformierbare Restübertragungs-
funktion ergibt. Die Transformation führt auf folgendes Zustandsmodell
⎡ • ⎤
⎢x1() t ⎥ ⎡0 −0,00667 ⎤ ⎡x1() t ⎤ ⎡−0,00667⎤ ⎢
= z t
• ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ + ϕ
1 − 0,1
⎥
x2() t
⎢
0
⎥
⎢x2() t ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
() [ 0 1 ] x () t
x () t
ϕ t = ⎡ 1 ⎤ + 1 ϕzt
.
⎢ ⎥
⎣ 2 ⎦
()
()
(2.2.24)
Als Eingangsamplitude des Störsprunges wird in Ermangelung von realen Werten
angenommen, daß eine Windkraft auftritt, die die Teleskopantenne sprungartig um ϕ z(t) =
30° verdreht.
Das zur Berechnung der Störsprungantwort notwendige Matlab-Programm ergibt sich
damit zu:
% Berechnung der Störungs-Sprungantantwort der
% Winkel-Lage Regelung einer Teleskopantenne
dt=0.1; % Rechenschrittweite des
% Integrationsalgorthmus
tbeob=150; % Beobachtungs-Intervalldauer der
% Sprungantwort.

t=0:dt:tbeob; % Zeitachse.
u=30*stepfun(t,0); % Störsprung-Erregung
A=[0, -0.00667; 1, -0.1]; % Systemparameter des Zustandsmodells
b=[-0.00667; 0]; % für Störung.
c=[0, 1];
d=1;
sys=ss(A,b,c,d); % Bildung eines Zustandsmodell-Objekts
y=lsim(sys,u,t); % Berechnung der Sprungantwort
plot(t,y), grid % Graph der Sprungantwort
Das Programm berechnet folgende Störsprungantwort:
ϕ ( t )
Grad
30
25
20
15
10
5
0
-5
0 50 100 t
sek
150
Bild 2.2.7 : Störsprungantwort des Regelkreises nach Bild 2.2.2 bei ∆ϕz = 30°
Man erkennt, daß die sprungförmige Störung im Zeitpunkt t = 0 den Antennenwinkel um
30° auslenkt, der Regelkreis aber dieser Störung entgegenwirkt und mit einem kurzen
Unterschwinger wieder den Winkel null Grad einstellt, die Störung also ausregelt (linke
Skala von Bild 2.2.7). An dieser Stelle ist anzumerken, daß das obige Programm die
Berechnung der Sprungantwort auf ein Nullniveau bezieht. Geht man davon aus, daß die
Störung eintritt, wenn die Regelgröße ϕ(t) vorher durch eine entsprechende
Führungsgröße schon stationär auf z.B. 180° geführt wurde, kann man zu allen
Ordinatenwerten +180° hinzu addieren. Man erhält damit die rechte Skalierung von Bild
2.2.7. Diese Manipulation ist erlaubt, weil wir ausschließlich lineare Systeme betrachten.
Auch mit einer anderen Programmierung, die den alten Wert der Regelgröße
berücksichtigt, wäre ein Ergebnis mit der rechten Skalierung möglich.
Bei der Beurteilung des Störungsverhaltens eines Regelkreises bedient man sich auch
gern des Bodediagramms der Störungsübertragungsfunktion. Zur numerischen
Berechnung des Bodediagramms unseres Beispielkreises gehen wir wieder von der
Störungsübertragungsfunktion in Polynomform (2.2.22) aus
2.41
210
200
190
180

s + 0,1s
TYZ ( s ) = .
2
s + 0,1s + 0,00667
2
Aus dieser Übertragungsfunktion lassen sich das Berechnungsprogramm in Matlab
ableiten und damit das folgende Bodediagramm berechnen:
% Berechnung der Bodediagramms des Störungsverhaltens
% des Winkel-Lageregelkreises einer Teleskopantenne
zaehler=[1, 0.1, 0]; % Zähler der Störungs-
% Übertragungsfunktion.
nenner=[1, 0.1, 0.00667]; % Nenner der Störungss-
% Übertragungsfunktion.
sys=tf()zaehler, nenner); % Übertragungsfunktions-Objekt
omega_bereich=logspace(-3, 1);
% Darstellungsbereich.
[betrag, phase_]=bode(sys, omega_bereich);
% Berechnung des Bodediagramms.
betrag=reshape(betrag,[1,length(omega_bereich)]);
phase_=reshape(phase_,[1,length(omega_bereich)]);
% Wandlung der 3D-Arrays „betrag“
% und „phase“ in Vektoren.
betrag_dB=20*log10(betrag); % Umrechnung der Betrags-
% kennlinie in dB.
subplot(2,1,1) % Zeichnung der Betragskennlinie.
semilogx(omega_bereich, betrag_dB), grid
title('Betragskennlinie')
subplot(2,1,2) % Zeichnung der Pasenkennlinie.
semilogx(omega_bereich, phase_), grid
title('Phasenkennlinie')
An der Betragskennlinie (Bild 2.2.8) erkennt man, daß Störungen mit Änderungsgeschwindigkeiten
bis ca. ω = 10−1 1/sek. unterdrückt werden, d.h. sehr gering bis
gering auf die Regelgröße durchwirken. Zum Beispiel zeigt die Betragskennlinie bei einer
Änderungsgeschwindigkeit des Störsignals von ω = 10−2 1/sek eine Dämpfung von ca.
−18dB an. Das heißt, ein solches Störsignal wird um den Faktor gedämpft.
Anschaulich bedeutet dies, daß eine Störung ϕz(t) dieser Frequenz mit einer
Maximalamplitude von 30° eine Regelgrößenveränderung von maximal 30° . 0,125 = 3,75°
hervorruft.
Bei einem Vergleich der Bodediagramme des Führungsverhaltens (Bild 2.2.6) und des
Störverhaltens (Bild 2.2.8) stellt man fest, daß die Bereiche für gutes Führungs− und gutes
Störverhalten den gleichen Frequenzbereich, 0 bis ≈ ωb überdecken. Bei Signaländerungsgeschwindigkeit
der Stell− und Störgröße über ωb = 10−1 − 18dB
10 20dB
1/sek hinaus, sind
beide Verhaltensweisen schlecht: Führungsgrößenänderungen werden gedämpft, Störgrößenänderungen
werden mit 0 dB Dämpfung, d.h. ungedämpft auf die Regelgröße
übertragen.
2.42

TYZ( jω)
dB
10
0
-10
-20
-30
-40
ϕ T jω
Grad
100
m r
80
60
40
20
0
YZb g
Bild 2.2.8 : Bodediagramm des Störverhaltens des Regelkreises nach Bild 2.2.2
Alle optimierten Regelkreise zeigen ein ähnliches Verhalten.
2.2.4 Das Stellverhalten des Regelkreises
10
10
-2
-2
Betragskennlinie
Bei der Untersuchung des Stellverhaltens von Regelkreisen interessieren wir uns für den
zeitlichen Verlauf der Stellgröße u(t) bei einer Führungsgrößenänderung w(t) oder einer
Störeinwirkung z(t). Der Verlauf der Stellgröße scheint auf den ersten Blick zur Bewertung
der Regeleigenschaften eines Regelkreises von untergeordneter Bedeutung zu sein, da
wir uns primär für sein Führungs− und Störungsverhalten in Bezug auf die Regelgröße
interessieren. In dem Bestreben, die Regelgröße durch eine entsprechende Reglerein-
stellung Führungsgrößenänderungen möglichst schnell folgen zu lassen bzw. Störungen
auszuregeln, kann es vorkommen, daß Stellamplituden auftreten, die den linearen Aus-
steuerbereich des Stellgliedes überschreiten, d.h. das Stellglied wird übersteuert.
Für die Kursregelung eines Schiffes würde dies bedeuten, daß der Stellmotor für das
Ruder noch angesteuert wird, obwohl das Ruder bereits am Anschlag liegt (vergleiche Bild
2.2.9).
Durch das in diesem Falle nichtlineare Verhalten des Regelkreisgliedes kann das
Verhalten des Regelkreises i.a. nicht mehr vorhergesagt werden. In bestimmten Fällen
kann der Kreis sogar instabil werden. Ohne besondere konstruktive Maßnahmen würde
10 -1
Phasenkennlinie
10 -1
2.43
10 0
10 0
ω
1/ sek.
10 1
10 1

Aussteuerspannung für
den Stellmotor u(t)
u max
0
0
Bild 2.2.9 : Stellgliedübersteuerung bei einer Ruderanlage
auch das Stellglied zerstört werden können. Es ist also wichtig, bei jedem Reglerentwurf
zu überprüfen, ob eine Stellgrößenbeschränkung überschritten wird. Dies kann sowohl bei
Führungsgrößenänderungen als auch bei der Ausregelung von Störungen geschehen. Wie
wir später noch sehen werden, ist es i.a. immer möglich, den Reglerentwurf so zu
modifizieren, z.B. durch Senkung der Ansprüche an die Regelgeschwindigkeit, daß es zu
keiner Stellgliedübersteuerung kommt.
Die analytische Berechnung des Stellgrößenverlaufes basiert auf den sog. Stellgrößen−
übertragungsfunktionen
( )
( )
2.44
( )
( )
Us Us
TUW ( s ) = und TUZ ( s ) = ,
W s Z s
die uns Auskunft über das Stellverhalten bei Führung und bei einer Störung geben. Nach
den Gesetzen über die Verknüpfung gekoppelter Übertragungssysteme berechnet sich die
Stellgrößenübertragungsfunktion bei Führung mit W(s) als Eingangs− und U(s) als
interessierende Ausgangsgröße zu (vergleiche Bild 4.2.14)
( )
( )
( )
( )
Us GR s
TUW ( s ) = = (2.2.25)
W s 1 + L s
und die Stellgrößenübertragungsfunktion bei Störung zu
t
( )
( )
Ruderanlage
( ) ( )
+ ( )
Ruderwinkel ϕ
ϕ max
Us −GZ s⋅G M(s)G ⋅ R s
TUZ ( s ) = = . (2.2.26)
Z s 1 L s
Nach Einsetzen der problemspezifischen Übertragungsfunktionen, Umstellung nach U(s)
und Einsetzen der Laplace−Transformierten der gewünschten Stör− bzw. Führungserregungen,
Partialbruchzerlegung und Laplace−Rücktransformation, können die Stellgrößenverläufe
analytisch berechnet werden. Zur numerischen Berechnung des Stellgrößenverlaufs
bei sprungförmigen Führungs− und Störgrößenerregungen müssen die
0 0
t

eiden Übertragungsfunktionen (2.2.25) und (2.2.26) wieder in Polynomform gewandelt, in
ein Zustandsmodell umgerechnet werden.
Für unseren Beispielkreis (Bild 2.2.2) ergibt sich folgende Stellgrößenübertragungsfunktion
bei Führung
( )
( )
( )
( )
Us GR s 0,4
TUW ( s ) = = =
U 0,0667
ϕ W s 1 + L s
1 +
s1 10s
und daraus folgendes Zustandsmodell
2 ( 0,4s 0,04s 0,00267 )
2.45
( + )
2 2
4s + 0,4s 0,4s + 0,04s
= = (2.2.27)
2 2
10s + s + 0,0667 s + 0,1s + 0,00667
−0,00267
+ +
2 2
0,4s + 0,04s : s + 0,1s + 0,00667 = 0,4 +
2
s 0,1s 0,00667
− + +
()
()
− 0,00267
( )
()
⎡xt ⎤ ⎡0−0,00667⎤ ⎡x t ⎤ ⎡−0,00267⎤ =
⎢
+ ⋅ u w t
1 0,1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ϕ
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 1
⎢
2 t
⎥
−
⎢
x2 t
⎥
⎣x⎦ ⎣ ⎦
() [ ] ()
x () t
u t = 0 1 ⎡x1t ⎤ + 0,4 ⋅ uϕwt .
⎢ ⎥
⎣ 2 ⎦
()
()
(2.2.28)
Mittels "lsim" kann dann in einem Matlab-Programm die Sprungantwort berechnet werden
(siehe Bild 2.2.10)
Dieser Stellgrößenverlauf, der bei t = 0, also im Zeitpunkt der Führungssprung−Aufschaltung
mit einem Maximalwert von 1 V beginnt und bei ca. t = 100 sek gegen Null verläuft,
ist anschaulich interpretierbar (vergleiche Bild 2.2.2). Nach Aufschaltung von ∆uϕw = 2,5 V
wird dieses Signal unverzögert durch den proportional wirkenden Regler, der einen Verstärkungsfaktor
von V = 0,4[−] hat, zur Stellgröße u(t) = V . ∆uϕw = 0,4 . 2,5 V = 1 V
weitergeleitet. Im weiteren Verlauf wird über die Meßeinrichtung die dem Drehwinkel der
Antenne proportionale Meßspannung uϕ (t) negativ auf die Vergleichseinrichtung zurückgeführt,
wodurch der Einschwingvorgang in Bild 2.2.10 entsteht. Ab t ≈ 100 sek wird u
ϕw (t) = uϕ (t) = 2,5 V, so daß sich ein u(t) von Null einstellt. Die integral wirkende Strecke
erhält damit kein Eingangssignal mehr und die Drehung der Antenne kommt bei 180°
Drehwinkel zur Ruhe (vergleiche die Führungssprungantwort in Bild 2.2.5, die unter der
gleichen Erregungsbedingung uϕw(t) = 2,5 V⋅σ(t) bestimmt wurde).

Bild 2.2.10 : Stellgrößenverlauf des Regelkreises nach Bild 2.2.2
bei einem Führungsgrößensprung mit ∆u ϕw = 2,5 V
An dieser Stelle sind einige zusätzliche Bemerkungen wichtig:
• Zunächst ist bei dem betrachteten Beispiel nicht damit zu rechnen, daß die Stellgröße
u(t), die laut Aufgabenstellung einen Aussteuerbereich von ±5 V hat, bei Führung
übersteuert wird. Nach Bild 2.2.10 wird bei einem Führungsgrößensprung von 2,5 V,
der 50 % (180°) des Stellbereiches der Regelgröße umfaßt, nur eine Maximalamplitude
von 1 V erzeugt.
• Bei der Erreichung eines stationären Regelkreis−Zustandes, z.B. wenn nach einem
Führungsgrößensprung von 2,5 V der Drehwinkel der Antenne bei ϕ = 180° zur Ruhe
kommt, muß und wird sich auch allgemein vor allen integral wirkenden Gliedern des
Kreises ein Signalpegel von Null einstellen.
Dies ist auch bei unserem Beispiel der Fall. Eine Eingangsgröße ungleich Null würde zu
einer Auf− oder Abintegration des Ausgangssignals des Übertragungsgliedes mit
Integralanteil führen. D.h. das System käme nicht zur Ruhe. Bei global proportionalen
Systemelementen ist das Verhalten anders. Wir gehen darauf noch im nächsten Kapitel
ein.
Wenden wir uns zunächst noch der Berechnung des Stellgrößenverlaufs unseres
Beispielregelkreises bei einer Störung zu, die aus der Stellgrößenübertragungsfunktion
(2.2.26) berechnet wird
2.46

Z
( )
( )
( + )
( ) ( )
( )
( )
2.47
( ) ( )
( )
U s −GZ s ⋅GM s ⋅GR s −GM s ⋅GR
s
TUZ ( s ) = = =
ϕ s 1 + L s 1 + L s
−3 2 −3
−0,0139 ⋅0,4 −5,56⋅10s − 0,556 ⋅10s
= = (2.2.29)
0,0667 2
1 +
s + 0,1s + 0,00667
s 1 10s
−3 2 −3
2
−5, 56 ⋅10 s − 0, 556 ⋅ 10 s : s + 0, 1s + 0, 00667
=
−3
−556 , ⋅ 10 +
Das daraus entstehende Zustandsmodell
( )
()
−3
0, 0371⋅10 .
2
s + 0, 1s + 0, 00667
( )
()
⎡x 3
1 t ⎤ −
⎡x1 t ⎤ ⎡ − ⎤
⎡00,00667⎤ =
0,0371⋅10 ⎢ + ⋅ ϕzt
x t
⎥ ⎢1 −0,1
⎥ ⎢
x t
⎥ ⎢
0
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎣ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎦
() [ ] x () t
x () t
u t = 0 1 ⎡ 3
1 ⎤ − −
5,56 ⋅10
⋅ϕz
t
⎢ ⎥
⎣ 2 ⎦
=
()
()
(2.2.30)
führt mit einem Matlab-Programm berechnet bei einer Störung ∆ϕ z = 30° auf folgende
Sprungantwort:
Bild 2.2.11 : Stellgrößenverlauf des Regelkreises nach Bild 2.2.2
bei einem Störgrößensprung mit ∆ϕ z = 30°

Auch diese Sprungantwort ist anschaulich interpretierbar. Eine sprungförmige Winkel-
störung mit ∆ϕ z = 30° wird von der Meßeinrichtung erfaßt (vergleiche Bild 2.2.2) und auf
die Spannung u ϕ (t) = 0,0139 V/Grad . 30 Grad = 0,417 V abgebildet. Da das Matlab-
Programm von einer Führungsgröße von Null ausgeht, ergibt sich für t = 0 eine
Regelabweichung von e(t) = −0,417 V, die vom Regler zur Stellgröße u(0) = V . e(0) =
0,4 . (−0,417) V = −0,167 V gewandelt wird. Nach Abklingen des Regelvorganges wird u(t)
ab t ≈ 100 sek wieder Null. Auch bei nicht anzunehmenden größeren Störungen würde die
Stellgrößenschranke ±5V nie überschritten.
Man sollte allerdings auch bestrebt sein, alle Reserven des Regelkreises umfassend zu
nutzen, d.h. den Stellbereich voll auszusteuern. In unserem Falle könnte durch Einsatz
eines anderen Reglertyps die Regelgeschindigkeit erhöht und damit der Stellbereich
besser ausgenutzt werden. Da uns für diese Betrachtungen noch einige Grundlagen
fehlen, gehen wir darauf im Kapitel 2.3 ein.
Das Bodediagramm des Stellverhaltens ist im Gegensatz zu dem des Führungs− und
Störungsverhaltens nicht von so großer Bedeutung. Wir wollen es an dieser Stelle nicht
betrachten.
2.2.5 Das statische Verhalten eines Regelkreises
Obwohl durch die Wirkungsstruktur eines Regelkreises (Kreis mit ständiger Erfassung der
Regelgröße und Wirkungsumkehr) tendenziell Führungsgrößen gefolgt wird und
Störungen ausgeregelt werden, ist es nicht bei jeder beliebigen
Übertragungsfunktions−Konfiguration der Regelkreisbauglieder sichergestellt, daß der
Regelkreis stationär genau arbeitet, d.h. die Regelgröße immer genau den Wert der
Führungsgröße annimmt. Unter gewissen Umständen, die schon kurz in Kapitel 2.1.4
angerissen wurden, kann der Re-gelkreis eine bleibende Regelabweichung behalten. Als
Regelabweichung (Regelfehler, Regeldifferenz) e(t) bezeichnet man die Differenz
zwischen Führungsgröße w(t) und Meßgröße yM (t), die hinter der Vergleichseinrichtung
gemessen werden kann (siehe Bild 2.2.12). Der zeitliche Verlauf von e(t) ergibt sich somit
aus der Differenz der dynamischen Verläufe von w(t) und yM (t). Interessant und wichtig für
die Regelaufgabe ist jedoch nicht der dynamische Verlauf von e(t) sondern der
stationäre Endwert lim e() t = e(
)
t →∞
∞ nach
2.48

w(t)
Bild 2.2.12 : Der Meßort der Regelabweichung e(t)
Aufschaltung einer Führungsgrößenänderung w(t) oder Angreifen einer Störung z(t).
Erreicht e(t) für t→∞ den Wert Null, arbeitet der Regelkreis stationär genau. Bleibt e(∞) ≠
0, macht der Regelkreis einen stationären Regelfehler. Man sagt auch, er hat eine
bleibende Regelabweichung.
Da nicht der dynamische Verlauf von e(t) interessiert, sondern nur der stationäre Endwert
e(∞), kann zu seiner Berechnung der Endwertsatz der Laplace−Transformation
herangezogen werden.
e(t) = w(t) −y
M(t)
• Bleibende Regelabweichung bei Führung
Aus der Regelabweichungsübertragungsfunktion bei Führung (vergleiche Bild 2.2.12)
( )
( ) + ( )
Es 1
TEW ( s ) = = (2.2.31)
W s 1 L s
kann die Regelabweichung im Laplace−Bereich berechnet werden
1
E( s) = TEW ( s) ⋅ W( s) = ⋅W(
s )
(2.2.32)
1 + L s
Nach dem Endwertsatz der Laplace−Transformation berechnet sich dann die stationäre
Regelabweichung bei Führung nach
G R(s)
S
y M(t)
( ∞) ( ) ⋅ ( )
e = lim e t = lim s E s
t→∞ s→0 • Bleibende Regelabweichung bei Störung
( )
s
= lim s ⋅TEW ( s) ⋅W( s ) = lim ⋅W(
s ) . (2.2.33)
s→0 s→0 1 + L s
Aus der Regelabweichungsübertragungsfunktion bei Störung nach Bild 2.2.12
2.49
G (s)
G M(s)
z(t)
G Z(s)
( )
y(t)

( )
( )
( ) ( )
+ ( )
Es −GZ s⋅GM s
TEZ ( s ) = = (2.2.34)
Z s 1 L s
kann wiederum die Regelabweichung im Laplace−Bereich berechnet werden
( ) ( )
+ ( )
−GZ s ⋅GM
s
Es ( ) = TEZ ( s) ⋅Zs ( ) = ⋅Zs
( ) .
1 L s
Mit dem Endwertsatz der Laplace−Transformation berechnet sich damit die stationäre
Regelabweichung bei Störung
( ∞) ( ) ⋅ ( )
e = lim e t = lim s E s
t→∞ s→0 2.50
( ) ( )
( )
−s⋅GZ s ⋅GM
s
= lim s ⋅TEZ ( s) ⋅Z( s ) = lim ⋅Z(
s ) . (2.2.35)
s→0 s→0 1 + L s
Wir wollen nun zeigen, daß das Auftreten und die Höhe der bleibenden Regelabweichung
von der Form der Führungs− und Störsignale und der Anzahl der Integratoren im Kreis
abhängig ist. Zur Vereinfachung der Rechnung wählen wir einen Regelkreis bei dem
G M (s) = 1 gesetzt wird. Die Streckenstörungen denken wir uns auf den Streckenausgang
umgerechnet und zu einer "Ersatzstörung" z*(t) zusammengefaßt. Regler und Strecke
werden auch zusammengefaßt und durch die Übertragungsfunktion des offenen Kreises in
V−Normalform ausgedrückt:
W(s)
-
E(s)
L(s) = V 1
sk . . Z(s)
N(s)
Z*(s)
Bild 2.2.12a : Ein Einfachregelkreis zur Analyse der bleibenden Regelabweichung
V ist das Produkt aus Regler− und Streckenverstärkungsfaktor. Für den Regelkreis nach
Bild 2.2.12a berechnet sich die Regelabweichung im Laplace−Bereich dann wie folgt
1
E( s ) = ⎡W( s ) − Z * ( s ) ⎤ . (2.2.36)
1 + L s
⎣ ⎦
( )
Da sich der Einfluß von W(s) und Z*(s) nur durch das Vorzeichen unterscheiden, genügt
es, wenn wir nur den Einfluß von W(s) studieren. Die bleibende Regelabweichung e(∞)
Y(s)

kann dann mit der folgenden Beziehung berechnet werden:
s
e ( ∞) = lim e( t ) = lim s ⋅E( s ) = lim ⋅Ws
t→∞ s→0 s→0 1 + L s
( )
( )
2.51
( )
( )
( )
k + 1
⋅ ( )
( ) ( )
s
s N s
= lim ⋅Ws = lim ⋅Ws
s→0 V⋅Z s s→0 k
s ⋅ N s + V⋅Z s
+
k
1
s ⋅N
s
k + 1
s
= lim ⋅ W ( s ) ; (wegen Z( 0 ) = N( 0 ) = 1) (2.2.37)
s→0 k
s + V
Als Testeingangssignale wählen wir die Einheitssprungfunktion
und die Anstiegsfunktion
1
w(t) =σ(t) ⇒ W(s) = L -1 { σ (t) } =
(2.2.38)
s
1
w(t) = t ⇒ W(s) = L -1 {} t = . (2.2.39)
2
s
Eine Sprungfunktion dient als Führungsgröße, wenn die Regelgröße einen konstanten
Wert annehmen und halten soll (Festwertregelung). Anstiegsfunktionen sind häufig
Führungsgrößen bei Regelkreisen, bei denen die Regelgröße der dynamischen Änderung
der Führungsgröße folgen soll (Folgeregelungen).
Mit Hilfe von (2.2.37) und den Testfunktionen (2.2.38) und (2.2.39) läßt sich dann folgende
Tabelle der bleibenden Regelabweichung in Abhängigkeit der Testerregungen und der
Anzahl der Integratoren im Kreis berechnen.
Erregung w(t)
σ
t
() t
k = 0
Anzahl der Integratoren im Kreis
k = 1
k = 2
(kein Integrator) (ein Integrator) (zwei Integratoren)
∗)
1
e( ∞ ) =
1+ V
e( ∞ ) =∞
e( ∞ ) = 0
∗)
1
e( ∞ ) =
V
e ( ∞)
= 0
e ( ∞)
= 0
Tabelle 2.2.1: Bleibende Regelabweichung in Abhängigkeit von der Erregungsform
und der Anzahl der Integratoren im Regelkreis
Man erkennt deutlich, daß mit wachsender Anzahl von Integratoren im Regelkreis die
( )

Neigung zu bleibender Regelabweichung abnimmt. Befindet sich kein Integrator im Kreis,
so wird bei einer rampenförmigen Führungs− oder Störgröße die Regelabweichung
unendlich groß. Bei einer sprungförmigen Erregung bleibt eine Regelabweichung von
1/(1+V). Befindet sich ein Integrator im Kreis werden sprungförmige Erregungen völlig und
rampenförmige bis auf 1/V ausgeregelt. In den mit *) gekennzeichneten Fällen kann durch
Erhöhung des Reglerverstärkungsfaktors die bleibende Regelabweichung verkleinert
werden. Wie wir später noch sehen werden, beeinträchtigt diese Maßnahme aber das
Stabilitätsverhalten des Regelkreises.
Aus der Ableitung kann man weiterhin entnehmen, daß die offensichtlich nützlichen
Integratoren nicht unbedingt im Regler auftreten müssen. Eine global integral wirkende
Strecke mit einem P−Regler und einer sprungförmigen Erregung arbeitet genau so ohne
bleibende Regelabweichung wie eine global proportionale Strecke mit einem PI−Regler.
Wichtig ist, daß der oder die Integratoren in der Übertragungsfunktion des offenen Kreises
auftreten.
Bei der Ableitung der Tabelle 2.2.1 sind wir von der Tatsache ausgegangen, daß alle
Störungen als "Ersatzstörung" am Ausgang des Regelkreises zusammengefaßt werden
können. Dies ist zwar richtig, berücksichtigt aber einige Spezialfälle nicht. Es ist daher
zweckmäßig, zur praktischen Berechnung der bleibenden Regelabweichung immer die
Beziehungen (2.2.33) bzw. (2.2.35) zu benutzen und die Tabelle 2.2.1 nur als
"tendenziellen Wegweiser" aufzufassen. Zur Untermauerung dieser Aussage betrachten
wir folgendes
Beispiel 2.2.3: Berechne die bleibende Regelabweichung des folgenden Regelkreises a)
bei einem Führungssprung w(t) = σ(t); ∆w = 1 und b) bei einem Störgrößensprung z(t)
= σ(t); ∆z = 1.
w(t)
-
e(t)
G (s) = 0,3
R
2.52
z(t)
2,5
G S(s)
=
s(1+10s)
G (s) = 0,1
M
Bild 2.2.13 Beispielregelkreis zur Berechnung der bleibenden Regelabweichung
Zur Lösung von a) wird die Beziehung (2.2.33) herangezogen
s s 1
e ( ∞) = lim ⋅W( s ) = lim ⋅
(2.2.40)
s→0 1 + L ( s) s→0 0,075
1 +
s
s1 10s
( +
)

2
30s + 2s 0
= lim = = 0 . (2.2.41)
s→0 2
30s + 2s + 0,075 0,075
D.h., die bleibende Regelabweichung bei einem Führungssprung ist gleich Null.
Zur Lösung von b) wird die Beziehung (2.2.35) benutzt. Da der Störangriff am Eingang der
Strecke erfolgt, muß Gz(s) nach (2.2.19) berechnet werden:
2,5
GZ( s ) = GS( s ) = . (2.2.42)
s1 ( + 10s)
Damit ergibt sich folgendes Strukturbild:
w(t)
-
e(t)
G (s) = 0,3
R
2.53
2,5
G S(s)
=
s(1+10s)
G (s) = 0,1
M
z(t)
2,5
G Z(s)
=
s(1+10s)
Bild 2.2.14 : Umrechnung des Störangriffs des Regelkreises von Bild 2.2.13
auf den Ausgang der Regelstrecke
und folgende bleibende Regelabweichung:
−0,25s
−s⋅GZ( s) ⋅ GM( s) s( 1 + 10s) 1
e ( ∞) = lim ⋅Z( s ) = lim
⋅
s→0 1 + L ( s) s→0 0,075
1 +
s
s1 10s
( + )
−0,25 −0,25
= lim = = − 3,33 . (2.2.43)
s→0 2
30s + 2s + 0,075 0,075
Aus der Rechnung ist ersichtlich, daß bei einem Störgrößensprung im Gegensatz zu
einem Führungsgrößensprung eine bleibende Regelabweichung verbleibt. Die absolute
Größe von e(∞) ist im vorliegendem Falle nicht anschaulich interpretierbar, da dem
Regelkreis kein anschauliches Beispiel zu Grunde liegt. Man kann lediglich zeigen, daß
mit Vergrößerung des Reglerverstärkungsfaktors der Betrag der Regelabweichung kleiner
wird (bei GR (s) = 3 sinkt e(∞) z.B. auf den Wert −0,33).
Es sei noch darauf hingewiesen, daß unser in diesem Kapitel schon häufig betrachtete
Lageregelkreis einer Teleskopantenne sowohl bei sprungförmiger Führung als auch bei

sprungförmiger Störung keine bleibende Regelabweichung hat. Der Leser kann dies leicht
durch Anwendung der Beziehungen (2.2.33) und (2.2.35) auf die Regelkreisstruktur nach
Bild 2.2.2 nachweisen.
Im stationären Ruhezustand eines Regelkreises (z.B. nach einer Führungs− oder Störgrößenänderung)
sind neben der Kenntnis der Größe der bleibenden Regelabweichung
auch häufig die stationären Werte der anderen Regelkreisgrößen, z.B. der Stellgröße, von
Interesse. Mit Hilfe der entsprechend aufgestellten Übertragungsfunktionen (z.B. der
Stellgrößenübertragungsfunktion TUW (s), wenn u(∞) nach einem Führungsgrößensprung
interessiert) und Anwendung des Endwertsatzes der Laplace−Transformation darauf, ist
dies immer möglich. Wesentlich einfacher ist aber das Vorgehen nach folgenden Grundüberlegungen:
• Im stationären Zustand muß die Eingangsgröße jedes global integral wirkenden
Übertragungsgliedes im Regelkreis immer Null sein, damit seine Ausgangsgröße auf
einen bestimmten stationären Wert, der i.a. nicht Null ist, zur Ruhe kommt.
• Im stationären Zustand wirkt bei einem global proportionalen Übertragungsglied nur
sein Verstärkungsfaktor, dessen Größe und Einheit am deutlichsten der V−Normalform−Schreibweise
der Übertragungsfunktion zu entnehmen sind.
• Das selten vorkommende global differenzierend wirkende Übertragungsglied hat im
stationären Zustand an seinen Eingang i.a. immer einen Signalwert ungleich Null,
während sein Ausgangssignalwert immer gleich Null ist.
Legt man diese Grundüberlegungen einer stationären Regelkreisanalyse zugrunde,
gelangt man leicht zu den stationären Werten seiner einzelnen Signale. Wir zeigen dies an
folgendem
Beispiel 2.2.2:
Der Lageregelkreis einer Teleskopantenne nach Bild 2.2.2 sei nach Anlegen einer
sprungförmigen Führungsgröße von uϕw = 2,5 V und einer ständig anliegenden Störung
ϕz (t) = 30° zur Ruhe gekommen.
Berechne die stationären Werte von e(t), u(t), ϕ(t) und uϕ (t).
Da die Regelstrecke global integral wirkt, muß u(∞) = 0 V sein, woraus sich schließen läßt,
daß e(∞) = 0 V sein muß. Wegen
() () −
( )
e t = u t u t
ϕwϕ 2.54

und e(t) = 0 V und u ϕw = 2,5 V muß u ϕ (∞) = 2,5 V sein. Mit Hilfe des Verstärkungsfaktors
der Meßeinrichtung (4.2.51)
( )
( )
Uϕs V
GM ( s ) = = 0,0139
ϕ s Grad
läßt sich mit u ϕ (∞) = 2,5 V der Drehwinkel ϕ der Antenne berechnen
( )
ϕ∞
( )
Uϕ 2,5 V
= = = 180 Grad.
0,0139 V / Grad 0,0139 V/Grad
∞
Wenn die Störung zu diesem Drehwinkel mit 30° beiträgt, muß das reine Strecken-
ausgangssignal vor der Summationsstelle mit der Störung 180° − 30° = 150° betragen.
2.2.6 Das Stabilitätsverhalten eines Regelkreises
Wie wir schon weiter vorn angemerkt haben, besteht durch die Kreisstruktur eines Regel-
kreises immer die Gefahr, daß dieser instabil werden kann. Es ist daher ein
grundlegendes Anliegen jedes Regelkreisentwurfes, instabile Betriebszustände zu
vermeiden. Gegenstand dieses Kapitels soll es sein, Stabilitätsprüfungsmethoden für
Regelkreise aufzuzeigen.
Im /1/ haben wir gezeigt, daß ein lineares kontinuierliches Übertragungssystem im Sinne
der dort angegebenen Stabilitätsdefinition genau dann stabil ist, wenn die Pole seiner
Übertragungsfunktion ausschließlich negative Realteile besitzen oder, bildlich gesprochen,
die Pole nur in der linken s−Halbebene liegen. Dieser Stabilitätssatz kann ohne
Veränderungen auch auf Regelkreise übertragen werden. Betrachtet man einen
Regelkreis als System mit einem Eingang und einem Ausgang,
w(t) G (s)
-
R
2.55
G (s)
S
G (s)
M
Bild 2.2.15 : Das Übertragungssystem geführter Regelkreis
y(t)

z(t)
-
G (s)
R
2.56
G (s)
Z
G (s)
S
G (s)
M
Bild 2.2.16 Das Übertragungssystem gestörter Regelkreis
kann man ihn als Übertragungssystem im Sinne des Stabilitätssatzes auffassen. Dann ist
ein Regelkreis stabil, wenn die Pole der Führungs− und Störungsübertragungsfunktion
( ) ⋅ ( )
( )
( )
( )
GR s GS s GZ s
TYW ( s ) = , TYZ ( s ) =
1 + L s 1 + L s
ausschließlich in der linken s−Halbebene liegen. Man sieht, daß die Nennerpolynome von
T YW (s) und T YZ (s) identisch sind. Wie man sich leicht überzeugen kann, gilt dies auch für
alle anderen Übertragungsfunktionen des geschlossenen Regelkreises: T UW (s) (2.2.25),
T UZ (s) (2.2.26); T EW (s) (2.2.31) und T EZ (s) (2.2.34).
Zur Stabilitätsprüfung muß also die Nullstellenlage dieser sog. charakteristischen
Gleichung
1 + L(s) = 0 ,
die mit L(s) = Z L (s)/N L (s) auch wie folgt geschrieben werden kann
L
( )
( )
ZLs 1 + = ZL( s ) + NL( s ) = 0,
N s
ausgewertet werden. Wir können damit folgenden Stabilitätssatz für Regelkreise angeben:
Ist L(s) = ZL (s)/NL (s) die Übertragungsfunktion eines offenen Regelkreises und ist
der Grad {ZL (s)} ≤ Grad {NL (s)}, dann ist der geschlossene Regelkreis stabil, wenn
die Lösungen der Gleichungen
L
( )
( )
ZLs 1+ L(s) = 1 + = ZL( s ) + NL( s ) = 0, (2.2.44)
N s
ausschließlich einen negativen Realteil haben, bzw. in der linken s−Halbebene
liegen.
y(t)

Obwohl wir aus den vorangegangenen Berechnungen bereits wissen, daß unser Beispiel-
regelkreis "Lageregelung einer Teleskopantenne" stabil arbeitet, wollen wir dennoch die
Stabilitätsprüfung formal anhand des Stabilitätssatzes (2.2.44) durchführen.
Mit der Übertragungsfunktion des offenen Kreises (2.2.8)
( + )
L
( )
( )
0,0667 ZLs L( s ) = =
s1 10s N s
berechnet sich die Pollage des geschlossenen Kreises zu
( ) ( ) ( )
Z s + N s = 0,06672 + s 1 + 10s = 0
L L
− 01 ,
2 −3
s + 0,1s + 6,672 ⋅10
= 0
s = − 0,05 ± −0,004172
1,2
= − 0,05 ± j0,065 (2.2.45)
jω
Bild 2.2.17 : Pollage des geschlossenen Regelkreises nach Bild 2.2.2
Da alle Pole einen negativen Realteil haben, bzw. alle Pole in der linken s−Halbebene
liegen, ist der Regelkreis stabil.
Ein weiteres Stabilitätsprüfungsverfahren, das einige Vorteile gegenüber dem Pollagekriterium
besitzt, ist das sog. Nyquist−Kriterium. Das Nyquist−Kriterium erlaubt anhand des
Bodediagramms des offenen Regelkreises L(s) eine Aussage über das Stabilitätsverhalten
des geschlossenen Kreises. Dabei können im Gegensatz zum Pollagekriterium
auch Regelkreise auf Stabilität untersucht werden, deren Regelstrecken mit Totzeit
2.57
− 01 ,
− 01 ,
s-Ebene
− 01 ,
⇒
δ

ehaftet sind. Weiterhin kommt man bei der praktischen Anwendung des
Nyquist−Kriteriums allein mit der graphischen Darstellung von L(jω) aus. Das
Bodediagramm von L(jω) könnte also meßtechnisch ermittelt werden, d.h., eine
analytische Beschreibung von L(s) wäre entbehrlich.
Wir geben das Nyquistkriterium in seiner sog. vereinfachten Form an und begründen es
anschließend anschaulich. Das (selten gebrauchte) vollständige Nyquist−Kriterium sowie
seine Ableitung sind in /5/ und /6/ eingehend beschrieben.
Vereinfachtes Nyquist−Kriterium
Die Übertragungsfunktion eines offenen Regelkreises habe folgende Form
( )
( )
( )
t t
L s = V e = e (2.2.46)
2.58
( )
( )
1 1 + sT ⋅ � Z s
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
k
s 1 + sT ⋅ � N s
1 −sT L −sT
2 L
mit V > 0; Tt ≥ 0; Grad {ZL (s)} < Grad {NL (s)} und k = 0, 1 oder 2.
NL (s) habe bis auf die k−fache Nullstelle bei s = 0 nur Nullstellen in der linken
s−Ebene und die Betragskennlinie ⏐L(jω)⏐dB schneide nur einmal die 0 dB−Linie bei
der sog. Durchtrittsfrequenz ωc .
Unter diesen Voraussetzungen ist der geschlossene Regelkreis stabil, wenn der sog.
Phasenrand
ist.
{ ( ) }
φ = 180 ° − ϕ L j ω > 0 (2.2.47)
r c
Nach diesem Satz darf das Nyquist−Kriterium nur auf stabile offene Regelkreise (k = 0)
oder auf offene Regelkreise mit einem (k = 1) oder max. zwei (k = 2) Integratoren
angewendet werden. Instabile offene Kreise, deren Instabilität aus anderen Pollagen, z.B.
rechts der imaginären Achse hervorgehen, können mit diesem Kriterium nicht auf Stabilität
untersucht werden. Dies bedeutet eine gewisse Einschränkung, die aber dadurch
umgangen werden kann, daß in diesen Fällen das Pollagekriterium angewendet wird. Zur
Feststellung der Größe des Phasenrandes muß das Bodediagramm des offenen
Regelkreises vorliegen (siehe Bild 2.2.18):
An der Stelle ωc (c: cut=schneiden), wo die Betragskennlinie ⏐L(jω)⏐dB die 0−dB−Linie
schneidet, wird das Lot auf die Phasenkennlinie gefällt. Verläuft die Phasenkennlinie an
dieser Stelle oberhalb der −180°−Linie (z.B. wie in Bild 2.2.18 bei −130°), dann ist mit
(2.2.47)
φ = 180 ° − ϕ L ω = 180 ° − − 130 ° = 50 ° > 0
{ ( ) }
r c
die Phasenrandbedingung nach dem Nyquist−Kriterium erfüllt, d.h. der geschlossene

Regelkreis ist stabil.
Lj ( ω)
dB
l q
ϕ Lj ( ω)
0
− 180
Φ r = 50
ω c
2.59
zB . . ϕ L( jω)
ω
l q = − 130
Bild 2.2.18 : Zur Definition der Begriffe Durchtrittsfrequenz ω c und Phasenrand φ r
im Bodediagramm des offenen Regelkreises
Verläuft die Phasenkennlinie bei ω c unterhalb der −180°−Linie (wie in Bild 2.2.19b), dann
ist nach (2.2.47)
180o
und damit der geschlossene Regelkreis instabil.
Lj ( ω)
ϕ Lj ( ω)
dB
L( jω)
ωc 0
ω
0
l q ϕlLj ( ω)
q
Φr > 0 Φr < 0
− 180
ω
− 180
a) b)
Bild 2.2.19 : Bodediagramm des offenen Regelkreises eines stabilen a)
und eines instabilen b) geschlossenen Kreises
dB
ω
ω c
ω
ω

In Fällen, wo die Phasenkennlinie die −180°−Linie mehrfach schneidet, gilt das verein-
fachte Nyquist−Kriterium auch: Tritt die Betragskennlinie an den schraffierten Stellen durch
die 0−dB−Linie, arbeitet der geschlossene Regelkreis stabil, liegt ω c an anderen Stellen,
ist der Kreis instabil.
Lj ( ω)
dB
0
l q
ϕ Lj ( ω)
− 180
stabil stabil
Bild 2.2.20 : Stabilitätsgebiete bei mehrfachem Durchtritt der Phasenkennlinie durch −180°
Ein Regelkreis arbeitet an seiner sog. Stabilitätsgrenze, wo er keine abklingenden
Schwingungen (wie im Falle der Stabilität) und auch keine aufklingenden Schwingungen
(wie im Falle der Instabilität), sondern Dauerschwingungen konstanter Amplitude erzeugt,
wenn ω c genau an der Stelle liegt wo ϕ{L(jω c )} die −180°−Linie schneidet. In diesem Falle
ist der Phasenrand φ r = 0.
Die Plausibilität des Nyquist−Kriteriums kann anhand folgender Überlegungen gezeigt
werden: Ein Regelkreis habe bei aufgetrennter Rückführschleife und einer bestimmten
Erregungsfrequenz ω E zwischen Führungsgrößeneingang und Regelgrößenausgang eine
Phasendrehung von ϕ{L(jω Ε )} = −180° und ein Verstärkungsmaß ⏐L(jω)⏐ dB > 0, d.h. einen
Verstärkungsfaktor V(jω E ) > 1 (Kurvenverlauf �):
Bild 2.2.21 : Zur anschaulichen Erläuterung des Nyquist−Kriteriums
2.60
ω
ω

Denkt man sich nun den Kreis geschlossen, wird das verstärkte Signal mit einer erneuten
Phasendrehung (durch die negative Rückführung) phasengleich auf den Eingang zurück-
geführt (Kurvenverlauf �). Nach einer erneuten Verstärkung durch Regler und Strecke,
erfolgt wieder eine phasengleiche Rückführung auf den Eingang: die Schwingung
schaukelt sich auf, der Regelkreis ist instabil.
Betrachten wir das dazugehörige Bodediagramm des offenen Kreises,
Bild 2.2.22 : Bodediagramm des offenen Regelkreises nach Bild 2.2.21 (instabiler Fall)
erkennen wir, daß das Nyquist−Kriterium die Instabilität bestätigt: bei ωc ist φr < 0.
Wenn man wie in Bild 2.2.23 den Verstärkungsfaktor V(jωE ) < 1 bzw. ⏐L(jωΕ )⏐dB < 0 macht,
Lj ( ω)
dB
ϕ Lj ( ω)
0
l q
ω c
Φr > 0
− 180 ω
ϕlLj ( ωE)
q=−180
2.61
ω E
L( jω E) < 0
dB
ω
Bild 2.2.23 : Bodediagramm des offenen Regelkreises nach Bild 2.2.21 (stabiler Fall)

dies ist z.B. durch Senkung des Reglerverstärkungsfaktors leicht möglich, würden die
Schwingungen abgeschwächt zurückgeführt: der Regelkreis arbeitet stabil. Auch dies bestätigt
das Nyquist−Kriterium im Bodediagramm des offenen Regelkreises für diese Situation: Bei der
Durchtrittsfrequenz ω c tritt ein Phasenrand φ r > 0 auf, d.h. der geschlossene Regelkreis ist
stabil.
Auch für unseren Beispielregelkreis nach Bild 2.2.2 soll mit Hilfe des Nyquist−Kriteriums
noch einmal nachgewiesen werden, daß er stabil ist. Zunächst muß geprüft werden, ob er
die Voraussetzungen an das Bodediagramm und die Übertragungsfunktion des offenen
Kreises L(s) (2.2.8) zur Anwendung des Kriteriums erfüllt:
Mit V = 0,0667 > 0; Tt = 0; Grad {ZL (s)} = 0 und Grad {NL (s)} = 2 sowie k = 1 werden alle
Bedingungen an L(s) zur Anwendung des Kriteriums erfüllt. Ob die Betragskennlinie die
0−dB−Achse nur einmal schneidet, wird das Bodediagramm von L(jω) zeigen, das wir mit
Hilfe eines Matlab-Programms aus (2.2.8) berechnen:
Lj ( ω)
dB
l q
50
0
-50
-100
ϕ Lj ( ω)
-50
Grad
-100
-150
−180
-200
10 -3
10 -3
10 -2
10 -2
Φ r >0
Betragskennlinie
ωc 2.62
10 -1
Phasenkennlinie
10 -1
10 0
10 0
Bild 2.2.24 : Bodediagramm des offenen Regelkreises (2.2.8)
Mit der Tatsache, daß die Betragskennlinie die 0−dB−Achse nur einmal schneidet, kann
das Nyquist−Kriterium angewendet werden: bei ωc ist der Phasenrand φr > 0, d.h. der
geschlossene Regelkreis ist stabil.
10 1
10 1

2.3 Die Optimierung von Regelkreisen
Auf der Basis der beiden in Kapitel 2.2.6 eingeführten Stabilitätsprüfungsmethoden, dem
Pollage-Kriterium und dem Nyquist−Kriterium, wurden sehr leistungsfähige Verfahren zur
Optimierung von Regelkreisen entwickelt:
• auf der Basis des Nyquist−Kriteriums, das Verfahren zur Optimierung von Regelkreisen
im Bodediagramm des offenen Regelkreis und
• auf der Basis des Pollagekriteriums, das sog. Wurzelortskurven−Verfahren das in der s-
Ebene arbeitet.
Wir wollen uns zunächst mit einem grundsätzlichen Entwurfprinzip, nämlich das des
dominierenden Polpaares auseinandersetzen. Mit Hilfe diese Prinzips wird es uns
gelingen, Regelgüteforderungen, die wir im Zeitbereich spezifizieren an Forderungen im
Frequenz- oder Laplace-Bereich zu übersetzen.
Anschließend gehen wir sehr ausführlich auf den Entwurf von Regler im Bodediagramm
des offenen Kreises auf der Basis des Nyquistkriteriums ein. Anschließend wird die
Funktionweise des Wurzelortskurven-Verfahrens erläutert. Aus Zeit- und Platzgründen
könne nicht alle Feinheiten behandelt werden.
2.3.1 Das Entwurfsprinzip des dominierenden Polpaares
Regelkreisoptimierung bedeutet, für eine gegebene Regelstrecke einen Regler
auszuwählen und seine Parameter so einzustellen, daß der entstehende Regelkreis
Führungsgrößen gut folgt und Störgrößen gut ausregelt. Um diese Beurteilung vornehmen
zu können, müssen einige aussagefähige Gütekennwerte des Regelkreisverhaltens
("Regelgüte-Kriterien") ausgewählt werden. Wegen der Eindeutigkeit des
Führungsverhaltens − es hat bei einem stabilen Regelkreis, egal ob sich im Kreis global
proportionale und/oder global integral wirkende Übertragungsglieder befinden, immer
näherungsweise aperiodisches oder gedämpft schwingfähiges PT2- Verhalten − benutzt
man zur Definition der Regelgüte überwiegend die Kennwerte der Führungssprungantwort,
die im folgenden Bild 2.3.1 dargestellt sind.
In der Anstiegszeit tr (r: rise=ansteigen) schlägt sich die Regelgeschwindigkeit des Kreises
nieder, je kleiner tr ist, um so schneller wird der Kreis Führungsgrößen folgen und
Störgrößen ausregeln.
Die Überschwingweite 0 ≤ Mp ≤ 1 (bezogen auf einen stationären Endwert der
Regelgröße von 1) ist ein Maß für das Dämpfungs− bzw. das Stabilitätsverhalten des
Regelkreises (0: aperiodische Führungssprungantwort, 1: Führungssprungantwort mit
Dauerschwingungen).
2.63

1
h(t)
Mp
Wendepunkt
Tangente im
Wendepunkt
0
0
t r
t
Mp : Überschwingweite
t r : Anstiegszeit
Bild 2.3.1 : Kennwerte zur Festlegung der Regelgüte
Der dritte Regelgütekennwert ist die schon eingeführte bleibende Regelabweichung e(∞)
als Maß für die stationäre Regelgenauigkeit des Regelkreises.
Mit diesen Beschreibungskennwerten für die Regelgüte kann man nun für einen zu
entwerfenden Regelkreis festlegen, wie groß Mp , tr und e(∞) werden sollen. Wir wollen
diesen Vorgang als "Spezifikation der Regelgüte" bezeichnen.
Es sei schon ausdrücklich an dieser Stelle darauf hingewiesen, daß diese Spezifikation
quantitativ am realen vorliegenden Problem vorgenommen werden muß. Qualitativ wird
man sicherlich eine kurze Anstiegszeit und eine geringe bleibende Regelabweichung
fordern.
Zur Beantwortung der Frage, wie man die Regelgüteforderungen an Mp und tr bei einem
vorliegenden Regelkreis herbeiführt, wollen wir jetzt eine Methode herleiten, die sich in der
praktischen Regelungstechnik ausgezeichnet bewährt hat.
Da der Zeitbereich bei praktischen Problemstellungen ohne numerische Unterstützung
schwer zugänglich ist (Differentialgleichungen), bedient man sich des Frequenzbereiches
und entwirft Regler im Bodediagramm des offenen Regelkreises L(jω) oder man wählt die
s-Ebene und entwirft den Regler dort. Dazu ist es allerdings erforderlich, die oben
genannten Spezifikationen der Regelgüte Mp und tr in Forderungen an das Bodediagramm
2.64
wt () = ∆w⋅ σ(); t ∆w=
1

des offenen Regelkreises oder die s-Ebene zu übersetzen. Wir konzentrieren uns
zunächst auf das Bodediagramm des offenen Kreises.
Zur Erläuterung dieser Zusammenhänge müssen wir etwas weiter ausholen: da man i.a.
bestrebt ist, den Regelvorgang "möglichst schnell" zu machen, wird man es in den meisten
Fällen zulassen, daß die Regelgröße bei einem Sprung der Führungsgröße etwas
überschwingt (Mp > 0). Dies bedeutet, daß der Regelkreis so entworfen werden muß, daß
sein Führungsverhalten zumindest näherungsweise PT2−Verhalten mit d ≤ 1 entspricht
(vergleiche Katalog Nr. 3a in Kapitel 1.4 von /1/). Für ein solches angestrebtes
PT2−Führungsverhalten ist es relativ einfach, Beziehungen zwischen Kennwerten der
Führungssprungantwort des geschlossenen Regelkreises und dem Bodediagramm des
offenen Regelkreises herzustellen.
Setzt man in der Standard−Regelkreistruktur nach Bild 2.2.1 der einfacheren Rechnung
wegen GM (s) = 1, so erhält man aus der folgenden Übertragungsfunktion des offenen
Kreises L(s) mit IT1−Verhalten 2.65
2
⎛ 1 ⎞
⎜
T
⎟
L( s ) = GR( s) ⋅ GS( s ) =
⎝ ⎠
(2.3.1)
⎛ 2d ⎞
s⎜s +
T
⎟
⎝ ⎠
eine PT 2 −Führungsübertragungsfunktion
( )
( )
( )
( ) ( )
Y s L s 1
TYW ( s ) = = = . (2.3.2)
W s 1 + L s 2
1 + 2dTs + Ts
(Die etwas merkwürdigen Parameter (1/T) 2 und 2d/T in (2.3.1) wurden so gewählt, daß
(2.3.2) die uns bekannte Form der Übertragungsfunktion eines PT 2 -Gliedes annimmt).
Für ein zunächst konstantes T und Variation von d zwischen 0 und 1 können nun aus
L(jω) (2.3.1) eine Reihe von Bodediagrammen des offenen Kreises berechnet und ihnen
für die verschiedenen Dämpfungsfaktoren d die Kennwerte φ r und ω c (vergleiche Bild
2.2.18) entnommen werden. Basierend auf der Führungsübertragungsfunktion (2.3.2)
können, nach Transformation in ein Zustandsmodell, mit Hilfe eines Matlab-Programms für
die entsprechenden Dämpfungsfaktoren d Führungssprungantworten berechnet werden.
Diesen kann man die Kennwerte M p und t r entnehmen.
Das Ergebnis einer solchen (recht umfangreichen) Auswertung ist in der folgenden Tabelle
2.3.1 dargestellt.

d MP tr / T ωc ⋅ T Φr °
0,01 0,97 1,15 1 1,14
0,1 0,73 1,26 0,99 11,43
0,2 0,53 1,37 0,96 22,62
0,3 0,38 1,5 0,913 33,31
0,4 0,25 1,66 0,853 43,16
0,5 0,17 1,82 0,785 51,87
0,6 0,10 2,03 0,715 59,21
0,7 0,045 2,27 0,647 65,2
0,8 0,015 2,56 0,585 69,9
0,9 0,0015 2,86 0,532 73,5
0,99 0 3,18 0,49 76,3
Tabelle 2.3.1 : Zusammenhänge zwischen Kennwerten der Führungssprungantwort (M p , t r )
und dem Bodediagramm des offenen Regelkreises (Φ r , ω c )
(Der in den Gleichungen (2.3.1) und (2.3.2) sowie in der Tabelle 2.3.1 noch freie
Parameter T wirkt nur als Normierungsfaktor. Dies würde man erkennen, wenn man die
obigen Berechnungen für verschiedene T durchführt: die Berechnungsergebnisse tr /T und
ω .
c T wären immer die gleichen). Zum besseren Verständnis der vorangehenden
Ausführungen betrachten wir folgendes
Beispiel 2.3.1: Bestimme die zusammengehörigen Kennwerte des Bodediagramms des
offenen Regelkreises (φr und ωc ) und der dazugehörigen Führungssprungantwort (Mp und
tr ) eines Regelkreises mit PT2−Führungsverhalten (2.3.1 / 2.3.2) bei einem Dämpfungsfaktor
d = 0,4 und T = 1.
Zur Bestimmung des Bodediagramms des offenen Regelkreises werden die gegebenen
Parameter in (2.3.1) eingesetzt
2
⎛ 1 ⎞
⎜
T
⎟
1 1
L( s ) =
⎝ ⎠
= = (2.3.3)
⎛ 2d ⎞ ss 2
( + 0,8
s s ) s + 0,8s
⎜ +
T
⎟
⎝ ⎠
und mit einem Matlab-Programm das Bodediagramm gezeichnet:
2.66

Lj ( ω)
dB
50
0
-50
-100
-50
-100
-150
l q
ϕ Lj ( ω)
Grad
10 -1
Φr = 43, 2
Betragskennlinie
10 0
Phasenkennlinie
10 -2
10 -1
10 0
10 1
10 2
-200
ω
1/ sek.
Bild 2.3.2 : Bodediagramm eines offenen Regelkreises mit IT1-Verhalten 2.67
ωc = 085 ,
An der Stelle ω c = 0,85 Kann ein Phasenrand von φ r = 43,2° abgelesen, bzw. berechnet
werden.
Aus der Führungsübertragungsfunktion (2.3.2)
wird das dazugehörige Zustandsmodell berechnet
()
()
( )
()
⎣ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎦
() = [ ] x1() t
x () t
⎣ 2 ⎦
( )
10 1
⎡x1 t ⎤ ⎡0 −1
⎤ ⎡x1 t ⎤ ⎡1⎤ ⎢ = + w t
x t
⎥ ⎢1 0,8⎥ ⎢
x t
⎥
⎣ − ⎦
⎢
⎣0⎥ ⎦
y t 0 1
das auf folgende Sprungantwort führt:
( )
( ) + ⋅ ⋅ + ( )
Y s 1
T ( s ) = =
W s 1 2 0, 4 1s 1s
YW 2
1
= (2.3.4)
2
s + 0,8s +
1
⎡ ⎤
⎢ ⎥
()
; x 0 = 0 ,
10 2
(2.3.5)

Bild 2.3.3 : Führungssprungantwort eines Regelkreises, dessen offener
Regelkreis IT 1 −Verhalten hat
Der Sprungantwort kann man die Kennwerte Überschwingweite Mp = 0,25 und Anstiegszeit
tr = 1,66 entnehmen. Die Berechnungsergebnisse decken sich erwartungsgemäß mit
denen in der Zeile d = 0,4 der Tabelle 2.3.1 .
Dieser Tabelle können wir nun für einen Regelkreis mit PT2−Führungsverhalten eindeutige
Zusammenhänge zwischen den Kennwerten Mp , tr der Führungssprungantwort und den
Kennwerten des dazugehörigen Bodediagramms des offenen Regelkreises entnehmen.
Bei der Stabilitätsprüfung von Regelkreisen mittels des Nyquist−Kriteriums wurde festgestellt,
daß Regelkreise mit φr < 0 instabil, mit φr = 0 grenzstabil und φr > 0 stabil arbeiten.
Das heißt, mit wachsendem Phasenrand wird die Überschwingamplitude immer geringer.
Es besteht also eine starke Korrelation zwischen φr und Mp. Da andererseits sowohl ωc als
auch t r mit T verknüpft sind, besteht eine sehr enge Beziehung zwischen ω c und t r.
Um nun für zukünftige Regelkreisoptimierungen im Bodediagramm des offenen Regelkreises
die Regelgüteforderungen an Mp und tr in Forderungen an φr und ωc umrechnen
zu können, sollen diese Beziehungen grafisch dargestellt und daraus analytische
Näherungsbeziehungen zwischen ihnen abgeleitet werden. Dazu müssen wir mittels
Tabelle 2.3.1 φr als Funktion von Mp und ω .T c als Funktion von tr/T bei jeweils gleichen d
darstellen. Die uns hier nicht interessierende Abhängigkeit von d geht dabei verloren.
2.68

Φ r
Grad
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
02 , 04 , 06 , 08 , 1 Mp
Bild 2.3.4 : Funktionaler Zusammenhang zwischen Φ r und M p bei einem Regelkreis mit
PT 2 −Führungsverhalten
1
ω c T
08 ,
06 ,
04 ,
02 ,
0
1 15 , 2 25 , 3 35 ,
Bild 2.3.5 : Funktionaler Zusammenhang zwischen ω c . T und tr /T bei einem Regelkreis mit
PT 2 −Führungsverhalten
Um bei späteren Anwendungen dieser Beziehungen nicht auf diese Grafiken angewiesen
zu sein, sollen sie durch genäherte analytische Beziehungen (Formeln) beschrieben werden.
Im praktisch interessierenden Überschwingweitengebiet 0,05 ≤ Mp ≤ 0,45 könnte
man in Bild 2.3.4 die nichtlineare Kurve durch eine Gerade approximieren. Die Erfahrung
zeigt, daß dies zu ungenau ist. Wir nähern deshalb die Kurve durch zwei Geraden mit
verschiedenen Steigungen an, die in ihrem Definitionsbereich wie folgt lauten: (Hinsichtlich
2.69
t r / T

der Berechnung der Geradengleichungen sei auf /7/ verwiesen).
Φ
Φ
≈ 69° − 106 ⋅M für 0, 05 ≤ M < 0, 25 ( 2. 3. 6 a)
≈ 62° − 76 ⋅M für 0, 25 ≤ M ≤ 0, 45 ( 2. 3. 6 b)
r p p
r p p
Die analytische Beziehung zwischen tr und ωc nach Bild 2.3.5 läßt sich (z.B. durch
probieren) näherungsweise durch Einführung eines Umrechnungsfaktors herstellen
ω
c
⋅T≈ 144 ,
tr/ T
⇒
ωc
≈
144 ,
t
. ( 237 . . )
r
Mit den Gleichungen (2.3.6) und (2.3.7) haben wir die Beziehungen gefunden, mit denen
man bei einem Regelkreis mit PT2−Führungsverhalten die Regelgütespezifikationen Mp und tr in Forderungen an das Bodediagramm des offenen Regelkreises und zwar an einen
bestimmten Phasenrand φr und eine bestimmte Durchtrittsfrequenz ωc umrechnen kann,
um dann dort den dazugehörigen Regler zu entwerfen. An diesem Punkt stellen sich
jedoch zwei neue Fragen:
a) Nicht jeder offene Regelkreis hat IT1−Verhalten, das auf PT2−Verhalten des
geschlossenen Kreises führt. Kann man die vorangehenden Überlegungen auch auf
Regelkreise mit anderem Verhalten des offenen Kreises anwenden? Diese Frage
wollen wir anschließend klären.
b) Wie nimmt man im Bodediagramm des offenen Kreises einen Reglerentwurf vor, wenn
man weiß wie groß φr und ωc werden müssen. Diese Frage beantworten wir im
nächsten Kapitel.
Zur Beantwortung der Frage a) betrachten wir eine beliebige Übertragungsfunktion eines
offenen Regelkreises, die sich aber stark von einer IT1−Übertragungsfunktion (2.3.1)
unterscheidet, z.B. eine Funktion mit PT3−Verhalten 5,6
L s = G (s) ⋅ G (s) = ; G (s)=1 . (2.3.8)
( )
( 1 + 1s)( 1 + 0,5s)( 1 + 0,1s)
R S M
Obwohl sich das Bodediagramm des offenen Kreises dieser Übertragungsfunktion (Bild
2.3.6) auf den ersten Blick stark von dem einer IT1−Übertragungsfunktion (Bild 2.3.2)
unterscheidet,
2.70

Lj ( ω)
50
0
-50
-100
ϕ Lj ( ω)
Grad
0
-100
-200
-300
10 -2
dB
l q
10 -1
10 -1
Betragskennlinie
10 0
Phasenkennlinie
Φr ca.40Grad 10 0
2.71
ω c
Gefälle ca. -27dB
Bild 2.3.6 : Bodediagramm eines offenen Regelkreises mit PT 3 −Verhalten
führt der mit (2.3.8) gebildete geschlossene Regelkreis
( )
( )
( )
( )
Y s L s 112
TYW ( s ) = = = (2.3.9)
W s 1 + L s 3 2
s + 13s + 32s + 132
auch auf eine Führungssprungantwort (siehe Bild 2.3.7) mit ähnlichem Verhalten wie die,
bei der ein offener Regelkreis mit IT 1 −Verhalten zugrunde gelegen hat (Bild 2.3.3).
Zwar unterscheiden sich beide Sprungantworten in der Schwingfrequenz und im
Regelkreis (2.3.9) tritt eine bleibende Regelabweichung auf. Aber auch seine
Sprungantwort (Bild 2.3.7) zeigt dennoch dominierendes PT 2 −Verhalten.
Dies ist darauf zurückzuführen, daß sich die Bodediagramme in Bild 2.3.2 und 2.3.6 an
einer wesentlichen Stelle nicht sehr stark unterscheiden: in der Nähe der Durchtritts-
frequenz ω c verlaufen die Betragskennlinien in beiden Fällen mit einem Gefälle zwischen
ca. 20 − 40 dB/Dekade, während sich an dieser Stelle ein Phasenrand von ca. 45°
einstellt.
10 1
10 1
10 2
10 2

1.2
y(t)
1
0.8
0.6
0.4
wt () = ∆wσ(); t ∆w=
1
0.2
0
0 2 4 6 8
t
sek.
10
Bild 2.3.7 : Führungssprungantwort eines Regelkreises dessen offener Regelkreis
PT 3 −Verhalten hat
Bei näherer Untersuchung dieser Zusammenhänge, z.B. mit noch anderen
Übertragungsfunktionen des offenen Kreises, gelangt man zu folgender Erkenntnis:
Fällt die Betragkennlinie der Übertragungsfunktion eines weitgehend beliebigen
offenen Regelkreises in der Umgebung der Durchtrittsfrequenz ω c mit ca. 20 − 40
dB/Dekade ab, wobei sich ein Phasenrand φ r zwischen ca. 30° und 70° einstellt, hat
die Führungssprungantwort des geschlossenen Kreises dominantes, gedämpft
schwingfähiges PT 2−Verhalten und es gelten in guter Näherung die Beziehungen
⎧69
° − 106°⋅M p für 0,05 ≤ M p < 0,25
φr≈ ⎨
⎩
62 ° − 76°⋅M p für 0,25 ≤ M p ≤ 0,45
ω ≈
c
1, 4 4
t
r
2.72
(2.3.10 a)
(2.3.10 b)
Mit Hilfe dieses Satzes gelingt es uns nun für weitgehend beliebige Regelkreise, Regelgüteforderungen
an die Führungssprungantwort (Mp, tr) in Forderungen an das Bodediagramm
des offenen Regelkreises (φr, ωc) umzurechnen.
Bevor wir im nächsten Kapitel zeigen, wie man mit Hilfe des Reglerfrequenzganges den
Frequenzgang des offenen Regelkreises im Bodediagramm so verformt, daß die Forderungen
an φr und ωc erfüllt werden, wollen wir uns noch einer abschließenden Betrachtung
des Bodediagramms des offenen Regelkreises zuwenden.
Offensichtlich charakterisiert der Bereich des Bodediagramms des offenen Kreises in der

Nähe der Durchtrittsfrequenz ω ≈ ωc maßgeblich das dynamische Verhalten des geschlossenen
Regelkreises. Auch die Bereiche ω > ωc sind Träger wichtiger
Informationen über das Verhalten des Regelkreises.
Der Amplituden− und Phasenverlauf in Bereich ω > ωc sollte die Betragkennlinie möglichst rasch abfallen, um
hochfrequente Störsignale zu unterdrücken. In diesem Frequenzbereich ist auch ein
anderer charakteristischer Kennwert des offenen Regelkreises definiert, der sog.
Amplitudenrand (Amplitudenreserve) Ar. 50
0
-50
-100
-150
-50
-100
-150
-200
-250
-300
Lj ( ω)
dB
1 Dekade
ϕlLj ( ω)
q
Grad
≈1Dekade
ω> ωc
Φ r
ω c
Bild 2.3.8 : Bodediagramm eines offenen Regelkreises mit den Kenngrößen Phasenrand Φr ,
Durchtrittsfrequenz ωc und Amplitudenrand Ar Als Amplitudenrand bezeichnet man den gekennzeichneten Abstand der unter der 0−dB-
2.73
A r
ω −180
ω
ω

Linie verlaufenden Betragskennlinie an der Stelle, wo die Phasenkennlinie die −180°−Linie
schneidet. Der Amplitudenrand Ar gibt an, um wieviel der Verstärkungsfaktor des offenen
Regelkreises erhöht werden kann, bevor der Kreis instabil wird. Wenn Ar groß ist, sinkt die
Gefahr der Instabilität bei z.B. schwankender Streckenverstärkung.
2.3.2 Reglerentwurf im Bodediagramm des offenen Regelkreises
Mit Hilfe der im vorigen Kapitel abgeleiteten Beziehungen (2.3.10a und b) können angestrebte
Regelgüteparameter Mp und tr der Führungssprungantwort in Forderungen an φr und ωc des Bodediagramms des offenen Kreises übersetzt werden.
Zur Regleroptimierung trägt man nun diese beiden angestrebten Kennwerte φr Soll und
ωc Soll in das noch leere Bodediagramm−Koordinatensystem ein. Wenn man nun das
Bodediagramm des gegebenen offenen Standard−Kreises, zunächst ohne Regler,
( ) ( ) ( )
∗
L j ω = G jω ⋅Gj ω
(2.3.11a)
S M
zeichnet, wird L∗(jω) i.a. nicht die angestrebte Durchtrittsfrequenz ωc Soll und auch nicht
den angestrebten Phasenrand φr Soll besitzen, sondern beliebige φr Ist und ωc Ist (siehe
das folgende Bild 2.3.9)
Ziel des Reglerentwurfes ist es nun, durch Auswahl eines entsprechenden Reglers und
Wahl seiner Parameter, die Kennlinien des Bodediagramms so zu "verbiegen", daß das
Bodediagramm des offenen Kreises mit Regler
( ω) ( ω) ⋅ ( ω) ⋅ ( ω)
L j = G j G j G j (2.3.11b)
R S M
mit seiner Betragkennlinie bei ωc Soll die 0−dB−Linie schneidet und sich dort der Phasenrand
φr Soll einstellt.
Gelingt dies, wird sich wegen der auch umgekehrten Gültigkeit der Beziehungen (2.3.10a
und b) eine Führungssprungantwort des geschlossenen Regel-kreises einstellen, die die
anfänglich an sie gestellten Regelgüteforderungen Mp und tr (in guter Näherung) erfüllt.
Gegenstand dieses Kapitels wird es sein, Entwurfsrichtlinien für die in Kapitel 2.1.4
eingeführten Standardreglertypen anzugeben, mit denen es gelingt, das Bodediagramm in
der oben erläuterten, angestrebten Art zu verformen.
2.74

Lj ( ω)
dB
50
0
-50
-100
-150
-200
-250
-300
l q
ϕ Lj ( ω)
Grad
-100
1Dekade
Betragskennlinie
Phasenkennlinie
Bild 2.3.9 : Bodediagramm eines offenen Regelkreises ohne Regler mit angestrebten Kennwerten
ω c Soll und φ r Soll
Zur Durchführung eines systematischen Reglerentwurfs wird wie folgt vorgegangen:
1. Zeichnung des Bodediagramms des offenen Regelkreises ohne Regler (L ∗(s)).
2. Wahl der Regelgüte-Parameter Anstiegszeit tr und Überschwingweite Mp:
Mp kann nur in einem Bereich 0 ≤ Mp ≤ 1 gewählt werden. In den meisten Fällen wird
die praktische Problemstellung die Wahl von Mp bestimmen. Im allgemeinen wird Mp
eher näher an Null als an Eins liegen
Bei der Festlegung von tr besteht theoretisch die Möglichkeit der Wahl 0 < tr < ∞ .
Sehr große tr sind sicherlich nicht anstrebenswert, weil sie das Regelkreisverhalten
unnötig langsam machen. Sehr kleine tr führen, wie wir noch sehen werden, zwar auf
sehr schnelle Regelkreise, erzeugen aber auch Probleme mit der Übersteuerung der
Stellgröße. Im ersten Ansatz sollte man sich daher bei der Wahl der Anstiegszeit tr an
der Anstiegszeit der Regelstrecke trStrecke orientieren:
( )
ϕ Lj ( ω)
t = 0,1...1 ⋅t
(2.3.12)
r r Strecke
*
∗
L ( jω)
ω cist
l q
Φ rist
dB
2.75
ω csoll
Φ rsoll

Bei global integral wirkenden Strecken kann die Anstiegszeit trStrecke der
differenzierten Sprungantwort entnommen werden.
3. Berechnung der Sollwerte von ωc und φr mit den Beziehungen (2.3.10a und b) und
Einzeichnung dieser Größen in das Bodediagramm.
4. Auswahl eines Reglers. Falls die Verwendung eines speziellen Reglers vom
praktischen Anwendungsfall her nicht vorgeschrieben ist, muß er mit Hilfe der
folgenden Ausführungen und der Zusatzbemerkungen am Ende dieses Kapitels
gewählt werden.
5. Optimierung der Reglerparameter mit Hilfe der folgenden Richtlinien. (Zum besseren
Verständnis der Entwurfsrichtlinien soll parallel zu ihrer Einführung an einem Beispiel
der Entwurfsvorgang demonstriert werden.)
Diesem Beispiel wird die Regelstrecke
Y(s) 1
G(s) = =
(2.3.13)
U(s) 4
s(s + 1)
und (der einfacheren Rechnung wegen) eine Meßgliedübertragungsfunktion GM(s) = 1
zugrunde gelegt. Damit wird L*(s) = GS(s). Die Regelstrecke hat folgende Sprungantwort (u(t) = σ(t); ∆u = 1):
50
40
30
20
10
0
0 10 20 30 40
Bild 2.3.10 : Sprungantwort der Regelstrecke (2.3.13)
2.76
50
t

Als Reglerergebnis wird angestrebt, daß die Führungssprungantwort
• eine Überschwingweite Mp = 0,2 und
• eine Anstiegszeit tr = 3 sek
hat. Aus diesen Regelgüteforderungen lassen sich folgende Forderungen an φr und ωc im
Bodediagramm des offenen Regelkreises berechnen (2.3.10a und b)
φ
ω
r p
c
= 69° − 106°⋅ M = 69 ° − 106°⋅ 0, 2 = 47, 8° ≈ 48° ( 2. 3. 14)
= 1, 44
tr
= 1, 44
3
= 0,48 1/ sek .
2.77
( 2315 . . )
Damit ergibt sich das im Bild 2.3.11 dargestellte Bodediagramm des offenen Regelkreises
ohne Regler.
60
40
20
0
−20
−40
0°
−100°
−200°
G S (jω )
dB
− 3 − 2 − 1 0 1
10 10 10 10 10
ϕ{G (jω )}
S
ω =0,48 1/sek
c
Φ =48°
r
−300°
10 10 10 10 10
− 3 − 2 − 1 0 1
Bild 2.3.11: Bodediagramm des offenen Regelkreises ohne Regler nach (2.3.13)
ω
−180°
ω

2.3.2.1 Entwurfsrichtlinien für P-, PI-, PD- und PID-Regler
• Regelung mit einem P−Regler (siehe Bild 2.3.13)
Da sich mit einem Proportional−Regler nur die Amplitudenkennlinie von L(jω) senken oder
anheben läßt und die Phase völlig unbeeinflußt bleibt, kann man mit einem P−Regler nur
eine Forderung − entweder die Durchtrittsfrequenz ωc oder den Phasenrand φr − realisieren.
Im Falle des vorliegenden Beispiels läßt sich sogar nur der Phasenrand φr = 48°
sinnvoll einstellen. Dazu muß die Betragskennlinie des offenen Regelkreises ohne Regler
|GS| dB an der Stelle, wo der Phasenrand φr = 48° wird, um den Betrag gesenkt werden,
den sie an dieser Stelle oberhalb von 0−dB verläuft. In unserem Beispiel sind dies −14 dB.
(Zur Erinnerung: der Phasenrand φr ist an der Stelle ω = ωc definiert, wo die Betragskennlinie
die 0−dB−Achse schneidet). Die Absenkung der Betragskennlinie wird mit Hilfe
des frei einstellbaren Reglerverstärkungsfaktors vorgenommen
Damit ist der P−Regler optimiert
− L( j0,19) −14
dB
V = 10 20 dB = 10 20 dB = 0,2 . (2.3.16)
R opt
( )
G s = V = 0,2 . (2.3.17)
Die Frequenzkennlinien des optimierten Reglers GR opt(s) und die der optimalen Übertragungsfunktion
des offenen Kreises mit P−Regler
sind in Bild 2.3.13a dargestellt.
1
L opt(s) = GR ( s) ⋅G s(s) = 0,2 ⋅
(2.3.18)
4
s1 s
2.78
( + )
Die in der Aufgabenstellung geforderte Durchtrittsfrequenz ωc = 0,48 1/sek ist für einen
P−Regler deshalb unsinnig, weil dort ein negativer Phasenrand entstehen und der
geschlossene Kreis damit instabil sein würde.
Da der eingestellte Phasenrand φr = 48° nun bei einer Durchtrittsfrequenz ωc = 0,19 1/sek
liegt, stellt sich zwar die geforderte Überschwingweite der Führungssprungantwort Mp =
0,2 ein. Die Anstiegszeit tr wird aber nach (2.3.10b) größer als gefordert:
144 , 144 ,
tr = = = 76 , sek >
3sek . ( 2319 . . )
ω 019 ,
c

Dies bestätigt auch die berechnete Führungssprungantwort in Bild 2.3.13b. Die
Stellgrößenamplitude u(t) erreicht einen Maximalwert von ca. 0,18.
• Regelung mit einem PI−Regler (siehe Bild 2.3.14)
Mit dem Verstärkungsfaktor eines PI−Reglers läßt sich, wie mit einem P−Regler, die
Betragskennlinie des Bodediagramms senken oder heben. Da die Phasenkennlinie
des PI−Reglers (vergleiche Kapitel 2.1.4) einen Bereich von −90° bis 0° überstreicht,
senkt sie die Phasenkennlinie des offenen Kreises ohne Regler bei kleinen
Frequenzen um zusätzliche −90° ab, während sie sie bei hohen Frequenzen nicht
verändert. Die Lage des Phasenüberganges des Reglers von −90° nach 0° auf der
ω−Achse wird von seiner Vorhaltzeitkonstante T bestimmt.
Weil ein PI−Regler auch keine echte phasenanhebende Wirkung (ϕ{G R } > 0) hat,
gelingt es beim aktuellen Beispiel auch nicht, bei ω c = 0,48 1/sek einen Phasenrand
von φ r = 48° einzustellen. Die höchste Frequenz ω bei der φ r = 48°eingestellt werden
kann, ist wie beim P−Regler ω c = 0,19. (Vergleiche Bild 2.3.14a). Um zu verhindern,
daß die Phase des Reglers die Phase des offenen Kreises ohne Regler an dieser
Stelle noch weiter absenkt und damit der Phasenrand φ r = 48° bei noch kleineren
Frequenzen entsteht (nach t r = 1,44/ω c wird damit die Anstiegszeit noch geringer),
muß bei ω c = 0,19 1/sek die Phase des PI−Reglers ungefähr Null sein. Dies ist
wegen des Phasenverlaufs des Reglers der Fall, wenn ω k des Reglers
⎛ s ⎞
V⎜1 + ⎟
V1 ( + sT)
k
GR ( s ) = =
⎝ ω ⎠
(2.3.20)
s s
ungefähr eine Dekade unterhalb der Frequenz angesetzt wird, wo der Phasenrand bei
der höchstmöglichen Frequenz entstehen soll
1 1
T = = (2.3.21)
ω 0,1⋅ω
k c
1
= = 52,6 sek . (2.3.22)
0,1⋅ 0,19
Wie man dem Phasendiagramm des PI−Reglers (Kapitel 2.1.4) entnehmen kann, senkt
man mit diesem Vorgehen die Phase aber dennoch zusätzlich um ca. −5° ab. Würde
man zur Vermeidung dieses Fehlers ω k des Reglers noch weiter verkleinern, wächst T
sehr stark an. Dies bedeutet eine Schwächung der integralen Wirkung des PI−Reglers,
was zu einer sehr langsamen Ausregelung des Regelfehlers führt ("anschleichen" der
2.79

Führungssprungantwort an seinen stationären Endwert). Optimiert man T daher nach
(2.3.21) und zeichnet das Bodediagramm von L(s) = G R(s).G S(s) zunächst mit einem
Reglerverstärkungsfaktor V = 1, erkennt man, daß V abschließend um −50,3 dB
gesenkt werden muß, um einen Phasenrand φ r = 48° entstehen zu lassen. φ r = 48°
entsteht wegen des gerade erläuterten Phasenfehlers bei ω c = 0,15. Damit ist der
PI−Regler optimiert
( + )
0,003 1 52,6s
GR opt(
s ) = . (2.3.23)
s
Die Frequenzkennlinien des optimierten Reglers G R opt(s) und der optimalen Über-
tragungsfunktion des offenen Kreises mit PI−Regler
sind in Bild 2.3.14a dargestellt.
( + )
0,003 1 52,6s 1
Lopt ( s ) = ⋅
(2.3.24)
s 4
s1 s
2.80
( + )
Anhand der berechneten Sprungantwort (Bild 2.3.14b) erkennt man deutlich, daß sich im
vorliegendem Fall die Regelgüte durch den Einsatz eines PI−Reglers gegenüber einem
P−Regler nicht verbessert. Sie wird sogar schlechter, da sich ω c gesenkt hat und damit die
Anstiegszeit (geringfügig) größer wird. Auch ist bereits der Anschleicheffekt der
Sprungantwort an den stationären Endwert deutlich zu erkennen.
Der Einsatz eines PI−Reglers ist also nur sinnvoll, wenn durch den I−Anteil ein stationärer
Regelfehler ausgeregelt werden muß, z.B. beim Vorliegen einer global proportionalen
Regelstrecke.
Es muß noch darauf hingewiesen werden, daß bei anderen Streckenverhältnissen, wo
z.B. die Phasenkennlinie beim angestrebten ω c oberhalb des gewünschten Phasenrandes
verläuft, die Erfüllung sowohl des angestrebten ω c− als auch φ r−Wertes möglich sind. ω k
des PI−Reglers wird dann nur soweit links neben ω c gelegt, bis die Phase des Reglers
plus die Phase des offenen Kreises ohne Regler das gewünschte φ r ergeben. V des
Reglers würde dann abschließend so eingestellt, daß die Betragskennlinie die
0−dB−Achse genau an dieser Stelle schneidet.
• Regelung mit einem PD−Regler (siehe Bild 2.3.15)
Im Gegensatz zu den vorangehend betrachteten Reglern hat der PD−Regler aufgrund
seiner differenzierenden Wirkung einen Phasengang, der bei kleinen Frequenzen bei 0°
beginnt, positive Werte annimmt, die im Extremfall bis +90° gehen und für große ω wieder

gegen 0° geht. Mit dem Reglerverstärkungsfaktor V läßt sich, wie auch bei den anderen
Reglern, die Betragskennlinie des Bodediagramms des offenen Regelkreises heben oder
senken. Die Höhe der oben angedeuteten Phasenanhebung ist abhängig vom Verhältnis
der Vorhaltzeitkonstante T und der Realisierungszeitkonstante TR der Übertragungsfunktion
des PD−Reglers
⎛ s ⎞
V⎜1 + ⎟
V1 ( + sT)
k
G s = =
⎝ ω ⎠
; T > T ⇒ m > 1 . (2.3.25)
( )
R R
1 + sT
s
R 1 +
m ⋅ωk
Auf dem Diagramm in Bild 2.3.12 ist diese Phasenanhebung in Abhängigkeit vom Verhältnis
der entsprechenden Kennfrequenzen ωk = 1/T und m.ωk = 1/TR dargestellt.
ϕ /Grad
Bild 2.3.12 : Phasenverläufe eines PD−Reglers in Abhängigkeit vom Verhältnis m
der Vorhaltzeitkonstante T zur Realisierungszeitkonstante T R
Man erkennt deutlich, daß mit wachsendem Verhältnis m = T/TR die Phasenanhebung
größer wird. Liegen z.B. T und TR eine Dekade auseinander (m = 10), ergibt sich ein
"Phasenbauch" mit einem Maximum von ϕ = +55°. Zur Erzielung einer Phasenanhebung
2.81
ω/ ωk

im Bodediagramm des offenen Kreises, stellt man zunächst die Höhe der gewünschten
Phasenanhebung fest. Dann sucht man sich in Bild 2.3.12 die Kurve aus, deren Maximal-
amplitude der gewünschten Phasenanhebung entspricht (ggf. interpolieren), merkt sich
den dazugehörigen Verhältnisfaktor m und liest den zur Maximalamplitude gehörende
Frequenzkennwert ω M ab. Laut Abszissenbeschriftung von Bild 2.3.12 ist dann
ω
ω
k
= ω [-] . (2.3.26)
M
Durch Einsetzen der Frequenz ω, wo real die Phasenanhebung stattfinden soll, erhält man
durch Umstellung von (2.3.26) eine Bestimmungsgleichung für den Reglerparameterω k =
1/T. Da i.a. die reale Phasenanhebung an der Stelle ω = ω c (nämlich dort wo der
gewünschte Phasenrand entstehen soll) vorgenommen wird, ergibt sich damit aus (2.3.26)
die folgende Bestimmungsgleichung für ω k
ω
ωk
= =
ω
M ω = ω
und daraus die Vorhaltzeitkonstante T des Reglers
T
=
1
ω
k
c
ω
ω
c
M
2.82
( 2327 . . )
. ( 2328 . . )
Mit dem sich gemerkten Verhältnisfaktor m berechnet man dann die Realisierungszeitkonstante
T R aus
T
R
= =
m
T 1
. ( 2329 . . )
⋅ω m
k
Mit Hilfe des Reglerverstärkungsfaktors V wird abschließend die Betragskennlinie von L(s)
so verschoben, daß sie beim gewünschten ω c die 0−dB−Linie schneidet. Mit einem
PD−Regler ist es also i.a. immer möglich, sowohl einen geforderten Phasenrand φ r als
auch eine geforderte Durchtrittsfrequenz ω c einzustellen.
Für unser Beispiel läuft dieser Optimierungsvorgang wie folgt ab. Zur Realisierung der
geforderten Durchtrittsfrequenz ω c = 0,48 1/sek und des Amplitudenrandes φ r = 48° wird
zunächst berechnet, um wieviel Grad die Phase des offenen Kreises ohne Regler ϕ{G S }
durch den Regler angehoben werden muß. Bei ω = 0,48 1/sek hat die Streckenphase
einen Wert von −192°. Um einen Phasenrand von 48° entstehen zu lassen, muß der
Regler die Phase an dieser Stelle um 48° + 12° = 60° anheben. Aus dem Phasendiagramm
in Bild 2.3.12 kann man dazu einen Verhältnisfaktor m ≈ 14 ablesen. Die Maximalamplitude
liegt bei ωM ≈ 3,8. Mit der gewünschten realen Lage dieses Phasenmaximums
bei ωc = 0,48 1/sek errechnet sich ωk des Reglers nach (2.3.27)

ω
k
ωc
0,48 1/ sek
= = = 0,126 1/ sek . (2.3.30)
ω 3,8
Damit werden nach (2.3.28) und (2.3.29)
M
1 1
T = = = 7,94 sek und
ω 0,126 1/ sek
k
T 7,94 sek
T R = = = 0,57 sek . (2.3.31)
m 14
Zeichnet man nun das Bodediagramm von L(s) = G R (s) . G S (s) zunächst mit einem Regler-
verstärkungsfaktor V = 1, erkennt man, daß V abschließend um −14,3 dB abgesenkt
werden muß, um ω c an der Stelle ω = 0,48 1/sek zu plazieren. Damit ist der PD−Regler
optimiert
( + )
0,193 1 7,94s
G ( s ) = . (2.3.32)
Ropt
1 + 0,57s
Die Frequenzkennlinien des optimierten Reglers G R opt (s) und der optimierten Übertra-
gungsfunktion des offenen Kreises
( + )
0,193 1 7,94s 1
L ( s ) = ⋅ . (2.3.33)
opt 1 + 0,57s 4
s1 + s
2.83
( )
sind in Bild 2.3.15a dargestellt.
Die Führungssprungantwort (Bild 2.3.15b) erfüllt sehr gut die geforderten Spezifikationen tr = 3 sek und Mp = 0,2. Wegen der relativ großen Schwingneigung kommt die Sprungantwort
erst bei t ≈ 50 sek zur Ruhe, die Ausregelzeit ist also ähnlich hoch wie beim P−
oder PI−Regler. Durch den D−Anteil im Regler wird auch die Maximalamplitude der
Stellgröße über zehnmal größer als beim P− und PI−Regler (Bild 2.3.15c).
• Regelung mit einem PID−Regler (siehe Bild 2.3.16)
Reicht die statische Genauigkeit eines PD−Reglers wegen des fehlenden I−Anteils zur
Ausregelung einer bleibenden Regelabweichung nicht aus, will man aber nicht auf die
phasenanhebende Wirkung eines D−Anteils zur Senkung der Anstiegszeit verzichten, muß
ein PID−Regler eingesetzt werden. Er kombiniert die Vorteile aller vorangehend
besprochenen Reglertypen. Für den Reglerentwurf wird der PID−Regler als eine
Reihenschaltung eines PI− und eines PD−Reglers aufgefaßt

s s
1 + 1 +
1 + sT 1 1 + sT 2 ω
G k1 ωk2
R ( s ) = V ⋅ = V ⋅
. (2.3.34)
s 1 + sT s
R s
1 +
����� �����
m ⋅ω
PI−Anteil PD− Anteil
Der PD−Anteil wird nach den vorangehend beschriebenen Entwurfsrichtlinien für
PD−Regler berechnet, wobei lediglich die Phase ca 5° höher angehoben wird, als dort
beschrieben. Der PI−Anteil wird so dimensioniert, daß
ωk1 = 0,1⋅ ωk2
( 2335 . . )
wird. Die geringe Phasenabsenkung, die dieser Anteil noch bei ω k2 hervorruft, wird durch
die weiter oben eingeführte zusätzliche Phasenanhebung um ca. 5° gerade kompensiert.
Damit sind die Kennfrequenzen und auch die Zeitkonstanten T 1, T 2 und T R bekannt. Mit
Hilfe des Verstärkungsfaktors wird abschließend die Betragkennlinie von L(s) so ver-
schoben, daß sie beim gewünschten ω c die 0−dB−Linie schneidet.
Dieser Optimierungsvorgang soll wieder anhand unseres Beispiels erläutert werden.
Die Forderung nach einem Phasenrand φ r = 48° wird mittels des PD−Anteils des Reglers
realisiert. Die notwendige Phasenanhebung bei ω c = 0,48 berechnet sich aus
Aus dem extrapolierten Phasendiagramm in Bild 2.3.12 liest man für eine Phasen-
überhöhung von 65° einen Verhältnisfaktor m ≈ 20 und für die Lage der Maximalamplitude
ω M ≈ 5 ab. Da dieses Phasenmaximum real bei ω c = 0,48 1/sek auftreten soll, wird mit
(2.3.27)
48 °
Gewünschter Phasenrand
ω
k2
und damit nach (2.3.28) und (2.3.29)
Verlauf der Phase des offenen Kreises
ohne Regler unterhalb von -180 Grad
ωc
0,48 1/ sek
= = = 0,096 1/ sek (2.3.36)
ω 5
M
12 °
5 °
+ + = 65 °
2.84
k2
Phasenüberhöhung zur Kompensation
der Überhöhung des PI-Anteils

1 1
T 2 = = = 10,42 sek und (2.3.37)
ω 0,096 1/ sek
k2
T2 10,42 sek
T R = = = 0,52 sek . (2.3.38)
m 20
Für den PI−Anteil muß noch ω k1 nach (2.3.21)
ωk1 = 0,1 ⋅ωk2= 0,1⋅0,096 1/ sek = 0,0096 1/ sek (2.3.39)
berechnet werden, woraus sich die Vorhaltzeitkonstante T 1 des PI−Anteils ergibt
1 1
T 1 = = = 104,2 sek . (2.3.40)
ω 0,0096 1/ sek
k1
Nach Zeichnung des Bodediagramms von L(s) = G R(s).G S(s), zunächst mit einem
Reglerverstärkungsfaktor V = 1, erkennt man, daß V abschließend um −57 dB abgesenkt
werden muß, um einen Phasenrand von 48° zu erzeugen. Obwohl der Phasenfehler des
PI−Anteils schon im Ansatz des PD−Anteils berücksichtigt wurde, verschiebt sich die
Durchtrittsfrequenz auf ca. ω c = 0,5 1/sek. Dies ist auch auf Ableseungenauigkeiten bei
der Bestimmung von m und ω M zurückzuführen. Damit ist der PID−Regler optimiert
R opt
( )
( + ) ⋅ ( + )
s1 ( + 0,52s)
0,0014 1 104,2s 1 10,4s
G s = . (2.3.41)
Die Frequenzkennlinien des optimierten Reglers G R opt(s) und der optimierten Übertra-
gungsfunktion des offenen Kreises
( )
( + ) ⋅ ( + )
⋅
s1 ( + 0,52s) s1 ( + s)
0,0014 1 104,2s 1 10,4s 1
L s = (2.3.42)
opt 4
sind in Bild 2.3.16a dargestellt.
An der Führungssprungantwort in Bild 2.3.16b erkennt man, daß die geforderten
Regelgütespezifikationen tr = 3 sek und Mp = 0,2 sehr gut erfüllt werden. Man sieht
weiterhin, daß gegenüber dem PD−Regler keine Verbesserung des dynamischen
Verhaltens erzielt werden konnte. Durch den I−Anteil ergibt sich wieder ein
„Anschleichen“ der Sprungantwort an den stationären Endwert. Auch hier ist der I−Anteil
des Reglers nur sinnvoll, wenn ein stationärer Regelfehler an einer global proportionalen
2.85

Regelstrecke hätte verhindert werden sollen. Wegen des im PID−Regler enthaltenen
D−Anteils ist die maximale Stellgrößenamplitude wiederum relativ hoch.
Beim PID−Regler liegt noch ein gewisser Variationsspielraum darin, das Phasenmaximum
des PD−Anteils mehr als 5° überzudimensionieren. Dadurch kann man ωk1 des PI−Anteils größer als 0,1.ωk2 wählen. Dies hat zur Folge, daß die Vorhaltzeitkonstante
T1 des PI−Anteils kleiner wird. Man erreicht dadurch bei gleichbleibenden φr und ωc eine schnellere Ausregelung der Regelabweichung, also eine Verringerung des
"Anschleicheffektes". Leider erkauft man sich diesen Vorteil durch eine noch höhere
Stellamplitude u(t).
Die vorangehend beschriebene Vorgehensweise zur Regleroptimierung macht relativ
deutlich klar, daß man diese Reglerentwurfsstrategie nicht als exakt bezeichnen kann.
Zunächst werden, basierend auf Näherungsbeziehungen, Regelgütekennwerte aus dem
Zeitbereich in Forderungen an das Bodediagramm des offenen Regelkreises umgerechnet.
Anschließend werden diese Forderungen mit zeichnerischen Methoden, also
relativ grob, im Bodediagramm realisiert, wobei man nicht immer die spezifizierten
Kennwerte exakt trifft. Es ist daher sicherlich sinnvoll, nach dem Reglerentwurf zu
überprüfen, ob die spezifizierten Regelgüteforderungen an Mp und tr von der Führungssprungantwort
erfüllt werden. Falls dies nicht der Fall ist, muß eine Korrektur
vorgenommen werden. Qualitative Korrekturanweisungen können aus den Beziehungen
(2.3.10a/b) abgeleitet werden:
wenn M p zu groß (klein) dann φ r vergrößern (verkleinern) (2.3.43a)
wenn t r zu langsam (schnell) dann ω c vergrößern (verkleinern). (2.3.43b)
Mit diesen Korrekturen kann ein neuer Regleroptimierungsvorgang im Bodediagramm
vorgenommen werden. Anhand mehrerer solcher Durchgänge (Realisieren, Kontrollieren,
Korrigieren) können die spezifizierten Werte Mp und tr relativ genau erreicht werden. In
Kapitel 2.3.2.3 wird eine Optimierungsstrategie, die auch die Einhaltung einer vorgegebenen
Stellgrößenschranke beinhaltet, vollständig angegeben.
Abschließend sei noch einmal darauf eingegangen, daß die Notwendigkeit zur Einführung
von Integralanteilen in den Regler bei den durchgerechneten Beispielen nicht sehr deutlich
geworden ist, da die gewählte Regelstrecke bereits global integrales Verhalten hatte.
Dadurch trat schon ohne I−Anteil im Regler keine bleibende Regelabweichung auf. Ein
I−Anteil im Regler macht i.a. den Regelvorgang langsamer, besonders deutlich macht sich
dies im Ausregelvorgang bemerkbar. Regler mit I−Anteil sollten daher nur gewählt werden,
wenn eine global proportionale Strecke vorliegt und eine durch sie hervorgerufene
bleibende Regelabweichung zu Null gemacht werden soll.
2.86

a)
60
40
20
0
−20
−40
0°
−100°
−200°
dB
ϕ / °
L opt
G R opt
G S
−300°
10 10 10
ω c=0,19
10
ω =0,48
10
b)
1,5
1
0,5
0,2
0,15
0,1
0,05
2.87
Φ r=
48°
14 dB
− 3 − 2 − 1 0 1
10 10 10 10 10
− 3 − 2 − 1 0 1
y(t)
0
0 20 40 60 80 100
0
u(t)
−0,05
0 20 40 60 80 100
c)
Bild 2.3.13 Beispiel zum Entwurf eines P−Reglers
a) Bodediagramme
b) Führungssprungantwort bei w(t) = σ(t) ; ∆w = 1
c) Stellgrößenverlauf bei w(t) = σ(t) ; ∆w = 1
ω
−180°
ω
t/sek
t/sek

a)
60
40
20
0
− 20
dB
− 40
10 10 10 10 10
0°
−100°
−200°
− 3 − 2 − 1 0 1
ϕ / °
L opt
ϕ{G }
S
G R opt
G S
ϕ{G }
R opt
ϕ{L }
opt
−300°
10 10 10
ω c =0,15
10
ω =0,48
10
b)
1,5
1
0,5
− 3 − 2 − 1 0 1
y(t)
u(t)
2.88
Φ = 48°
r
0
0 20 40 60 80 100
0,2
0,15
0,1
0,05
0
−0,05
t/sek
0 20 40 60 80 100
c)
Bild 2.3.14 : Beispiel zum Entwurf eines PI−Reglers
a) Bodediagramme
b) Führungssprungantwort bei w(t) = σ(t) ; ∆w = 1
c) Stellgrößenverlauf bei w(t) = σ(t) ; ∆w = 1
ω
−180°
t/sek
ω

a)
60
40
20
0
−20
dB
−40
10 10 10 10 10
100°
0°
−100°
−200°
− 3 − 2 − 1 0 1
ϕ / °
L opt
G R opt
ϕ{G }
R opt
G S
ϕ{L }
opt Φ = 48°
r
ϕ{G }
S
−300°
10 10 10 10
ω c =0,48
10
b)
c)
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
3
2
1
0
− 3 − 2 − 1 0 1
y(t)
0 20 40 60 80 100
u(t)
−1
0 20 40 60 80 100
Bild 2.3.15 : Beispiel zum Entwurf eines PD−Reglers
a) Bodediagramme
b) Führungssprungantwort bei w(t) = σ(t) ; ∆w = 1
c) Stellgrößenverlauf bei w(t) = σ(t) ; ∆w = 1
2.89
ω
ω
t/sek
t/sek

60
40
20
0
−20
dB
−40
10 10 10 10 10
100°
0°
−100°
−200°
− 3 − 2 − 1 0 1
ϕ / °
L opt
G R opt
ϕ{G }
R opt
G S
ϕ{L }
opt Φ = 48°
r
ϕ{G }
S
−300°
10 10 10
ω c =0,5
10 10
a)
y(t)
b)
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
− 3 − 2 − 1 0 1
0
0 20 40 60 80 100
3
2
1
0
u(t)
−1
0 20 40 60 80 100
c)
Bild 2.3.16 : Beispiel zum Entwurf eines PID−Reglers
a) Bodediagramme
b) Führungssprungantwort bei w(t) = σ(t) ; ∆w = 1
c) Stellgrößenverlauf bei w(t) = σ(t) ; ∆w = 1
2.90
t/sek
t/sek
ω
−180°
ω

2.3.2.2 Das Verfahren der Polkompensation
Die im vorangehenden Kapitel vorgestellte Regleroptimierungsmethode hatte das Ziel,
zwei Regelgütekennwerte, nämlich Mp und tr der Führungssprungantwort auf quantitativ
vorgegebene Werte zu bringen. Beschränkt man sich auf die quantitative Vorgabe der zu
erreichenden Überschwingweite Mp und verlangt lediglich qualitativ, daß der Regelvorgang
"möglichst schnell" wird, ohne dies genauer zu quantifizieren, kann man ein wesentlich
vereinfachtes Regleroptimierungsverfahren angeben.
Die Systemidentifikation /2/ einer Regelstrecke wird i.a. auf eine Übertragungsfunktion
führen, die mit einer oder mehreren Verzögerungszeitkonstanten behaftet ist, z.B.
10
G s = . (2.3.44)
S
( )
( 1 + 20s) ⋅ ( 1 + 10s) ⋅ ( 1 + s)
Verzögerungsglieder, insbesondere solche mit großen Zeitkonstanten, führen zu einem
schnellen Abknicken der Betragskennlinie der Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises
L(s). Dadurch entsteht die Durchtrittsfrequenz ωc der Betragskennlinie durch
0−dB−Linie bei relativ kleinen Frequenzen. Nach der umgestellten Beziehung (2.3.10b)
t r
≈ 144 ,
ω
c
2.91
( 2345 . . )
ergibt sich dann eine relativ große Anstiegszeit tr der Führungssprungantwort, d.h., der
Regelkreis folgt Führungsgrößen langsam und regelt Störgrößen langsam aus.
Da die Übertragungsfunktion des offenen Kreises
( ) ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( )
L s = G s G s G s (2.3.46)
R S M
aus einem Produkt von Regler−, Strecken− und Meßglied -Übertragungsfunktionen
besteht und PI−, PD− und PID−Regler Übertragungsfunktionen besitzen, in denen ein oder
mehrere Vorhaltglieder vorkommen:
����� ↓ ���↓�� V ⋅ ( 1 + sT) V ⋅ ( 1 + sT)
GR ( s ) = ; GR ( s ) = ;
s 1 + sT
��� ↓�� �����
↓
G
V ⋅ 1 + sT
s =
⋅ 1 + sT
, (2.3.47)
R
( )
( 1) ( 2)
s1 ( + sT)
R
R

liegt es nahe, die größten Streckenverzögerungszeitkonstanten ("Streckenpole") mit Hilfe
der frei wählbaren Vorhaltzeitkonstanten in den Reglern (2.3.47) aus L(s) herauszukürzen
(zu "kompensieren"). Damit knickt die Betragskennlinie des offenen Kreises nicht so früh
ab, ω c verschiebt sich zu höheren Frequenzen, t r sinkt und die Regelgeschwindigkeit des
geschlossenen Regelkreises wird schneller. Wir zeigen diese Zusammenhänge an
folgendem
Beispiel 2.3.2: Die Betragskennlinie der Beispielregelstrecke (2.3.44) hat folgenden
Verlauf:
G ( j ω )
S
dB
40
20
0
20
40
60
ω k =0,05
ω =0,1
k
0,1
ω =0,2
c
2.92
ω =1
k
Bild 2.3.17 Betragskennlinie der Regelstrecke (2.3.44)
Bildet man nun die Übertragungsfunktion des offenen Kreises mit einem PID−Regler
(GM (s) soll der einfacheren Rechnung wegen wieder gleich 1 gesetzt werden)
( )
( + 1) ⋅ ( + 2)
⋅
s( 1 + sT ) ( 1 + 20s) ⋅ ( 1 + 10s) ⋅ ( 1 + 1s)
V1 sT 1 sT 10
L s = (2.3.48)
R
und wählt die Vorhaltzeitkonstanten des Reglers gleich den größten Verzögerungszeitkonstanten
der Strecke
T = 20 ; T = 10 , ( 2. 3. 49)
1 2
kann man L(s) wie folgt kürzen
10 V
L( s ) = . (2.3.50)
s1 sT 1 s
( + ) ⋅ ( + )
R
TR muß nach den Vorschriften des Kapitels 2.1.4 nach folgender Beziehung gewählt
werden
10
ω

{ }
T < min T , T ⇒ T < 10 . (2.3.51)
R 1 2 R
Wir wählen daher T R = 2. (Auf eine etwas begründetere Wahl von T R bei diesem
Optimierungsverfahren gehen wir später ein). Den Reglerverstärkungsfaktor, der bekannt-
lich auch einen erheblichen Einfluß auf die Lage von ω c hat, wählen wir neutral V = 1.
Damit ergibt sich abschließend folgende Übertragungsfunktion des offenen Kreises
10
L( s ) = , (2.3.52)
s1 2s 1 s
( + ) ⋅ ( + )
die auf folgende Betragskennlinie des offenen Kreises führt
10
L( j ω)
= (2.3.53)
⎛ jω ⎞ ⎛ jω⎞
jω ⎜1 + ⋅ 1 +
0,5
⎟ ⎜
1
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
G ( j ω )
S
dB
40
20
0
20
40
60
0,1 10
ω c =1,5
2.93
ω =0,5
k
ω =1
k
Bild 2.3.18 : Betragskennlinie des offenen Kreises (2.3.53)
Vergleicht man nun Bild 2.3.17 mit Bild 2.3.18 erkennt man, daß in Folge der durch-
geführten Polkompensation (2.3.48) bis (2.3.50), trotz Einführung eines verlangsamenden
I−Anteils durch den PID−Regler, die Durchtrittsfrequenz fast um den Faktor 10 erhöht und
damit die Anstiegszeit um den Faktor 10 verkleinert werden konnte.
Es sei darauf hingewiesen, daß durch den Kürzungseffekt die Zeitkonstanten selbst-
verständlich nicht aus dem realen offenen Kreis herausfallen. Durch die identische Wahl
von Reglervorhalten und Streckenverzögerungszeitkonstanten wird der Stellgröße u(t)
eine Form aufgeprägt, die dem Gesamtübertragungssystem Regler/Strecke ein Über-
tragungsverhalten verleiht, welches den Eindruck vermittelt, als seien die Verzögerungs-
zeitkonstanten nicht mehr vorhanden.
ω

Basierend auf den vorangehenden Erkenntnissen kann man folgendes Reglerentwurfs−
verfahren mittels Polkompensation formulieren, wenn von der zu regelnden Strecke ein
mathe−matisches Modell in Form einer Übertragungsfunktion vorliegt:
1. Festlegung der anzustrebenden Überschwingweite M p der Führungssprungantwort.
2. Bildung der faktorisierten V−Normalform der Übertragungsfunktion des offenen Kreises
ohne Regler.
3. Wahl eines Reglers. Wenn durch den praktischen Anwendungsfall kein bestimmter
Regler vorgeschrieben ist, sollte man folgende Reglerstrukturen wählen:
• global integrale Strecke: P−Regler oder PD−Regler
• global proportionale Strecke: PI−Regler oder PID−Regler
Damit ist sichergestellt, daß sich in jedem Fall ein I−Anteil im offenen Kreis befindet,
wodurch der Regelkreis i.a. statisch genau arbeitet. Ob man nun jeweils den ersten
oder zweiten Reglertyp der obigen Empfehlung benutzt, hängt von den Forderungen an
die Regelgeschwindigkeit des zu entwerfenden Kreises ab. Mit dem zweiten Reglern
(solchen mit D-Anteil) sind bei der Polkompensation i.a. schnellere Anstiegszeiten zu
erwarten. An dieser Stelle muß man sich aber wieder vor Augen führen, daß der erzielte
Zuwachs an Regelgeschwindigkeit mit einer größeren Stellamplitude erkauft werden
muß.
4. Aufschreiben der Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises in V−Normalform und
Durchführung der Polkompensation, d.h. Wahl der Reglervorhalte so groß, wie die
größte(n) Streckenzeitkonstanten und Kürzung dieser Ausdrücke. Damit sind die
Zählerzeitkonstanten des Reglers bekannt und die Anstiegszeit t r der Führungssprung-
antwort wird als optimiert betrachtet. Zur Dimensionierung der Realisierungszeit-
konstante T R beim PD− und PID−Regler folgt man zunächst den Empfehlungen des
Kapitels 2.1.4 und wählt
T T und T min T , T . (2.3.54)
( ) < ( ) < { 1 2}
R PD R PID
Die genaue Festlegung von T R ist ein trial and error−Vorgang (siehe Kapitel 2.3.2.1),
wobei als Beurteilungsmaßstab die Amplitude der Stellgröße u(t) des geschlossenen
Regelkreises dient. T R kann verkleinert und damit der Regelkreis schneller gemacht
werden, wenn die Stellgrößenbeschränkung nicht überschritten wird. Wird die Maximal-
2.94

amplitude von u(t) zu groß, muß T R vergrößert werden. Damit sind alle Zeitkonstanten
des Reglers optimiert.
5. Zeichnung des Bodediagramms der gekürzten Übertragungsfunktion L(s) des offenen
Kreises. Der einzige noch unbekannte Parameter, der Reglerverstärkungsfaktor, wird
dabei V = 1 gesetzt (0 dB).
6. Berechnung des Phasenrandes φ r nach (2.3.10a) basierend auf der eingangs
geforderten Überschwingweite. Einzeichnung dieses Phasenrandes in das Bodedia−
gramm. Senkung oder Anhebung des Reglerverstärkungsfaktors, so daß ω c an der
Stelle entsteht, wo der gewünschte Phasenrand eingezeichnet ist. Nach Umrechnung
mit
ist auch der Reglerverstärker optimiert. Damit liegt die Reglerübertragungsfunktion in
faktorisierter V−Normalform vor.
7. Falls der einzusetzende Regler z.B. in Partialbruchform (vergleiche Kapitel 2.1.4)
gegeben ist, müssen noch die Reglerparameter umgerechnet werden.
Zur Verdeutlichung der Entwurfsrichtlinien mittels Polkompensation berechnen wir
folgendes
Beispiel 2.3.3: Eine Regelstrecke mit folgenden Strecken− und Meßgliedübertragungs-
funktionen
V
V dB
= 10 20 dB
( 2. 3. 55)
20 5
GS( s ) = ; GM( s ) = (2.3.56)
s + 0,5 ⋅ s + 2 s + 10
( ) ( )
soll mit einem PI−Regler zu einem Standard−Regelkreis verknüpft werden.
Bestimme mittels Polkompensation die Reglerparameter seiner Partialbruchform
⎛ 1 ⎞
GR( s ) = VR ⋅ ⎜1 + ⎟
(2.3.57)
sT
⎝ N ⎠
so, daß eine Überschwingweite der Führungssprungantwort M p = 0,2 entsteht. Wie groß
ist die sich ergebende Anstiegszeit der Führungssprungantwort?
2.95

Zunächst wird die Übertragungsfunktion des offenen Kreises ohne Regler in V−Normal-
form gebildet
20 5
⋅ ⋅
( ) ( )
GS s GM s =
0,5 1 + 2s 2 1 + 0,5s 10 1 + 0,1s
( ) ( ) ( )
10
= (2.3.58)
( 1 + 2s)( 1 + 0,5s)( 1 + 0,1s)
und dann die Übertragungsfunktion des offenen Kreises hingeschrieben
( )
V1 + sT 10
L( s ) = ⋅
. (2.3.59)
s 1 + 2s 1 + 0,5s 1 + 0,1s
( )( )( )
Da die größte Streckenverzögerungszeitkonstante T VZ = 2 ist, wird die Reglervorhalt-
zeitkonstante T = 2 gewählt. Nach der nun möglichen Kürzung ergibt sich ein
10 V
L( s ) = . (2.3.60)
s(1 + 0,5s)(1 + 0,1s)
Mit zunächst V = 1 und nach Umformung in die Polynomform
10
( ) 3 2
L s = (2.3.61)
0,05s + 0,6s + s
kann rechnergetützt das Bodediagramm von L(s) gezeichnet werden (siehe Bild 2.3.19).
Zur Optimierung des Reglerverstärkungsfaktors V wird anschließend der angestrebte
Phasenrand φ r berechnet
φr Mp
= 69° − 106°⋅ = 69° − 106°⋅ 0, 2 = 47, 8° ≈ 48° ( 2. 3. 62)
und in das Bodediagramm eingezeichnet. Um diesen Phasenrand entstehen zu lassen,
muß an dieser Stelle die Betragskennlinie durch die 0−dB−Achse gehen. Dies ist mit einer
Absenkung der Betragskennlinie um −15,5 dB möglich. D.h., der Reglerverstärkungsfaktor
V erhält einen Wert
V
dB
− 15dB
V = 1020dB = 10 20 dB = 0, 17. ( 2. 3. 63)
2.96

Bild 2.3.19 : Zur Optimierung des Reglerverstärkungsfaktors von (2.3.57)
Damit ist der Regler optimiert
( + ) ( + )
V1 sT 0,171 2s
GR ( s ) = = . (2.3.64)
s s
Da die Reglerparameter in der Partialbruchform gefordert sind, müssen sie mit den
entsprechenden Formeln aus Kapitel 2.1.4 umgerechnet werden
V = V⋅ T = 017 , ⋅ 2= 034 , ; T = T = 2.
Damit ist der Regleroptimierungsvorgang abgeschlossen.
Die noch zu bestimmende Anstiegszeit tr der Führungssprungantwort, kann einmal indirekt
mittels der Beziehung (2.3.10b)
t r
R N
144 , 144 ,
= = =
ω 137 ,
c
105 , ( 23 . . 65)
2.97

abgeschätzt oder direkt durch Ausmessung der Führungssprungantwort bestimmt werden.
Die Berechnung der Führungssprungantwort erlaubt darüberhinaus auch eine Kontrolle,
ob die angestrebte Überschwingweite M p = 0,2 zustande kommt. Zur Berechnung der
Führungssprungantwort muß die Führungsübertragungsfunktion berechnet werden, die für
den zu Grunde liegenden Standardregelkreis folgende Form hat
0,17 ⋅ 20
GR( s) ⋅ GS( s) s( 1 + 0,5s)
TYW ( s ) = =
1 + L ( s)
0,17 ⋅10
1 +
s 1 0,5s 1 0,1s
( )
( )( )
( + )( + )
3,4 1 + 0,1s 6,8s + 68
= = . (2.3.66)
s1 + 0,5s1 + 0,1s + 1,7 3 2
s + 12s + 20s + 34
Daraus wird das dazugehörige Zustandsmodell gebildet
• ⎡00−34⎤ ⎡68 ⎤
x t = 1 0 20 x t 6,8 w t
⎢
0 1 −12
⎥ ⎢
0
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
() ⎢ − ⎥ () + ⎢ ⎥ ()
() [ ] ()
y t = 0 0 1 x t ,
2.98
(2.3.67)
das nach einer Matlab-Simulation auf eine Erregung w(t) = σ(t) folgende Sprungantwort
liefert:
Bild 2.3.20 : Sprungantwort des mittels Polkompensation optimierten Regelkreises

Die Sprungantwort bestätigt die mit (2.3.65) berechnete Anstiegszeit mit t r ≈ 1. Die sich
ergebende Überschwingweite
M
p
1
043 , 043 ,
= ⇒ Mp
= =
2
2
ist vernachlässigbar größer als in der Aufgabenstellung gefordert.
Wichtige Ergänzungen zur Polkompensation
2.99
0, 215 ( 2. 3. 68)
• Besitzt eine Regelstrecke neben einer großen Verzögerungs-Zeitkonstante noch eine
Reihe kleiner Verzögerungs-Zeitkonstanten, z.B.
VS
G s = (2.3.69)
S
( )
( 1 + 5s )( 1 + 0,1s )( 1 + 0,05s )( 1 + 0,2s )
oder nur annähernd gleichwertige Zeitkonstanten
VS
G s = , (2.3.70)
S
( )
( 1 + 0,5s)( 1 + 0,7s)( 1 + 0,3s)
bildet man vor der Polkompensation häufig eine sog. Summenzeitkonstante:
(1+ 5s)(1+ 0,1s)(1+ 0,05s)(1+ 0,2s) ≈ (1+ 5s)(1+ 0,35s) (2.3.71)
(1+ 0,5s)(1+ 0,7s)(1+ 0,3s) ≈ (1+ 1,5s) (2.3.72)
und kompensiert diese mittels Reglervorhaltzeitkonstanten.
Dadurch wird die Antiegszeit der Führungssprungantwort i.a. schneller, allerdings
wächst auch die Stellamplitude und es kann bei extremer Überkompensation zu einer
nicht hinnehmbaren Verformung der Sprungantwort kommen. Die geschieht nicht,
solange sichergestellt ist, daß die Betragskennlinie des offenen Regelkreises mit ca.
20 − 40 dB in der Nähe der Durchtrittsfrequenz ωc abfällt, wobei ein Phasenrand von
ca. 30° − 70° entsteht (Satz 2.3.10).
• Wenn das Streckenmodell im Verhältnis zu seinen Verzögerungszeitkonstanten eine
wesentliche Totzeitkomponente besitzt, ist es sinnlos Verzögerungszeitkonstanten zu

kompensieren, weil dabei der wesentlich gravierendere Einfluß der Totzeit unbe-
rücksichtigt bleibt. In solchen Fällen muß die Entwurfsmethodik des Kapitels 2.3.2.1
angewendet werden.
• Auch bei der Regleroptimierung durch Polkompensation gelten die Voraussetzungen
zur Anwendung des Nyquist−Kriteriums. Der offene Kreis darf keine instabilen
Polstellen in der rechten s−Halbebene besitzen. Auch die Idee, einen instabilen
Streckenpol durch einen entsprechenden Reglervorhalt zu kompensieren, um dadurch
L(s) stabil zu machen
( )
V1 − sT VS V⋅VS L( s ) = ⋅
= , (2.3.73)
s 1 sT 1 sT s 1 sT
( − )( + ) ( + )
1 2 2
2.100
↑
T = T
führt auf einen instabilen Regelkreis. Da T und T 1 nie völlig identisch sind (z.B. durch
kleine Fehler in der Modellbildung), existiert die instabile Polstelle weiter und führt zu
einem instabilen Regelkreis.
• Die Kompensation großer Verzögerungszeitkonstanten kann zu erheblichen Stell−
größenamplituden führen.
• Bei niedrigen Streckenordnungen, z.B. PT1 oder IT1, kann das Polkompensations-
verfahren nicht direkt angewendet werden. Im folgenden sollen daher die drei
wichtigsten Fälle
- PD-Regler an IT1-Strecke,
- PI-Regler an PT1-Strecke und
- PI-Regler an IT1-Strecke.
näher untersucht werden. Die Meßeinrichtung wird dabei als proportional wirkend mit
VM=1 angenommen.
PD-Regler an IT1-Strecke
Die Übertragungsfunktion des offenen Kreises (Gleichung (2.3.74a)) zeigt, daß bei reiner
Polkompensation (T = TVZ) IT1-Verhalten des offenen Kreises vorliegt. TR des Reglers
könnte theoretisch beliebig klein gemacht und damit ein Phasenrand von 0° bis 90° bei
beliebig hohen Frequenzen erzeugt werden. Durch Erhöhung des Verstärkungsfaktors
würde die Durchtrittsfrequenz an diese Stelle verschoben werden.
1

V(1+ sT) Vs VVs
L(s) = ⋅ =
(2.3.74a)
1+ sT s(1+ sT ) s(1+ sT )
R vz R
14243 14243
PD−Regler IT −Strecke
1
↑
T = T
Kleine in der Strecke nicht mit modellierte parasitäre Zeitkonstanten könnten in diesem
Falle den Regelkreis schnell instabil machen.
Man wählt daher die Realisierungszeitkonstante des Reglers in der Größenordnung
VZ
TR≈ ( 005 , bis 05 , ) ⋅T.
( 2374 . . b)
PI-Regler an PT1-Strecke
Bei der direkten Polkompensation dieser Konfiguration
V(1+ sT) Vs VVs
L(s) = ⋅ =
(2.3.75)
s (1+ sT ) s
1
vz
14243 14243
PI−Regler PT −Strecke
↑
T = T
entsteht ein offener Kreis mit reinenm Integralverhalten, d.h. unabhängig von V bildet sich
ein Phasenrand von konstant 90° aus.
Um einerseits beliebige Phasenränder einstellen zu können und um andererseits
Instabilitäten auszuweichen, die wiederum durch parasitäre Zeitkonstanten entstehen
können, kann man eine Phasenausbuchtung von der -90°-Linie nach unten erzeugen,
indem man nicht T = TVZ sondern T < TVZ wählt. Mittels dieser Phasenausbuchtung
lassen sich beliebige Phasenränder 0° ≤ Φr ≤ 90° einstellen (vergleiche Bild 2.3.21).
Der Phasenbauch sinkt um so tiefer (womit eine Verkleinerung des Phasenrandes
einhergeht), je kleiner T gegenüber TVZ gewählt wird. Die Auswahl der
Zählerzeitkonstante T des Reglers sollte rechnergestützt vorgenommen werden. Zum
Beispiel könnte das noch zu beschreibende Matlab-Programm "polkomp.m" benutzt
werden.
VZ
2.101

Bild 2.3.21: Phasenrand im Bodediagramm des offenen Regelkreises
PI-Regler an IT1-Strecke
Nimmt man bei dieser Strecken-Regler-Konfiguration eine Kompensation T = TVZ vor,
V(1+ sT) V VV
L(s) = ⋅ =
(2.3.76)
s s(1+ sT ) s
14243 14243
1
s s
2
vz
↑
PI−Regler IT − Strecke T= T
VZ
wird der offenen Kreis zu einem Doppelintegrator, der einen strukturinstabilen Regelkreis
zur Folge hat. Das liegt daran, daß die Phase des offenen Kreises über den gesamten
Frequenzbereich bei -180° liegt und sich somit kein Phasenrand > 0 ausbilden kann.
Wählt man allerdings T > TVZ, überwiegt das Vorhaltverhalten und es ergibt sich ein
"Phasenbauch" von der -180°-Linie nach oben (vergleiche Bild 2.3.22 auf der folgenden
Seite).
{ L(j ) }
ϕ ω
Grad
-60
-80
-100
-120
-140
-160
-180
-200
Mittels dieses "Bauches" lassen sich wieder beliebige Phasenränder 0° ≤ Φr ≤ 90°
einstellen. Der Phasenbauch wird um so höher (und damit das Streben des
Phasenrandes nach 90°) je stärker T gegenüber TVZ wächst. Um unnötig große
Stellamplituden zu vermeiden, legt man den Phasenrand i.a. ins Maximum des
Phasenbauches.
10 -4
10 -2
Φr
Die Auswahl der Zählerzeitkonstante T des Reglers sollte auch hier rechnergestützt
vorgenommen werden. Zum Beispiel könnte auch noch zu beschreibende Matlab-
Programm "polkomp.m" benutzt werden.
10 0
2.102
10 2
10 4
ω
1/ sek.

{ L(j ) }
ϕ ω
Grad
-60
-80
-100
-120
-140
-160
-180
-200
10 -4
Bild 2.3.22: Phasenrand im Bodediagramm des offenen Regelkreises
Es sei daraufhin gewiesen, daß ähnliche Probleme auch bei Strecken höherer Ordnung
auftreten können und zwar immer dann, wenn sich zwei Integratoren im Kreis befinden.
Auch diese Probleme löst man durch Erzeugung eines Phasenbauchs nach Bild 2.3.22.
Im Anhang befindet sich ein Matlab-Programm mit dem Namen "polkomp.m“, mit dem sich
die vorangehend beschriebene Reglerentwursfmethode mittels Polkompensation für jede
beliebige Strecken- und Meßglied-Übertragungsfunktion durchführen läßt.
Um eine besseres Verständnis für den Entwurfsvorgang zu bekommen, arbeitet das
Programm nur halbautomatisch, einige Zwischenschritte des Entwurfs müssen von Hand
eingegeben werden.
10 -2
Die aufwendige Zeichnung der notwendigen Bodediagramme übernimmt das Programm.
Es arbeitet interaktiv und ist weitgehend selbsterklärend, darüber hinaus enthält es einen
ausführlichen Programmkommentar.
Φr
Das Programm meldet sich mit einem einführenden Text und fragt dann die Koeffizienten
des Zählers und Nenners der Übertragungsfunktionen von Strecke und Meßeinrichtung in
Polynomform ab und gibt dann die daraus errechnete Übertragungsfunktion des offenen
Kreises ohne Regler in V-Normalform aus.
10 0
Auf der Basis der dann verfügbaren Parameter des offenen Kreises ohne Regler
(Verstärkungsfaktor, Globalverhalten und Zeitkonstanten) kann nun ein Regler (P-, PD-,
PI-, PID-Regler) ausgewählt werden. Anschließend müssen die (Kompensations- bzw.
Realisierungs-) Zeitkonstanten des gewählten Reglers wie vorangehend beschrieben,
festgelegt und eingegeben werden, der Verstärkungsfaktor des Reglers wird auch hier
2.103
10 2
10 4
ω
1/ sek.

zunächt als V=1 angenommen. Anschließend wird er Omega-Bereich abgefragt, über
dem das Bodediagramm des offenen Regelkreise dargestellt werden soll. Nach dessen
Ausgabe kann geprüft werden, ob bei der vorgenommenen Wahl und Parametrierung des
Reglers, die Forderungen des Satzes (2.3.10) eingehalten werden.
Reglerauswahl, Parametrierung und Betrachtung des dazugehörigen Bodediagramms
können beliebig oft wiederholt werden. Entscheidet man sich für eine getroffene Wahl,
wird der gewünschte Phasenrand abgefragt (der sich bekanntlich aus der gewünschten
Überschwingweite der Führungssprung-Antwort berechnet).
Nach dessen Eingabe berechnet ein Algorithmus Phasenrandwerte und dazu gehörige
Verstärkungsmaße (in dB) des offenen Kreises in der Nähe dieses gewünschten
Phasenrandes. Auf der Basis dieser Werte kann nun ein Regler-Verstärkungsmaß (in dB)
festgelegt werden, das den Phasenrand einstellt, der am dichtesten am gewünschten liegt.
Achtung! Der Phasenrand stellt sich bekanntlich dort ein, wo die
Betragskennlinie die 0-dB Linie schneidet. Das heißt, es muß der negative Wert
des gewählten Verstärkungsmaßes des offenen Kreises als Regler-
verstärkungsmaß gewählt werden!
Nach Ausgabe des dann gültigen Phasenrandes und der Durchtrittsfrequenz kann auch
dieser Wahlvorgang beliebig oft wiederholt werden.
Entscheidet man sich für eine Wahl, wird mit dieser und den vorangehenden Festlegungen
die Führungs-Sprungantwort des Regelkreises und der dazugehörige Stellgrößenverlauf
berechnet und grafisch dargestellt. (Falls andere Erregungen als Einheitssprünge
gewünscht werden, muß das Programm geändert werden.)
Auf der dann ausgegebenen Grafik der Führungs-Sprungantwort und des Stellgrößenverlaufes
des Reglkreises kann überprüft werden, ob sich die gewünschte Überschwingweite
MP einstellt und wie groß die Anstiegszeit tr ist. Die Ordinatenmaßstäbe von Stellund
Regelgröße haben keine Aussagekraft, weil die Amplitude des Führungssprungs im
Programm polkomp willkürlich ∆w=1 festgelegt wurde.
Abschließend werden im Matlab-Command-Window die Koeffizienten der
Übertragungsfunktion des so optimierten Reglers in Polynom- und V-Normalform
ausgegeben.
Das Programm eignet sich hervorragend zur Überprüfung aller Aussagen, die im
vorangehenden Teil diese Kapitels gemacht wurden. Es ist so gestaltet, daß es die im
nächsten Kapitel beschriebene Regleroptimierungs-Strategie nachhaltig unterstützt.
Das Programm “polkomp.m“ benötigt das Function-Unterprogramm “tf2vn.m“ (Transfer
Function to V-Normalform).
2.104

2.3.2.3 Eine Regleroptimierungsstrategie
Die vorangegangenen Betrachtungen haben deutlich gemacht, daß der Reglerentwurf im
Bodediagramm des offenen Regelkreises durch seine Basis, die Näherungsbeziehungen
(2.3.10) und seine grafikgestützte Vorgehensweise, nicht völlig exakt ist. Solche "Trial-
and-Error"-Verfahren machen es notwendig, daß die Entwurfsergebnisse einer Kontrolle
unterworfen werden, bevor der Regelkreis praktisch in Betrieb genommen wird. In Bild
2.3.23 wird eine Vorgehensstrategie zur Regleroptimierung dargestellt, worin diese
Aspekte berücksichtigt werden. Insbesondere die Einhaltung einer Stellgrößenschranke
wird bei Benutzung dieses Ablaufplanes sichergestellt.
Eine zu große Stellamplitude wird häufig durch zu extreme Forderungen an die Regelgeschwindigkeit
(die durch tr spezifiziert wird) oder bei der Polkompensation durch Kompensation
sehr großer Zeitkonstanten hervorgerufen. Es ist daher einsichtig, daß bei
Stellgrößenübersteuerungen, die Ansprüche an die Regelgeschwindigkeit
zurückgeschraubt, d.h. tr größer spezifiziert werden muß. Ist dies aus praktischen
Gründen nicht möglich, muß das Stellglied modifiziert werden, z.B. mit größeren
Steuerenergien gearbeitet werden.
Auch ein zu groß gewählter I-Anteil im Regler (z.B. bei relativ klein gewähltem TN kann zu
einer langanhaltenden Stellgliedübersteuerung führen. Dieser Zustand wird in der
Fachliteratur "Reset-Windup" genannt. Durch eine sog. "Anti-Reset-Windup"-Schaltung,
die den I-Anteil im Regler bei Stellglied-Übersteuerung abschaltet, kann dieser Effekt leicht
vermieden werden. In Kapitel 4.6 wird auf diese Problematik noch einmal kurz
eingegangen.
2.3.3 Reglerentwurf mit der Wurzelortskurve
Obwohl der Reglerentwurf im Bodediagramm des offenen Regelkreises zur Bewältigung
vieler praktischer Regelungsaufgaben mit Erfolg herangezogen werden kann, müssen wir
uns im Folgenden noch kurz einer weiteren Reglerentwurfsmethoden zuwenden.
Die sehr leistungsfähige Wurzelortskurven−Methode soll in diesem Zusammenhang als
Alternative zum Reglerentwurf im Bodediagramm aufgefaßt werden, wenn dessen Anwendungsbedingungen,
wie sie in Satz (2.2.46/47) formuliert sind, nicht erfüllt sind. Dies
ist z.B. der Fall, wenn die Regelstrecke durch eine Übertragungsfunktion beschrieben ist,
die Pole in der rechten s−Halbebene besitzt. Eine solchermaßen instabile Regelstrecke
ist z.B. ein ferromagnetischer Körper, der in einem Magnetfeld im Schwebezustand
gehalten werden soll (Magnetschwebebahn) oder ein Hubschrauber als Lageregelstrecke.
Für solche nicht mit der Phasenrandmethode im Bodediagramm optimierbaren
Regelkreise wird gern die Wurzelortskurven−Methode herangezogen.
2.105

Start
Spezifizierung (Festlegung) der Regelgüteparameter
M p , t r und e(∞) an der Führungssprungantwort.
Festlegung der Stellgrößenschranke |u(t) max |
Auswahl eines Reglers unter den
Gesichtspunkten:
• bleibende Regelabweichung (Kap. 2.2.5)
• Phasenverlauf (Kap. 2.3.2.1)
• Anzahl der Vorhalte (Kap. 2.3.2.2)
Transformation der Regelgüteforderungen an
M p und t r in Forderungen an das Bodedia
gramm des offenen Regelkreises φ r und ω c
Realisierung des geforderten Bodediagrammverlaufes
durch Wahl geeigneter Reglerparameter
nach den Richtlinien der
Kapitel 2.3.2.1 oder 2.3.2.2
Kontrolle des Enrwurfsergebnisses durch Berechnung
von Führungssprungantwort, Störsprungantwort,
Stellgrößenverlauf und bleibender
Regelabweichung des geschlossenen Kreises
nach Kapitel 2.2
Werden die
Forderungen an
M p und t r
erfüllt
ja
Werden die
Randbedingungen
e(∞) und |u(t) max |
erfüllt
ja
Reglerentwurf
beendet
nein
nein
Korrektur von M p und t r durch Wahl
anderer φ r und ω c auf der Basis der
Regeln 2.3.43
Bild 2.3.23 Eine Reglerentwurfsstrategie im Bodediagramm des offenen Regelkreises
2.106

In Kapitel 2.3.2 ist es uns gelungen, das Nyquist−Stabilitätskriterium zu einem leistungs-
fähigen Reglerentwurfsverfahren zu erweitern. Durch Sicherstellung der Forderungen in
Satz (2.3.10) entstand immer näherungsweise ein Regelkreis mit gedämpft schwingendem
PT2−Führungsverhalten. Diese Tatsache erlaubte es uns, Regelgüteforderungen aus
dem Zeitbereich (Mp, tr) an Forderungen im Frequenzbereich φr, ωc umzurechnen.
Auch das Pollage−Stabilitätskriterium (2.2.44) erlaubt neben der reinen Stabilitätsprüfung
(alle Polstellen einer beliebigen Übertragungsfunktion TXX(s) des geschlossenen Regelkreises
müssen in der linken s−Halbebene liegen) die Einstellung gewisser Regelgüteforderungen
durch Plazierung der Polstellen an bestimmte Stellen der s−Ebene.
Um diese Zusammenhänge begreifen zu können, müssen wir zwei Fragen beantworten.
a) Welches dynamische Verhalten wird durch welche Polstellenlage hervorgerufen,
und
b) wie kann man eine als gut erkannte Polstellenlage herbeiführen, d.h. mit dem
Reglerparametern einstellen?
Zur Beantwortung der Frage a) sind in den folgenden beiden Bildern, die zu bestimmten
Pollagen von Übertragungssystemen gehörenden Sprungantworten auf einen Einheitssprung
dargestellt. Zum Beispiel gehört die Pollage �
s12 , 1 j2
= − ±
zum Übertragungssystem
( )
( ) ( + − ) ⋅ ( + + )
Y s 5
G( s ) = =
U s s 1 j2 s 1 j2
5
= , (2.3.77)
2
s + 2s + 5
das auf ein Eingangsssignal u(t) = σ(t); ∆u = 1 mit der Sprungantwort � antwortet. (Die
Proportionalfaktoren in G(s) wurden so gewählt, daß sich immer ein stationärer Endwert
y(∞) = 1 einstellt, falls er existiert.)
2.107

1
1 1
2 3 4
2
100
0
0 5
0
0
5
1
0
0
5
0
0
5
5 6 2
7
1 1 1 1
0 0 0 0
0 5 0
5 0
5 0
5
Bild 2.3.24a : Zusammenhang zwischen konjugiert komplexen Pollagen
und dazugehörigen Sprungantworten
8 9 10 11
1 1
100
1
0 0 0
0
0 5 0
5 0
5 0
5
Bild 2.3.24b : Zusammenhang zwischen reellen Pollagen und dazugehörigen Sprungantworten
2.108

Dem Bild 2.3.24a ist zu entnehmen, daß Überschwingweite primär von der Entfernung der
komplexen Pole von der imaginären Achse abhängig ist. Je dichter (stabile) komplexe
Pole an der imaginären Achse liegen, um so höher werden die Überschwingweiten
(Sprungantwortreihe �, �, �, �). Die Anstiegszeit dagegen ist in erster Linie von der
Entfernung der komplexen Pole von der reellen Achse abhängig, sie verringert sich primär
mit wachsender Entfernung des Imaginärteils von der reellen Achse (Sprungantwortreihe
�, �, �, �).
Das Bild 2.3.24b macht deutlich, daß mit wachsender Entfernung einer (stabilen) reellen
Polstelle vom Ursprung die Anstiegszeit kürzer wird. Damit ist die eingangs unter a)
gestellte Frage beantwortet.
Anhand des Bildes 2.3.25 kann man nun deutlich zeigen, daß sich ein konjugiert
komplexer Pol nahe der imaginären Achse dominant auf das dynamische Führungsverhalten
eines Regelkreises auswirkt. Die durchgezogene Sprungantwort mit der Polkonfiguration
unterscheidet sich zumindest in den Güteparametern Überschwingweite und Anstiegszeit
nicht sehr stark von der gestrichelten Sprungantwort, der nur das dominante Polpaar
zu Grunde liegt.
s12 , = − 1± j2; s3= − 5; s4=
− 6
s12 , 1 j2
= − ±
Bild 2.3.25 : Zur Erläuterung der Dominanz eines konjugiert komplexen Polpaares
2.109

Diese Tatsache bietet einen Ansatz für eine Entwurfsvorschrift für Regelkreise in der
s−Ebene: ausgehend von den spezifizierten Regelgüteparametern M p und t r muß eine
Umrechnungsbeziehung gefunden werden, mit der diese Spezifikationen in die Lage eines
dominierenden Polpaares in der s−Ebene umgerechnet werden können. Nach /1/ wird die
Pollage eines solchen PT 2−Gliedes mit d < 1
durch
1
TYW ( s ) = (2.3.78)
2
1 + 2dTs + Ts
( )
d 1 2
s12
, = − ± j 1 − d
( 2. 3. 79)
T T
beschrieben, d.h. es muß eine Beziehung zwischen den Parametern (M p, t r) und (d,T)
gefunden werden. Da wir bei der Ableitung von Satz (2.3.10) von gleichen Grund-
überlegungen ausgegangen sind, können wir diese Beziehungen aus der Tabelle 2.3.1
ablesen.
Trägt man die Überschwingweite M p als Funktion des Dämpfungsfaktors d auf,
Bild 2.3.26 M p als Funktion von d bei einem PT 2 −Glied
kann man aus dieser Grafik den zu einer spezifizierten Überschwingweite gehörenden
Dämpfungsfaktor ablesen. Trägt man weiterhin das Verhältnis tr/T aus Tabelle 2.3.1 über
dem Dämpfungsfaktor d auf, kann man bei spezifiziertem tr und dem vorher berechneten d
die Zeitkonstante T berechnen.
2.110

Bild 2.3.27 : t r /T als Funktion von d bei einem PT 2 −Glied
Mit Hilfe dieser Grafiken und mit (2.3.79) lassen sich nun die Regelgütespezifikationen M p
und t r in Forderungen an die Pollage eines dominanten Polpaares in der s−Ebene
umrechnen.
Ziel des Reglerentwurfs muß es nun sein, mit Hilfe der Reglerparameter ein konjugiert
komplexes Polpaar der Nennerübertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises an
diese Stelle zu plazieren, wobei alle übrigen Pole in der linken s−Halbebene möglichst weit
links liegen sollten, um die Dominanz des Polpaares möglichst wenig zu beeinflussen.
Damit sind wir bei der eingangs gestellten Frage b), wie sich eine solche als gut erkannte
Polstellenlage herbeiführen läßt. Zu ihrer Beantwortung betrachten wir die
Führungsübertragungsfunktion eines Standard−Regelkreises
W(s)
-
Z R(s)
Z S(s)
K R KS
N (s)
N (s)
R
G (s)
R
2.111
K
S
G (s)
S
M
Z M(s)
N (s)
M
G (s)
M
Bild 2.3.28 : Ein Standard−Regelkreis
Z(s)
G (s)
Z
Y(s)

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
ZR s ZS s
K R ⋅K
S
Y( s) NR s NS s
TYW ( s ) = =
W( s)
Z s Z s Z s
1 + K K K
N s N s N s
=
R
R
⋅ S
S
⋅ M
M
R S M
2.112
( )
( )
( ) ⋅ ( )
( ) ⋅ ( )
( ) ⋅ ( ) ⋅ ( )
( ) ⋅ ( ) ⋅ ( )
Z s Z s
R S
KR ⋅K
S
NR s NS s
Z s Z s Z s
R S M
1 + KR ⋅KS ⋅K
M
NR s NS s NM s
KR ⋅KS ⋅ZR( s) ⋅ZS( s) ⋅NM(
s)
( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) + ⋅ ⋅ ⋅ ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( )
= , (2.3.80)
N s N s N s K K K Z s Z s Z s
R S M R S M R S M
dessen Polstellenlage (= Nullstellenlage der Nennerpolynoms) die Dynamik des
Führungsverhaltens bestimmt:
( ) ( ) ( )
( )
L L
( ) ( ) ( )
NR s ⋅NS s ⋅ NM s + KR ⋅KS ⋅KM ⋅ZR s ⋅ZS s ⋅ ZM s = 0 . (2.3.81a)
����������� ������� �����������
⋅
N s K
Z s
N ( s) + K ⋅ Z ( s) = 0. ( 2. 3. 81b)
L L
Durch Nullsetzen dieser sogenannten charakteristischen Gleichung, die das Zähler-, das
Nennerpolynom und einige Proportionalkonstanten des offenen Kreises enthält, erhält
man für ein festes K eine bestimmte Nullstellenlage. Es ist leicht einzusehen, daß sich mit
einer Veränderung von K, die Lösungen von (2.3.81) und damit die Nullstellenlagen in der
s−Ebene verändern.
Variiert man K schrittweise, beginnend bei K = 0, zu größeren Werten hin, berechnet
jeweils die dazugehörige Nullstellenlage, trägt diese in der s−Ebene auf und verbindet
zusammengehörige Nullstellen, erhält man eine Kurvenschar, die die Wanderungsbewegung
der Polstellen der Führungsübertragungsfunktion in Abhängigkeit des Reglerverstärkungsfaktors
deutlich macht.
Mit den vorangehenden Betrachtungen ist man dann in der Lage, eine deutliche Aussage
über das Stabilitäts− und Dynamikverhalten des Regelkreises in Abhängigkeit eines
varaiblen Faktor zu treffen.
Weil man die Nullstellen eines Polynoms auch als seine Wurzeln bezeichnet, nennt man
den entstehenden Graphen auch Wurzelortskurve (WOK). Zur Verdeutlichung dieser
Aussagen berechnen wir folgendes einfache
( )

Beispiel 2.3.4: Berechne die Wurzelortskurve des folgenden Regelkreises
W(s)
-
G (s) = K
R
2.113
1
G S(s) =
s(s + 1)
Bild 2.3.29 : Regelkreis für den eine WOK berechnet werden soll
Lösung: Nach (2.3.81) berechnet sich die Wurzelortskurve aus den Nullstellen der
charakteristischen Gleichung
( ) ⋅ ( )
N s + K Z s = 0 (2.3.82)
L L
wobei NL(s) und ZL(s) die Nenner− und Zählerübertragungsfunktionen des offenen Kreises
ZL( s) 1
L( s ) = K ⋅ = K ⋅
(2.3.83)
N s s s + 1
L
( ) ( )
mit ausgeklammertem K sind. Damit erhält die charakteristische Gleichung folgende Form
mit den Lösungen
( ) ( ) 2
N s + K Z s = s + s + K = 0 , (2.3.84)
L L
s12 , = − 05 , ± 025 , − K ,
womit sich bei der dargestellten K−Variation folgende Pollagen ergeben:
K s 1 s 2
0 −1 0
0,1 −0,887 −0,113
0,2 −0,724 −0,276
0,25 −0,5 −0,5
0,3 −0,5 + j0,224 −0,5 − j0,224
0,4 −0,5 + j0,378 −0,5 − j0,387
0,5 −0,5 + j0,5 −0,5 − j0,5
1 −0,5 + j0,876 −0,5 − j0,876
Tabelle 2.3.2 : Wurzelorte des Regelkreises nach Bild 2.3.27
In der s−Ebene aufgetragen, entsteht dann die folgende Wurzelortskurve:
Y(s)

Bild 2.3.30 : Wurzelortskurve des Regelkreises nach Bild 2.3.29
An der WOK erkennt man, daß von K = 0 bis K = 0,25 die charakteristische Gleichung
zwei reelle verschiedene Nullstellen besitzt. In diesem Bereich hat der Regelkreis aperio-
disches PT 2−Verhalten. Bei K = 0,25 entsteht eine reelle doppelte Nullstelle. Für K > 0,25
bilden sich konjugiert komplexe Polpaare, welche auf gedämpft schwingfähiges PT 2−Füh-
rungsverhalten des Regelkreises führen.
Leider lassen sich Polynome größer als dritter Ordnung nicht mehr analytisch berechnen,
so daß man bei der Zeichnung der WOK von Systemen höherer Ordnung auf andere
Konstruktionsregeln zurückgreifen muß.
• Eine Möglichkeit zur Konstruktion von Wurzelortskurven besteht darin, eine Reihe von
allgemeingültigen einfachen Regeln hinsichtlich der Symmetrie der Astanzahl der WOK,
der Austrittspunkte der Äste usw., wie sie z.B. in /5/ beschrieben werden, zu
berücksichtigen. Mit der auch in /5/ abgeleiteten sog. "Phasenbedingung" lassen sich
WOK zwar sehr mühsam und zeitraubend, aber jedoch sehr exakt von Hand zeichnen.
Unterstützt wird die Handzeichnung von WOK weiterhin durch Kataloge von WOK für
verschiedene Konfigurationen der zu lösenden charakteristische Gleichung (2.3.82).
• Eine zweite Möglichkeit zur Konstruktion von WOK besteht in der rechnergestützten,
numerischen Lösung der charakteristischen Gleichung und der grafischen Darstellung
der sich ergebenden Nullstellen. Zu diesem Zwecke stehen verschiedene Polynom-
2.114

faktorisierungs−Algorithmen zur Verfügung (z.B. das Verfahren nach BAIRSTOW oder
MULLER). Matlab stellt mit seinem Befehl "rlocus.m" (Root LOCUS = Wurzel Ort) einen
gebrauchsfertigen Befehl zur Zeichnung von Wurzelortskurven zur Verfügung. Der
Befehl geht von einer etwas modifizierten Beschreibung der charakteristischen
Gleichung (2.3.81) aus: dividiert man den Ausdruck
N ( s) + K⋅ Z ( s)
= 0.
L L
durch N L(s), erhält man auf die von "rlocus.m" benutzte Darstellung
ZL( s)
1+ K ⋅ = 0. ( 2. 3. 85)
N ( s)
L
Da es den Rahmen dieser Einführung in die Regelungstechnik sprengen würde, können
wir auf diese Konstruktionsvorschriften von WOK nicht näher eingehen.
Es muß jedoch betont werden, daß allein die Beherrschung der Konstruktionsregeln von
WOK noch nicht dazu befähigt, Regler zu entwerfen, die spezifizierte Forderungen an die
Regelgüte erfüllen. Nach den vorangegangenen Überlegungen wurden Forderungen an
die Überschwingweite und die Anstiegszeit der Führungssprungantwort auf die Lage eines
dominierenden Polpaares umgerechnet (Gleichung (2.3.79), Bilder 2.3.26 und 2.3.27). Um
die dominierende Wirkung dieses Polpaares nicht zu schwächen, sollten alle weiteren Pole
in der s−Ebene möglichst weit links liegen. Es ist leicht einzusehen, daß eine solche
Vielfalt an Entwurfszielen nicht nur mit der Variation des Faktors K, z.B. des Regler-
Proportionalfaktors in Gleichung (2.3.84), zu erreichen ist. In /5/ werden Hinweise dazu
gegeben, wie durch geschickte Plazierung von Reglerpolstellen und −Nullstellen die WOK
von vornherein schon so "verbogen" werden kann, daß sie in einer gewünschten Weise
durch die s−Ebene verläuft.
Es sei noch abschließend darauf hingewiesen, daß der Variationsparameter K nicht
zwangsläufig der Regler-Proportionalfaktor sein muß, sondern auch eine
Reglerzeitkonstante sein kann. Mit der Variation von Reglerzeitkonstanten können deren
Auswirkungen auf die Nullstellenlage des char. Polynoms untersucht werden. Nähere
Einzelheiten hierzu findet der Leser auch in /5/.
2.3.4 Ein Ausblick auf andere Regler-Entwurfsmethoden
Neben den beiden vorangehend beschriebenen und auch am häufigsten angewendeten
Regler-Optimierungsmethoden gibt es noch eine Reihe anderer Verfahren von denen nur
noch die sogenannten "Empirischen Einstellregeln" kurz besprochen werden sollen. Von
einer Reihe anderer Verfahren werden nur die Namen angegeben und auf die
2.115

entsprechende Literatur verwiesen:
• Regleroptimierung mittels Integral-Gütekriterien /5/,
• algebraische Reglerentwurfverfahren (Berechnung des Reglers G R(s) durch Vorgabe
des Verhaltens des geschlossenen Regelkreises T YW(s) oder T YZ(s)) /5/,
• das Verfahren des Betragsoptimums /6/,
• das Verfahren des symmetrischen Optimums /6/
Empirische Einstellregeln zur Optimierung von Regelkreisen sind das Ergebnis
umfangreicher Vermessungs− und Klassifizierungsarbeiten an simulierten Regelkreisen,
Strecken und Reglern. Ergebnisse dieser Arbeiten sind Faustformeln und Tabellen, mit
deren Hilfe man aus wenigen einfachen Messungen an der Regelstrecke bzw. am
geschlossenen Regelkreis auf günstige Reglereinstellwerte schließen kann.
Diese Einstellregeln werden häufig für Regleroptimierungen angewendet, wenn der
Aufwand für eine genaue Regelstreckenanalyse intellektuell, zeit− oder kostenmäßig zu
hoch ist.
Die im Folgenden gezeigten Einstellregeln beziehen sich auf folgende Reglertypen
( )
P − Regler : G s = V , (2.3.86)
R R
⎛ 1 ⎞
PI −Regler : GR( s ) = VR ⋅ ⎜1 + ⎟ , (2.3.87)
sT
2.116
⎝ N ⎠
⎛ 1 ⎞
PID −Regler : GR( s ) = VR ⋅ ⎜1 + + sT V⎟
. (2.3.88)
⎝ sTN
⎠
Da auch u.a. die nichtrealisierbare Form des PID−Reglers zugrunde gelegt wird (d.h. über
die Realisierungszeitkonstante T R wird keine Aussage gemacht), muß es sich bei den
Einstellregeln offensichtlich um relativ grobe Näherungsverfahren handeln. Über die zu
erwartende Regelgüte wird z.T. auch keine Aussage getroffen.
Die bekanntesten Einstellregeln sind die von ZIEGLER/NICHOLS. Zur Nutzung dieser
Regeln muß der zu optimierende Regelkreis gerätetechnisch vorhanden sein. Der Regler
wird zunächst so eingestellt, daß er als P−Regler wirkt, dazu werden ggf. T v → 0 und
T N → ∞ parametriert. Durch Variation von V R wird der Regelkreis dann so eingestellt, daß
seine Signale (e(t), u(t), y(t)) Dauerschwingungen mit konstanter Amplitude ausführen
(Betrieb des Regelkreises an der Stabilitätsgrenze). Die Periodendauer dieser Schwingung
sowie der Verstärkungsfaktor, bei dem die Dauerschwingungen auftreten, werden als T krit
und V R krit protokolliert. Mit diesen beiden Größen können dann aus der folgenden Tabelle

die nach ZIEGLER/NICHOLS optimalen Reglereinstellwerte entnommen werden:
Reglertyp V R T N T v
P 0,5 . V R krit − −
PI 0,45 . V R krit 0,85 . T krit −
PID 0,6 . V R krit 0,5 . T krit 0,12 . T krit
Tabelle 2.3.3 : Reglereinstellwerte nach ZIEGLER/NICHOLS
Der entscheidende Nachteil dieses Verfahrens liegt darin, daß sich die wenigsten Regel-
kreise problem− und gefahrlos an der Stabilitätsgrenze betreiben lassen und bei Dauer-
schwingungsbetrieb häufig Bauglieder des Kreises, z.B. die Stelleinrichtung, übersteuert
werden. Übersteuerungsfreiheit ist aber Voraussetzung für eine nutzbare Messung von V R
krit und T krit. Wesentlich praktikabler dagegen sind die Einstellregeln von
CHIEN/HRONES/RESWICK (CHR). Sie können allerdings nur angewendet werden, wenn
die Regelstrecke aperiodisches PT n− oder PT nT t−Verhalten hat. Zur Anwendung der
Einstellregeln von CHIEN/HRONES/RESWICK muß die Sprungantwort des offenen
Kreises ohne Regler gemessen und nach Konstruktion der Wendetangente in der
Sprungantwort gemäß Bild 2.3.31 ausgewertet werden.
Bild 2.3.31 : Auswertung einer Sprungantwort zur Regleroptimierung nach CHR
Unter Verwendung der ermittelten Kenndaten der Regelstrecke
( )
∗ ∗ ∆y∞ T t , T VZ und V S = (2.3.89)
∆u
können dann mit Hilfe der folgenden Tabelle die Reglereinstellwerte berechnet werden:
2.117

Reglertyp
Aperiodisches Einschwingen
der Führungssprungantwort
2.118
Einschwingen der Führungssprungantwort
mit Mp = 0,2
Führung Störung Führung Störung
P : V R 0,3.K 0,3.K 0,7.K 0,7.K
PI :
V R
T N
V R
PID : T N
T V
0,35.K
1,2 . T ∗ VZ
0,6.K
1 . T ∗ VZ
*
05 ,
⋅ T t
K
=
TVZ / Tt
V
0,6.K 0,6.K
4 ⋅ T t *
1 . T ∗ VZ
0,95.K 0,95.K
∗ ∗
S
1,35 . T ∗ VZ
*
Tabelle 2.3.4 : Reglereinstellwerte nach CHIEN/HRONES/RESWICK
0,7.K
1,2.K
Wie man der Tabelle entnehmen kann, besteht die Wahlmöglichkeit zwischen einer
aperiodischen und einer gedämpft schwingenden Führungssprungantwort. Falls der Regelkreis
eine Folgeregelung darstellen soll, kann weiterhin die Spalte "Führung" gewählt
werden. Soll der Regelkreis primär Störungen ausregeln, muß die Spalte "Störung"
gewählt werden. Dabei ist eine Störung am Eingang oder nahe des Einganges der Strecke
zu Grunde gelegt. Greift die Störung am Ausgang der Strecke an, ist die Spalte "Führung"
zu benutzen.
*
24 , ⋅ Tt *
042 , ⋅ Tt 047 ,
⋅ T t
23 ,
2 ⋅ T t *
⋅ T t
*
*
042 , ⋅ Tt

3 Zeitdiskrete Regelkreise
Zeitdiskrete Regelkreise unterscheiden sich von kontinuierlichen Regelkreisen dadurch,
daß der Regler zeitdiskret in Form eines Digitalrechners mit einem implementierten
Regelalgorithmus in Form einer Differenzengleichung /1/ realisiert ist. Die restlichen
Bauelemente des Regelkreises sind i.a. kontinuierliche Übertragungsglieder.
Wie wir schon in /1/ erwähnt haben, setzen sich solchermaßen zeitdiskret realisierte
Regler, wegen ihrer Vorteile gegenüber in reiner Hardware realisierter Regler, zunehmend
durch.
Wir wollen uns in diesem Kapitel mit dem Aufbau, einigen Struktureigenschaften und
insbesondere mit der Optimierung zeitdiskreter Regelkreise auseinandersetzen.
3.1 Aufbau eines zeitdiskreten Regelkreises
Im /1/ wurde gezeigt, wie ein zeitdiskretes System in eine kontinuierliche Umgebung
eingefügt werden kann. Ist diese Umgebung ein Regelkreis, der bis auf den Regler aus
kontinuierlichen Systemelementen besteht, ergibt sich folgende Grundstruktur eines dann
als zeitdiskret bezeichneten Regelkreises:
w(t)
e(t) e(k) Digitalrechner mit u(k)
A/D
Regelalgorithmus
-
y (t)
M
3.1
D/A
u (t)
H
G S(s)
G (s)
M
Bild 3.1.1 : Ein Regelkreis mit zeitdiskretem Regler
z(t)
G (s)
Z
Die im folgenden Bild 3.1.2 gezeigte Regelkreisstruktur ist systemtheoretisch gleichwertig
mit der Anordnung nach Bild 3.1.1, hat aber den Vorteil, daß die Führungsgröße bereits
diskret (z.B. innerhalb des Digitalrechners) erzeugt werden kann.
y(t)

Bild 3.1.2 : Grundstruktur eines zeitdiskreten Regelkreises
Es ist wichtig an dieser Stelle hervorzuheben, daß alle realen und gedanklichen Tast-
vorgänge innerhalb des Regelkreises synchron verlaufen. Das heißt auch insbesondere,
daß das zum Tastzeitpunkt k vom Taster S 1 in den Regler übergehende Meßsignal vom
A/D-Wandler, Regler und D/A-Wandler verarbeitet und auch zum Tastzeitpunkt kT (nicht
zum Zeitpunkt (k +1)T ) wieder ausgegeben werden muß. Diese theoretische Forderung
ist selbstverständlich nicht realisierbar. Rechenzeiten von < 20 % der Abtastzeit sind tole-
rierbar. Größere Rechenzeiten können beim Reglerentwurf in Form einer Totzeit mit der
Dauer der Rechenzeit am Ausgang des Reglers berücksichtigt werden.
3.2 Struktureigenschaften zeitdiskreter Regelkreise
Zeitdiskrete Regelkreise mit einer Struktur nach Bild 3.1.2 haben kontinuierliche Ausgangssignale
y(t) bzw. Y(s). Wollte man dieses kontinuierliche Ausgangssignal als Funktion
eines zeitdiskreten Eingangssignals w(k) bzw. W(z) berechnen, müßte man mit der
sog. "erweiterten z−Transformation" /8/ arbeiten. Im allgemeinen reicht es aber aus, bei
Berechnungen nur die Regelgrößenwerte zu den Abtastzeitpunkten kT zu kennen, weil
man die Kurvenzwischenräume meist gut interpolieren kann (Vergleiche Bild 3.2.1).
Dies rechtfertigt die Einzeichnung eines fiktiven Schalters S2 in den Ausgang der Regelgröße.
Dadurch kann die Regelgröße als zeitdiskret angenommen werden. Dies erlaubt
ihre einfachere Berechnung mit zeitdiskreten Methoden.
Die Betrachtung der Regelgröße nur in den Abtastzeitpunkten könnte zu Fehlern führen,
wenn hochfrequente Signalanteile in y(t) vorhanden sind (Vergleiche Bild 3.2.2).
3.2

y
T
3.3
yk ( )
yt ( ) (interpoliert)
Bild 3.2.1 : Interpolation des Verlaufes von y(t) zwischen den Abtastzeitpunkten
y
T
t, kT
t, kT
Bild 3.2.2 : Fehlerhafte Interpolation bei hochfrequenten Anteilen in y(t)
Bei gut dimensionierten Regelkreisen dürfte ein solcher Effekt i.a. nicht auftreten. Wir
werden solche Verläufe beim späteren Reglerentwurf durch geeignete Wahl der Abtastzeit
verhindern.
Basierend auf diesen Grundlagen kann man folgende Übertragungsfunktionen des offenen
Regelkreises angeben:
( s) ⋅ G ( s)
z − 1 ⎪⎧GS M ⎪⎫
L ( z ) = GR ( z ) ⋅ Z ⎨ ⎬
(3.2.1)
z ⎪⎩ s ⎪⎭
(Da zwischen den beiden kontinuierlichen Gliedern G S(s) und G M(s) kein weiterer Ab-
taster liegt, d.h. kontinuierliche Signale ausgetauscht werden, müssen sie vor der z−Trans-
formation zusammengefaßt werden).
Mit Hilfe der Verknüpfungsgesetze für Übertragungsfunktionen läßt sich nun auch leicht
die Führungsübertragungsfunktion berechnen

z − 1 ⎧GSs ⎫
GR( z)
⋅ ⋅Z⎨ ⎬
Y( z)
z s
TYW ( z ) = =
⎩ ⎭
. (3.2.2)
W( z) z − 1 ⎧GS( s) ⋅ GM( s)
⎫
1 + GR ( z ) ⋅ ⋅Z⎨ ⎬
z ⎩ s ⎭
Zur Illustrierung der praktischen Anwendung dieser Beziehung berechnen wir folgendes
Beispiel 3.2.1: Der Regler des folgenden kontinuierlichen Regelkreises
G (s)
R
1
w(t) V
y(t)
s
3.4
G (s)
S
G (s)
M
Bild 3.2.3 : Ein kontinuierlicher Beispielkreis
soll zeitdiskret nach der Struktur des Bildes 3.1.2 realisiert werden. Berechne die
z−Übertragungsfunktion des offenen Kreises, die z−Führungsübertragungsfunktion und die
w t = σ t ; ∆ w = 1 . Der Reglerverstärkungsfaktor betrage V
Führungssprungantwort bei () ( )
= 1 und die Abtastzeit T = 0,5.
Zunächst zeichnen wir das Strukturbild der zeitdiskreten Realisierung:
W(z)
-
G (z)=V
R
Regler
D/A
A/D
1
G S(s)=
s
1
Z(s)
G (s)=1
Z
G (s)=1
M
Bild 3.2.4 : Zeitdiskrete Realisierung des Beispielkreises nach Bild 3.2.3
Nach (3.2.1) ergibt sich folgende Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises
( )
z(t)
Y(z)

z − 1 ⎧ 1 ⎫ z − 1
⎛
T ⋅z
⎞
VT 0,5
L ( z ) = V ⋅ Z ⎨ = V = = (3.2.3)
z 2 ⎬ ⋅ ⎜ ⎟
z 2
⎩s⎭ ⎜( z − 1)
⎟ z − 1 z − 1
⎝ ⎠
und nach (3.2.2) die Führungsübertragungsfunktion
z − 1 ⎧ 1 ⎫
V ⋅ ⋅Z VT
⎨ 2 ⎬
z s L( z)
TYW ( z ) =
⎩ ⎭
= = z − 1
z − 1 ⎧ 1 ⎫ 1 + L ( z ) VT
1 + V ⋅ ⋅Z⎨ 1 +
z 2 ⎬
⎩s⎭ z − 1
VT 0,5
= = . (3.2.4)
z + VT − 1 z − 0,5
( )
Zur Berechnung der Führungssprungantwort stehen uns nach /1/ zwei Verfahren zur
Verfügung, wir wählen das Verfahren zur analytischen Berechnung der Systemantwort:
( ) ( ) ( )
Y z = TYW z ⋅W z = ⋅
z 0,5 z 1
( )
( )( )
0,5 z
− −
Y z 0,5 1 1
= = −
z z − 0,5 z − 1 z − 1 z − 0,5
z z
k
Y ( z ) = − ⇒ y ( k ) = 1 − 0,5 . (3.2.5)
z − 1 z − 0,5
Bild 3.2.5 : Führungssprungantwort des zeitdiskreten Regelkreises nach Bild 3.2.4
3.5

Zur Berechnung des Einflusses von Störungen auf den Regelkreis müssen wir etwas
weiter ausholen. Bei der Berechnung der Führungsübertragungsfunktion war das Ein-
gangssignal W(z) zeitdiskret und durch Verzicht auf die Amplitudeninformation zwischen
den Abtastzeitpunkten auch die Regelgröße Y(z). Im Störungsfalle (vergleiche Bild 3.2.4)
wirkt das kontinuierliche Störsignal über das kontinuierliche Störfilter auf die Regelgröße
und auf einem zweiten Weg weiter über die kontinuierliche Meßübertragungsfunktion auf
den Regler zurück. In beiden Zweigen liegt verallgemeinert folgende Struktur vor
U(s)
G(s)
Um diese Anordnung im z−Bereich beschreiben zu können, muß zunächst Y(s) = G(s) . U(s) in
den Zeitbereich zurücktransformiert (L −1 ), zu den Abtastzeitpunkten abgetastet (t = kT)
3.6
Y(s)
und dann in den z−Bereich transformiert werden (Z):
{ { } }
−1
( ) ( ) ⋅ ( )
Y z = Z L G s U s .
(3.2.6)
Diese Beziehung haben wir in /1/ bereits kennengelernt und wie folgt abgekürzt
{ }
( ) Z ( ) ⋅ ( )
t=kT
Y z = G s U s , (3.2.7)
Mit einer Korrespondenztabelle konnte ein direkter Bezug zwischen Laplace− und
z−Bereich herstellt werden. Mit den aus Bild (3.1.2) ableitbaren Zusammenhängen läßt
sich nun eine Beziehung zwischen Y(z) und Z(s) herstellen:
∗
Z
{ }
Y(z) = Y (z) + Z(s) ⋅G
(s) (3.2.8)
Z
∗
z−1 ⎧G S(s)
⎫
Y (z) = G R(z)
⋅ Z ⎨ ⎬⋅E(z)
(3.2.9)
z ⎩ s ⎭
Y(z)
( Z { Z M }
)
E(z) = W(z) − Z(s) ⋅G (s) ⋅ G (s) + L(z) ⋅E(z)
(3.2.10)
Zunächst wird in (3.2.10) W(z) = 0 gesetzt, da wir das Führungverhalten nicht betrachten,
und anschließend nach E(z) aufgelöst
( )
E z =
und in (3.2.9) eingesetzt
Z
{ Z( s) GZ( s) GM( s)
}
1 + L ( z)
− ⋅ ⋅
.

3.7
( s)
z − 1 ⎧GS⎫ − GR( z ) ⋅ Z ⎨ ⎬⋅Z
{ Z( s) ⋅GZ( s) ⋅GM(
s)
}
z s
Y* ( z ) =
⎩ ⎭
.
1 + L z
Setzt man dieses Y*(z) in (3.2.8) ein und schreibt L(z) (3.2.1) aus
z − 1 ⎧GSs ⎫
GR( z ) ⋅ Z ⎨ ⎬⋅Z
{ Z( s) ⋅GZ( s) ⋅GM(
s)
}
z s
Y ( z ) = Z { Z( s) ⋅GZ( s ) } −
⎩ ⎭
,(3.2.11)
z − 1 ⎧GS( s) ⋅ GM( s)
⎫
1 + GR ( z ) ⋅ Z ⎨ ⎬
z ⎩ s ⎭
erhält man die gesuchte Beziehung zwischen der zeitdiskreten Regelgröße Y(z) und der
kontinuierlichen Störgröße Z(s). Eine Störungsübertragungsfunktion kann explizit nicht
hingeschrieben werden, da beide Größen in verschiedenen Bildbereichen beschrieben
werden.
Beispiel 3.2.2: Berechne für den in Beispiel 3.2.1 gegebenen zeitdiskreten Regelkreis
(Bild 3.2.4) die Störsprungantwort y(k) bei z(t) = σ(t); ∆z = 1.
Setzt man die gegebenen Werte in (3.2.11) ein, erhält man nach kurzer Rechnung die
Störsprungantwort
( )
z − 1 ⎧ 1 ⎫ ⎧1⎫ V ⋅ Z ⎨
1 z 2 ⎬⋅Z ⎨ ⎬
⎧ ⎫ s s
Y ( z ) = Z
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
⎨ ⎬ −
(3.2.12)
⎩s⎭ z − 1 ⎧ 1 ⎫
1 + V ⋅ Z ⎨
z 2 ⎬
⎩s⎭ T z
V ⋅ ⋅
z z VTz
Y( z ) = − z − 1 z − 1 = −
z − 1 T
1 + V ⋅
z − 1 z − 1 + VT z − 1
z − 1
( )
( )
2
( ) ( )
z
k k
Y ( z ) = ⇒ y( k ) = ( 1 − VT ) = 0,5 (3.2.13)
z − 1 − VT
und den dazugehörigen Graphen:

Bild 3.2.6 : Störsprungantwort des zeitdiskreten Regelkreises nach Bild 3.2.4
Es soll an dieser Stelle daraufhin gewiesen werden, daß diese relativ komplizierten
Rechnungen i.a. nicht analytisch, sondern numerisch durchgeführt werden. Leider erlaubt
Matlab selbst keine Berechnung gemischter kontinuierlicher und zeitdiskreter Regelkreis-
elemente. Kontinuierliche Regelkreiselemente müssen erst in zeitdiskrete gewandelt
werden, um anschließend die gewünschten Rechnungen am dann zeitdiskreten
Regelkreis vornehmen zu können. Die Matlab-Toolbox SIMULINK dagegen erlaubt die
Simulation von Regelkreisen mit gemischten Baukomponenten. Wir zeigen dies im
folgenden
Beispiel 3.2.3: Ermittele die vorangehend analytisch berechneten Führungs- und
Störungs-Sprungantworten des zeitdiskreten Regelkreises von Bild 3.2.4 unter den
gleichen Erregungsbedingungen unter Simulink.
Simulink benötigt keine Abtast- und Halteglieder. Diese befinden sich automatisch, nicht
explizit sichtbar in allen Simulationsblöcken aus der “Discrete” Library (z.B. auch in dem
häufig von uns genutzten “Discrete Transfer Fcn”-Block). Diese Blöcke entnehmen dem
vorangehenden Simulationsblock zum Abtstzeitpunkt T eine Signalamplitude (entspricht
dem Abtasten), verarbeiteten dieses Signal (entspricht der einmaligen Berechnung der
Differenzengleichung) und geben die Signalamplitude am Ausgang aus. Der Block hält
dann dieses Signal für die Dauer der Abtastzeit auf der berechneten Ausgangsamplitude
(entspricht dem Halten). Diese Funktionen werden ausgeführt, egal ob sich am Ein- oder
Ausgang des Blockes ein kontinuierlicher oder zeitdiskreter Simulationblock befinden.
(Damit ist die systetheoretische Struktur identisch mit der, wo sich explizit am Eingang ein
Abtast- und am Ausgang ein Halteglied befinden.)
3.8

Führungssprung
Vergleicher
+
1
-
1
zeitdiskreter
Regler
Störungssprung
1
s
kontinuierliche
Regelstrecke
1
1
Meßeinrichtung
3.9
+
Sum1
Bild 3.2.7 : Simulink-Simulationsstruktur des zeitdiskreten Regelkreises von Bild 3.2.4
Mux
Mux
Oszilloskop
Die Rechenschrittweite wurde mit dt = 0,01sek. gewählt. Im Gegensatz zur analytischen
Rechnung wurde der Störsprung zum Zeitpunkt t = 4sek. auf den stationären Endwert des
Führungsgrößen-Endwertes y(kT) = 1 aufgeschaltet. Neben der Regelgröße wurde auch
die treppenförmige Stellgröße uh(t) mit in die Grafik aufgenommen. Die Regelgrößenwerte
(gestrichelter Verlauf) zu den Abtastzeitpunkten wurden mit Nullen gekennzeichnet. Diese
Werte entsprechen denen der vorangegangenen analytischen Lösung.
Bild 3.2.8 : Simulink-Simulationsergebnis des Regelkreises nach Bild 3.2.4
nach einem Führungs- und Störungssprung
Abschließend soll in diesem Kapitel die Struktureigenschaft Stabilität eines zeitdiskreten
Regelkreises untersucht werden. Dazu betrachten wir zunächst den kontinuierlichen
Regelkreis aus Beispiel 3.2.1, Bild 3.2.3, aus dem der zeitdiskrete Regelkreis nach Bild

3.2.4 hervorgegangen ist. Anhand der Pollage der Führungsübertragungsfunktion des
kontinuierlichen Regelkreises
V
V
TYW ( s ) = s = (3.2.14)
V
1 +
s + V
s
s + V= 0 ⇒ s = −V
(3.2.15)
ist zu erkennen, daß die Pole der Übertragungsfunktion für alle Verstärkungsfaktoren
V > 0 in der linken s−Halbebene liegen, der Kreis also strukturstabil ist.
Realisiert man den Kreis mit einem zeitdiskreten Regler nach Bild 3.2.4, kann man aus
(3.2.4) die Pollage der Führungsübertragungsfunktion berechnen
z + ( VT − 1 ) = 0 . (3.2.16)
Bei Wahl eines Verstärkungsfaktors von z.B. V = 1 und Einsetzen verschiedener
Abtastzeiten T erhält man die in Bild 3.2.9 dargestellten Pollagen:
Bild 3.2.9 : Pollagen des zeitdiskreten Regelkreises nach Bild 3.2.4
bei verschiedenen Abtastzeiten T
Die Rechnung und die Grafik lassen deutlich erkennen, daß bei ungeschickter, i.a. zu
3.10

großer Wahl der Abtastzeit T, der zeitdiskrete Regelkreis instabil werden kann, obwohl
sein kontinuierliches Vorbild strukturstabil war.
3.3 Die Optimierung zeitdiskreter Regelkreise
Zur Optimierung kontinuierlicher Regelkreise hatten wir Methoden, die im Frequenzbereich
arbeiten, in den Mittelpunkt unserer Betrachtungen gestellt. Wegen der Periodizität des
Frequenzganges zeitdiskreter Systeme können diese Methoden nur mit erhöhtem
Aufwand auf zeitdiskrete Regelkreise übertragen werden. Wir werden daher in diesem
Kapitel kein spezielles Optimierungsverfahren bevorzugen, sondern einige praxisrelevante
Methoden für zeitdiskrete Regelkreise nebeneinanderstellen.
Zeitdiskrete Reglerentwurfsverfahren lassen sich wie in Bild 3.3.1 dargestellt klassifizieren:
transform.
Frequenzkennlinien
quasikontinuierlicher
Reglerentwurf
Reglerentwurf durch
Parameteroptimierung
Einstellregeln
Reglerentwurfsverfahren
für zeitdiskrete Regelkreise
zeitdiskreter
Reglerentwurf
Integralgütekriterien
3.11
Polvorgabe
Reglerentwurf durch
Strukturoptimierung
. . . . . .
Kompensationsregler
Bild 3.3.1 : Klassifizierung zeitdiskreter Reglerentwurfsverfahren
"dead−beat"−
Regler
Wir werden im Folgenden zunächst die Unterschiede zwischen dem quasikontinuierlichen
und zeitdiskreten Reglerentwurf herausarbeiten und den heute noch am häufigsten
angewendeten quasikontinuierlichen Reglerentwurf besprechen. Aus der Menge der
zeitdiskreten Reglerentwurfsverfahren werden wir einen Parameteroptimierungsentwurf,
die Methode der transformierten Frequenzkennlinien, und einen Strukturoptimierungsentwurf,
die Polvorgabe, besprechen. Hinsichtlich der anderen, in Bild 3.3.1 aufgeführten

Verfahren sei auf die Literatur /8, 9/ verwiesen.
3.3.1 Der quasikontinuierliche Reglerentwurf
Der quasikontinuierliche Reglerentwurf ist das zur Zeit am häufigsten angewendete
Entwurfsverfahren für zeitdiskrete Regler. Bei diesem Verfahren können nämlich weit-
gehend die Optimierungsmethoden für kontinuierliche PI−, PD− und PID−Regler, wie sie
im Kapitel 2.3.2 beschrieben wurden, übernommen werden.
Die Grundidee dieses Reglerentwurfs besteht darin, die Abtastzeit so klein zu wählen, daß
der Regler "quasi kontinuierlich" arbeitet. Dadurch wird der maßgebliche Einfluß des
Haltegliedes auf die Regelkreisdynamik fast bedeutungslos: die treppenförmige Stufung
des Halteglied−Ausgangsignals ist so gering, daß man von einem fast kontinuierlichen
Signal reden kann.
Basierend auf dieser Grundüberlegung hat sich folgende Entwurfsstrategie bewährt:
1. Entwurf eines kontinuierlichen P−, PI−, PD− oder PID−Reglers für die gegebene kontinuierliche
Regelstrecke nach den im Kapitel 2.3 vorgeschlagenen Methoden
(Reglerentwurf im Bodediagramm des offenen Kreises, Wurzelortskurve, Einstellregeln,
usw.).
2. Wahl einer Abtastzeit für den zeitdiskreten Regler. Um den Regler quasikontinuierlich
zu betreiben, muß die Abtastzeit so klein wie möglich gewählt werden. Dieser Forderung
steht aber die Tatsache entgegen, daß der Rechner, der A/D− und der
D/A−Wandler endliche Verarbeitungszeiten haben und damit die Wahl der Abtastzeit
nach unten beschränkt ist. Als geeignetes Maß zur Abschätzung der Abtastzeit T beim
quasikontinuierlichen Reglerentwurf hat sich folgende Beziehung bewährt
T
b
≤ 01⋅ f b =
f
1
ω
, ; , ( 331 . . )
2
b
π
wobei ωb die Bandbreite des Führungsfrequenzganges TYW(s) ist (vergleiche Bild
2.2.6). Man kann zeigen, daß die Bandbreite ωb des Führungsfrequenzganges ungefähr
gleich der Durchtrittsfrequenz ωc des Frequenzganges des offenen Kreises ist
ωc ≈ ωb
. ( 332 . . )
Da ω c i.a. aus dem Entwurfsschritt 1 bekannt ist, empfiehlt es sich, anstelle von (3.3.1)
3.12

die Beziehung
T
c
≤ 01⋅ f c =
f
1
ω
, ; ( 333 . . )
2
c
π
zu benutzen.
Die Dynamik des Haltegliedes kann näherungsweise durch Einfügung eines
Totzeitgliedes mit einer Totzeit von der Hälfte der Abtastzeit
H
( )
T
−s
2
G s ≈ e ; T : Abtastzeit (3.3.4)
am Ausgang des Reglers im Entwurfsschritt 1 mitberücksichtigt werden. Bei sehr
kleinen Abtastzeiten kann man aber darauf verzichten. (Zu der Näherungsbeziehung
(3.3.4) gelangt man /10/, wenn man das Bodediagramm eines Haltegliedes analysiert).
3. Berechnung der zeitdiskreten Differenzengleichung des im Entwurfsschritt 1 gewählten
und optimierten kontinuierlichen Reglers.
Mit der bekannten Abtastzeit T kann unter Zuhilfenahme einer der bekannten Diskretisierungstransformationen
( ) ( )
R R 2z−1 s= Tz+ 1
( )
z − 1 ⎧⎪GRs ⎫⎪
GR ( z ) = Z ⎨ ⎬ , (3.3.5)
z ⎪⎩ s ⎪⎭
G z = G s , (3.3.6)
die kontinuierliche Reglerübertragungsfunktion G R(s) zunächst in eine z−Übertra-
gungsfunktion G R(z) überführt werden. Anschließend wird diese in den
Regelalgorithmus in Form einer rekursiven Differenzengleichung
umgerechnet.
n n
( ) ∑−αi⋅( − ) + ∑βi⋅(
− )
uk = uk i ek i (3.3.7)
i= 1 i= 0
4. Überprüfung des Regelergebnisses durch eine Simulationsrechnung im Zeitbereich.
5. Implementierung des Regelalgorithmus (3.3.7) in den Digitalrechner-Regler. Inbetrieb-
nahme des Regelkreises.
Alle Vorgehensschritte werden auch von Matalb-Befehlen unterstützt, so z.B. die
3.13

Diskretisierung des Reglers durch den Befehl "c2d.m" und die Realisierung der
Differenzengleichung mittels "lsim.m". Der Schritt 4, die Simulationsrechnung, kann
wieder vorteilhaft mittels Simulink vorgenommen werden.
Wir wollen die Vorgehensschritte zum Entwurf eines quasikontinuierlichen Reglers an
Hand eines ausführlichen Beispiels illustrieren.
Beispiel 3.3.1: Eine Regelstrecke und eine Meßeinrichtung mit folgenden Übertragungsfunktionen
20 5
GS( s ) = ; GM( s ) = (3.3.8)
s + 0,5 s + 2 s + 10
( )( )
sollen mit einem zeitdiskreten PI−Regler (Regelalgorithmus im Digitalrechner mit Abtaster,
A/D− und D/A−Wandler) zu einem zeitdiskreten Standard−Regelkreis nach Bild 3.1.2
verknüpft werden. Berechnen Sie mittels Polkompensation einen quasikontinuierlichen
Regelalgorithmus, daß sich eine Überschwingweite der Führungssprungantwort Mp = 0,2
einstellt. Benutzen Sie zur Reglerdiskretisierung die TUSTINsche Näherung (3.3.6).
Zur Lösung der Aufgabe benutzen wir das vorangehend beschriebene Schema:
1. Der Entwurf des kontinuierlichen PI−Reglers wurde bereits in Beispiel 2.3.3 vorgenommen.
Dort wurde eine kontinuierliche Reglerübertagungsfunktion (2.3.64)
berechnet.
( )
0,17 1 + 2s
GR( s ) =
s
2. Zur Bestimmung der Abtastzeit wird die Beziehung (3.3.3) herangezogen. Die Durchtrittsfrequenz
ωc = 1,37 entnehmen wir dem Bodediagramm des offenen kontinuierlichen
Regelkreises in Bild (2.3.19) des Beispiels 2.3.3.:
ωc
1, 37
f c = = = 0,218
2 6,28
π
c
⇒
1 1
T ≤ 0,1 ⋅ = 0,1 ⋅
= 0,46 (3.3.9)
f 0,218
3.14

Wir wählen eine Abtastzeit T = 0,1, die die Bedingung T ≤ 0,46 erfüllt.
Zur Überprüfung, ob sich die Halteglied−Übertragungsfunktion (3.3.4) mit einer Totzeit
von T/2 = 0,05 in der Dynamik des Regelkreises bemerkbar macht, wird der Anteil ihrer
Phasendrehung bei ω c = 1,37 berechnet /1/:
⎧ T
⎪ −ω j ⎫
2 ⎪ −ω j 0,05 180
ϕ⎨e ⎬ = ϕ{ e } = − ⋅0,05 ⋅1,37 ≈ − 4 ° . (3.3.10)
⎪ ⎪
Π
⎩ ⎭
Obwohl der Einfluß gering ist, soll der Vollständigkeit halber ihr Einfluß berücksichtigt
werden. Die Übertragungsfunktion des offenen Kreises (2.3.60) erweitert sich dann um
den Totzeitterm
T
− s
2
e
10V
−0,05s
L( s ) = ⋅ e . (3.3.11)
s 1 0,5s 1 0,1s
( + )( + )
Mit wiederum zunächst V = 1 ergibt sich das Bodediagramm in folgenden Bild 3.3.2:
Bild 3.3.2 : Bodediagramm des offenen Regelkreises (3.2.11)
Im Vergleich mit Bild 2.3.19 sinkt durch diese Maßnahme die Durchtrittsfrequenz auf
ω c = 1,22 , auch der Reglerverstärkungsfaktor verringert sich auf
3.15

V
VdB
20dB
Dies bedeutet, daß durch Berücksichtigung des Totzeitterms der Regelkreis bei gleicher
Überschwingweite geringfügig langsamer wird.
Hätte man den Totzeitterm nicht berücksichtigt, wäre die Regelgeschwindigkeit (tr) gleich geblieben, aber die Überschwingweite hätte sich erhöht.
Bei größeren, als im vorliegenden Beispiel gewählten Abtastzeiten hätte dies zu
Stabilitätsproblemen führen können.
Mit (3.3.12) ergibt sich nun die kontinuierliche Reglerübertragungsfunktion zu
( + )
0,145 1 2s
GR ( s ) = . (3.3.13)
s
3. Berechnung der zeitdiskreten Differenzengleichung des Reglers (TUSTINsche
Näherung, T = 0,1):
⎛ 2 z − 1⎞
0,145⎜1 + 2 ⋅
0,1 z 1
⎟
GR ( z ) = GR ( s ) 2 z 1 =
⎝ + ⎠
−
(3.3.14)
s= ⋅ 2 z − 1
T z+ 1
⋅
0,1 z + 1
( )
( )
− 16, 8
= 10 = 10 20 = 0, 145. ( 3. 3. 12)
( ( ) )
( )
0,145 z + 1 + 40 z − 1 5,945z − 5,655
= =
20 z − 1 20z − 20
U z 0,2973 − 0,2828z
= =
E z −1
1 − z
u( k ) = u( k − 1 ) + 0,2973e( k ) − 0,2828e( k − 1 ) (3.3.15)
4. Implementiert man diese Differenzengleichung in den Regler und realisiert den
Regelkreis in der Struktur nach Bild 3.1.2, ergibt sich folgende mit Simulink simulierte
Führungssprungantwort auf einen Einheitssprung w(k) = σ(k):
3.16
−1
⇒

Bild 3.3.3 : Führungssprung eines Regelkreises mit kontinuierlicher Strecke (2.3.56)
und einem quasikontinuierlichen Regler (3.3.15)
Zunächst erkennt man durch die feine Stufung des Halteglied−Ausgangssignals u H(t)
das quasikontinuierliche Verhalten des zeitdiskreten Reglers. In einem Vergleich mit
Bild 2.3.20, das die Führungssprungantwort des gleichen Regelkreises mit einem
kontinuierlichen PI−Regler zeigt, wird deutlich, daß beide Regelergebnisse fast
identisch sind. Im Falle des zeitdiskreten Reglers wird die Anstiegszeit t r etwas
langsamer und die Überschwingweite erreicht einen Wert
M
1
p
048 ,
= ⇒ Mp
=
2
024 , ,
der auch dicht an den Wert der kontinuierlichen Realisierung herankommt.
3.17

3.3.2 Spezielle zeitdiskrete Entwurfsverfahren
Mit der Einführung dieser speziellen auf zeitdiskrete Regelkreise zugeschnittenen Entwurfsverfahren
für zeitdiskrete Regler verlassen wir den engen Bezug zu den kontinuierlichen
Systemen. Dies hat zur Folge, daß die bekannten Reglerentwurfsverfahren der
kontinuierlichen Regelungstechnik nicht oder nur modifiziert angewendet werden können.
Das weiter hinten kurz dargestellte sog. "dead−beat"−Entwurfsverfahren ist sogar nur bei
zeitdiskreten Regelkreisen möglich.
Der zeitdiskrete Reglerentwurfsansatz (vergleiche Bild 3.3.1) bedingt gegenüber dem
quasikontinuierlichen Reglerentwurf auch eine grundsätzlich andere Vorgehensweise:
Während beim quasikontinuierlichen Entwurf zunächst mit kontinuierlichen Methoden ein
kontinuierlicher Regler entwickelt und dieser erst im letzten Entwurfsschritt diskretisiert
wird, müssen bei den jetzt zu besprechenden Entwurfsverfahren zuerst die Modelle der
kontinuierlichen Übertragungsglieder des Regelkreises (GS (s), GM (s)) diskretisiert werden.
Auf der Basis dieser dann zeitdiskret vorliegenden Übertragungssysteme wird
anschließend ein zeitdiskreter Regler entworfen.
Der Diskretisierungsvorgang erfordert wieder die Wahl einer Abtastzeit T. In /10/ werden
dazu u.a. folgende Vorschläge gemacht:
• Bei Regelstrecken ohne dominierendes Totzeitverhalten wird die Abtastzeit
T
≤
π
ω max
3.18
( 3316 . . )
gewählt. Dabei ist ωmax , wie in /1/ begründet, die Frequenz, bei der die Betragskennlinie
des offenen Kreises ohne Regler auf ⏐L*(jω)⏐ ≈ 0,1 ... 0,01 sinkt:
Bild 3.3.4 : Zur Bestimmung der Größe ω max für (3.3.16)
• Bei Regelstrecken mit dominierender Totzeit werden die folgenden heuristischen Bemessungsregeln
für T vorgeschlagen /10/

( � )
∗
t
3.19
∗
Tt
∗
TVZ
∗
t
∗
VZ
T ≈ 1,2 0,35 T für 0,1 ≤ ≤ 1,0 , (3.3.18a)
∗
T
T ≈ ( 0,35 � 0,2) T t für 1 ≤ ≤ 10 . (3.3.18b)
T
Dabei gehen T * t und T* VZ aus der Streckensprungantwort hervor, die nach Bild 2.3.31
ausgewertet wird.
Die anschließende Wahl des Reglers ist davon abhängig, ob der Reglerentwurf mittels
Parameteroptimierung oder Strukturoptimierung erfolgen soll (vergleiche Bild 3.3.1). Beim
Reglerentwurf mittels Parameteroptimierung gibt man sich (nach ähnlichen Grundsätzen,
wie bei der Auswahl von Standard-Reglern des Typs P, PI, PD und PID) einen Regler
niedriger Ordnung (n ≤ 2) vor
Das Parameteroptimierungsverfahren (z.B. das Verfahren der transformierten Frequenzkennlinien)
gibt dann Vorgehensschritte zur Optimierung der Reglerparameter ri und pii an.
Beim Reglerentwurf durch Strukturoptimierung wird keine Reglerordnung vorgegeben. Das
Optimierungsverfahren selbst führt sowohl auf die Struktur (also die Ordnung) des Reglers
als auch auf seine optimalen Parameter.
3.3.2.1 Reglerentwurf mittels Parameteroptimierung: Das Verfahren der
transformierten Frequenzkennlinien
Wie wir in /1/ gesehen haben, besitzen zeitdiskrete Übertragungssysteme periodische
Frequenzgänge. Dieser Effekt verhindert es, daß man die Regleroptimierung im
Bodediagramm des offenen Regelkreises im zeitdiskreten Fall ohne Rechnerunterstützung
durchführen kann. Man kann nun aber zeigen, daß mit Hilfe der sog.
Bilinear−Transformation /8/
z
=
w T
w T
1 +
2 ; T: Abtastzeit , ( 3320 . . )
1 −
2

z−Übertragungsfunktionen in Übertragungsfunktionen mit der unabhängigen Variablen w
gewandelt werden können (Achtung: G(w) ist wieder ein kontinuierliches System!)
deren Frequenzgänge
G(w) = G(z) ; w = δ + j ω ; (3.3.21)
w
T
1+ w
z=
2
T
1−w 2
w=ω j
W
3.20
w w
G( j ω ) = G(w ) (3.3.22)
nicht mehr periodisch verlaufen, sondern weitgehend ähnlichen Charakter wie die uns
schon bekannten Frequenzkennlinien kontinuierlicher Übertragungssysteme haben. Die
Stabilitätseigenschaften von G(z) bleiben dabei erhalten.
Basierend auf dieser Tatsache werden folgende Vorgehensschritte zum Reglerentwurf
mittels transformierter Frequenzkennlinien empfohlen:
1. Nachdem die kontinuierliche Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises ohne
Regler mit Hilfe der Sprunginvarianz-Transformation in eine z−Übertragungsfunktion
L*(z) gewandelt wurde
( s) ⋅G
( s)
z − 1 ⎪⎧GS M ⎪⎫
L* ( z ) = Z ⎨ ⎬ ,
(3.3.23)
z ⎪⎩ s ⎪⎭
wird diese in eine w−Übertragungsfunktion umgerechnet
∗ ∗
L (w) = L (z) ; (3.3.24)
T
1+ w
z=
2
T
1−w 2
2. Von dieser w−Übertragungsfunktion wird der Frequenzgang gebildet
∗ ∗
ω w =
L (j ) L (w) (3.3.25)
w=ω j
W

sowie das Bodediagramm gezeichnet (unter Matlab das Bodediagramm eines
kontinuierlichen Systems!) und in Anlehnung an die bekannten Standard-
Reglerstrukturen mit einem der folgenden Regler
R
R
( )
G w = V : P − Regler (3.3.26a)
( )
( )
V 1 + wT
GR ( w ) =
w
: PI − Regler (3.3.26b)
V( 1 + wT)
GR ( w ) =
1 + wT
: PD − Regler (3.3.26c)
R
( 1)( 2)
w( 1 + wT )
V 1 + wT 1 + wT
G w = : PID − Regler (3.3.26d)
R
eine Regelkreisoptimierung nach den bekannten Methoden im Bodediagramm des
offenen Kreises vorgenommen.
3. Die optimierte w−Übertragungsfunktion des Reglers wird in den z−Bereich zurücktransformiert
G (z) = G (w) (3.3.27)
R R
2(z −1)
w = .
T(z+ 1)
Dabei muß die gleiche Abtastzeit verwendet werden, die der Transformation von L*(z)
(3.3.23) bzw. (3.3.24) zu Grunde gelegt wurde.
(An dieser Stelle erkennt man, daß die hier angewendete Bilinerar-Transformation bis
auf die Transformationsgebiete (z ⇔ w und s ⇔ z) identisch mit der in /1/ benutzten
Tustinschen Näherung ist. Diese Tatsache macht es möglich, den Matlab-Befehl
"d2c.m" mit der Parametrierung "tustin" zur numerischen Lösung von (3.3.24) und den
Befehl "c2d.m" auch mit der Parametrierung "tustin" zur Lösung von (3.3.27) zu
benutzen.)
4. Die z−Übertragungsfunktion GR (z) wird in eine Differenzengleichung umgerechnet.
Damit ist der Regelalgorithmus gefunden, der den zu Grunde liegenden Regelkreis
optimiert.
Zur Illustration der Vorgehensweise berechnen wir folgendes
3.21

Beispiel 3.3.2: Eine Regelstrecke und eine Meßeinrichtung mit folgenden Übertragungsfunktionen
10
GS( s ) = ; GM( s ) = 0,1 (3.3.28)
s1 + 10s
( )
sollen mit einem zeitdiskreten Regler zu einem Standard−Regelkreis verknüpft werden.
Berechnen Sie mit Hilfe der Methode der transformierten Frequenzkennlinien einen
PD−Regelalgorithmus. Der Regelkreis soll bei einer Überschwingweite von Mp = 0,2 eine
Anstiegszeit der Führungssprungantwort tr ≤ 4 haben. Die Abtastzeit sei mit T = 1
festgelegt.
Nach den vorangehend beschriebenen Vorgehensvorschriften wird zunächst die
Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises ohne Regler in den z−Bereich
transformiert
um sie anschließend mit
z − 1 ⎧⎪ 1 ⎫⎪ z − 1 ⎧⎪ 0,1 ⎫⎪
L* ( z ) = ⋅Z ⎨ =
z 2 ⎬ ⋅Z
⎨ 2 ⎬
⎪⎩s ( 1 + 10s) ⎪⎭ z ⎪⎩s ( s + 0,1)
⎪⎭
z
=
z − 1 ⎧ 1 10 10 ⎫
= ⋅Z⎨ − +
z 2
⎬
⎩ss s + 0,1⎭
=
z − 1
⎧
⎪ z 10z 10z
⎫
⎪
⋅⎨ − +
z 2
⎬
⎪( z − 1)
z − 1 z − 0,9048
⎩ ⎪⎭
0,0484( z + 0,9672)
( z − 1)( z − 0,9048)
= , (3.3.29)
1 + w T
2
1 w T
1 +
=
2
w
2
1 w
− −
2
in den w−Bereich zu transformieren
⎛2+ w ⎞
0,0484 ⋅ ⎜ + 0,9672
∗ ∗
2−w ⎟
L(w) = L(z) =
⎝ ⎠
2+ w
z= ⎛2+ w⎞ ⎛2+ w ⎞
2−w ⎜ ⋅ −0,9048
2−w ⎟ ⎜
2−w ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
2
2
3.22
+
−
w
w
( 3330 . . )

⎡ 2 ⎤
0,0484 ⋅ (2 + w)(2 − w) + 0,9672(2 − w)
=
⎣ ⎦
[ 2 + w −(2− w) ] ⋅ [ 2 + w − 0,9048(2 − w) ]
−3
2
−0,4⋅10 w − 0,04917w + 0,1
=
. (3.3.31)
2
w + 0,1w
Zur Berechnung des Bodediagramms von L*(jω w ) ziehen wir ein Matlab-Programm heran:
50
0
-50
-100
ϕ Lj ( ωw)
Grad
-50
-100
-150
ϕ Lj ( ωwc
)
-200
-250
-300
10 -2
Lj ( ωw
)
dB
l q
10 -1
l q =−174
10 -1
ωwc( soll)
,
= 036
10 0
10 0
3.23
10 1
10 1
Bild 3.3.5 : Transformierte Frequenzkennlinien L*(jω w ) des offenen
Regelkreises ohne Regler (3.3.31)
Aus den Regelgüteforderungen Mp = 0,2 und tr ≤ 4 können der einzustellende Phasenrand
φr Mp
und die Durchtrittsfrequenz ω wc
ω wc
= 69° − 106°⋅ = 69° − 106°⋅ 0, 2 = 48° ( 3. 3. 32)
144 , 144 ,
= = =
4
tr
ω
ω
10 2
10 2
036 , ( 3333 . . )

erechnet werden. Bei ωwc = 0,36 läßt sich eine Phase von −174° ablesen (Auf dem
dargestellten Bodediagramm allerdings nicht mit der hier angegebenen Genauigkeit. Diese
notwendige Feinheit kann nur durch numerische Auswertung des Bodediagramms erreicht
werden, z.B. nach den Prinzip, wie es im weiter vorn vorgestellten Programm "polkomp.m"
zur Auffindung der Verstärkung zu einem vorgegebenen Phasenrand benutzt wurde).
Um auf den geforderten Phasenrand von 48° zu gelangen, muß die Phase mit Hilfe des
Reglers um
48° − 6°
= 42 °
(3.3.34)
angehoben werden. (Die 6° müssen von den 48° abgezogen werden, da ϕ{L(jωwc )} bereits
6° oberhalb von −180°, nämlich bei −174° verläuft). Mit Hilfe der Entwurfsvorschriften für
einen PD−Regler in Kapitel 2.3.2.1 können nun die Reglerparameter bestimmt werden:
⎛ w ⎞
V⎜1 + ⎟
V1 ( + wT)
wk
GR ( w ) = =
⎝ ω ⎠
(3.3.35)
1 + wT
w
R 1 +
m ⋅ω
M
wk
3.24
wk
ωwc
0,36
ωwk = = = 0,164 ⇒
ω 2,2
1 1
T = = = 6,1 (3.3.36a)
ω 0,164
T 6,1
T R = = = 1,22 (3.3.36b)
m 5
(ω M = 2,2 und m = 5 wurden aus dem Diagramm in Bild 2.3.12 abgelesen).
Damit sind die Reglerparameter bis auf den Verstärkungsfaktor bestimmt.
( + )
V1 6,1w
GR ( w ) = (3.3.37)
1 + 1,22w
Mit V = 1 kann jetzt das Bodediagramm des offenen Regelkreises gezeichnet werden

3.25
2
1 + 6,1w −0,0004167w − 0,04917w + 0,1
L( w ) = ⋅
(3.3.38)
1 + 1,22w 2
w + 0,1w
3 2
−0,002541w − 0,30042w + 0,561w + 0,1
=
3 2
1, 22w + 1,122w + 0,1w
Bild 3.3.6 : Transformierte Frequenzkennlinie L(jω w ) des offenen Regelkreises
mit optimiertem T und T R des PD−Reglers
Man erkennt deutlich, daß sich bei ωwc = 0,36 ein Phasenrand von φr = 48° einstellt. Damit
der Phasenrand auch wirklich an dieser Stelle entsteht, muß im letzten Optimierungsschritt
die Betragskennlinie um −4,6 dB, was einem Verstärkungsfaktor V = 0,59 entspricht,
gesenkt werden. Damit erhalten wir die optimierte w−Übertragungsfunktion des
Reglers
( + )
0,59 1 6,1w
GR ( w ) = (3.3.39)
1 + 1,22w
Im dritten Vorgehensschritt wird die optimierte w−Übertragungsfunktion des Reglers
(3.3.39) mittels der inversen Bilinear-Transformation (3.3.27) in den z−Bereich
transformiert:

⎛ 2 z − 1⎞
0,59 ⎜1 + 6,1⋅ ⋅
1 z 1
⎟
GR( z ) = GR( w ) 2 z 1=
⎝ + ⎠
−
. (3.3.40)
w= ⋅ 2 z − 1
Tz+ 1 1 + 1,22 ⋅ ⋅
1 z + 1
Nach kurzer Zwischenrechnung erhält man folgende z−Übertragungsfunktion des
PD−Reglers
( )
( )
3.26
−1
Uz 2,264 − 1,921z
GR ( z ) = = , (3.3.41)
E z −1
1 − 0,4186z
woraus sich der nachstehende Regelalgorithmus (Differenzengleichung) berechnet
u( k ) = 0,4186 ⋅u( k − 1 ) + 2,264 ⋅e( k ) − 1,921⋅e( k − 1 ) . (3.3.42)
Nach Implementierung dieser Differenzengleichung in den Regler und Realisierung des
Regelkreises nach Bild 3.1.2 ergibt sich folgende Führungssprungantwort auf einen
Einheitssprung ω(k) = σ(k). (Simulation mit Simulink)
Bild 3.3.7 : Regelergebnis (Führungsverhalten) eines Regelkreises mit zeitdiskretem Regler
(Optimierung mittels transformierter Frequenzkennlinien)

Erwartungsgemäß stellt sich ein stationärer Endwert von y(∞) = 10 ein. Die Anstiegszeit
kann mit tr = 3,4 ausgemessen werden und erfüllt damit die anfangs gestellte Forderung
tr ≤ 4. Aus der Überschwinghöhe 12,3 läßt sich eine Überschwingweite
M
1
p
23 ,
= ⇒ Mp
=
10
3.27
023 ,
ablesen, die geringfügig von der Forderung M p = 0,2 abweicht.
3.3.2.2 Reglerentwurf mittels Strukturoptimierung: das Polvorgabeverfahren
Bei unseren Betrachtungen zur Wurzelortskurve haben wir gesehen (Bild 2.3.24), daß das
dynamische Verhalten eines Regelkreises maßgeblich von der Lage der Polstellen der
Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises (z.B. der Führungsübertragungsfunktion)
abhängig ist. Die gleiche Aussage gilt natürlich auch hinsichtlich der
Pollage zeitdiskreter Regelkreise. Mit Hilfe des Polvorgabe−Optimierungsverfahrens ist es
nun möglich, einen Regler zu entwerfen, der die Pole der Übertragungsfunktion des
geschlossenen Regelkreises an jede beliebige, gewünschte Stelle der z−Ebene plaziert.
Der erste Schritt zum Entwurf eines Polvorgabe−Reglers besteht somit darin, eine
geeignete Pollage festzulegen. Dabei kann man wie folgt vorgehen:
• Spezifikation einer gewünschten Anstiegszeit tr und Überschwingweite Mp der Führungssprungantwort.
• Berechnung der dazugehörigen Pollage eines dominierenden Polpaares in der s−Ebene
(2.3.79)
d 1
2
s12
, = − ± j ⋅ 1− d , ( 3343 . . )
T T
PT2 PT2
wobei sich d mit Hilfe des spezifizierten Mp aus Bild 2.3.26 und TPT2 mit dem spezifizierten
tr und dem berechneten d aus Bild 2.3.27 bestimmen lassen (TPT2 wird in Bild
2.3.27 T genannt).
• Festlegung einer Abtastzeit T nach den Beziehungen (3.3.16) bzw. (3.3.18a/b).
• Umrechnung der Wunsch−Pollage vom s−Bereich (3.3.43) in die dazugehörige Pollage
im z−Bereich /1/ nach der Beziehung

sT δT jωT z = e ; s = δ + jω ⇒ z = e ⋅e . ( 3344 . . )
Mit der vorangegangenen Polfestlegung ist nur das dominante Polpaar festgelegt. Alle
übrigen, ggf. noch festzulegenden Pole sollten als reelle Pole im s−Bereich möglichst
weit nach links, d.h. in der z−Ebene dicht an den Ursprung z = 0 (z.B. z = 0,1) gelegt
werden, um die Dominanz des Polpaares möglichst wenig zu beeinflussen. (Wie dicht
die Pole in die Nähe von z = 0 gelegt werden dürfen, ist auch hier wieder eine Frage der
Stellgrößenbeschränkung).
Die Berechnung des Reglers leitet sich dann folgendermaßen ab /8/. Zu dem gegebenen
offenen Regelkreis ohne Regler der Ordnung n
( )
( )
∗
L β 1
−1 + β 2
−2 + � + βn
−n
∗
L + α 1
−1 + α 2
−2 + � + αn
−n
∗ Z z z z z
L ( z ) = = (3.3.45a)
N z 1 z z z
wird ein Regler der Ordnung (n − 1) angesetzt
n−1 1z n−2 2z � n
n n−1 z + α 1z + � + αn
β + β + + β
= (3.3.45b)
( )
( n 1
Z 1
)
R z −
− −
r 0 + rz 1 + � + rn−1z GR ( z ) = = (3.3.46a)
N ( z) −1
−( n−1 1 + p z + � + p z
)
R 1 n−1 =
0
n−1 + 1
n−2 + � + n−1 n−1 + 1
n−2 + � + n−1 r z rz r
z p z p
3.28
. (3.3.46b)
(L*(z) darf bei diesem Optimierungsverfahren nicht sprungfähig sein, das heißt, in (3.3.45)
muß der Zählergrad < Nennergrad sein. Dies ist keine besonders strenge Forderung, weil
die meisten Regelstrecken nicht sprungfähig sind. Bei eventuell auftretenden
sprungfähigen Strecken kann eine sehr kleine fiktive Zeitkonstante in den Nenner
eingefügt werden.)
Der geschlossene Regelkreis
( )
( )
T R
( ) ⋅ ( )
( ) ∗ ( )
ZT z GR z GS z
TYW ( z ) = =
N z 1 + G z ⋅Lz
beschreibt mit seinem Nennerpolynom

∗ ∗
( ) ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( )
N z = N z N z Z z Z z
T IST R L R L
n−1 n−2 n n−1 ( 1 n−1)( 1 n)
= z + p z + � + p z + α z + � + α + �
n−1 n−2 n−1 n−2 ( 0 + 1 + + n−1)( β 1 + β 2 + + βn)
� + r z r z � r z z � (3.3.47)
die IST−Pollage des Regelkreises. Dabei sind die αi und βi die bekannten Parameter des
offenen Kreises ohne Regler und die ri und pi die unbekannten Koeffizienten des Reglers.
Durch Vorgabe von (2n−1) Polen, zu deren Plazierung wir die vorangehenden Ausführungen
machten, kann man ein Polynom berechnen
2n−1 2 2n−2 2n−1 T( ) SOLL ∏ ( − i) 0 + 1 + 2 + � + 2n−2 +
i=1
N z = z z = a a z a z a z z , (3.3.48)
das die SOLL−Lage der Regelkreis−Polstellen beschreibt. Durch einen Koeffizienten-
vergleich zwischen dem SOLL−Polynom (3.3.48) und dem IST−Polynom (3.3.47) erhält
man ein lineares Gleichungssystem zur Berechnung der Reglerparameter ri und pi aus
den bekannten Parametern ai , βi und αi .
Zur Verdeutlichung der Vorgehensweise berechnen wir folgendes
Beispiel 3.3.3: Es soll ein strukturoptimierter Regler durch Polvorgabe für folgende
Regelkreisstruktur entworfen werden
S
−2
0,01z
−1 −2
M
( ) ( )
G z = ; G z = 10 . (3.3.49)
1 − 0, 4z − 0, 45z
Die Pole des geschlossenen Regelkreises sollen alle bei z = 0,5 liegen. Da die Regelstrecke
keinen Integrator besitzt, soll ein Integralanteil zur Verhinderung von bleibender
Regelabweichung in den Regler eingefügt werden.
Zur Lösung der Aufgabe wird zunächst festgestellt, daß der offene Kreis ohne Regler die
Ordnung n = 2 besitzt. Damit ist die Reglerordnung n−1 = 1 festgelegt
−1
r 0 + rz 1 r0z + r1
R ( )
−1
1 +
p z p
1z
+ 1
G z = = . (3.3.50)
3.29

Durch die Wahl von p1 = −1 erhält GR (z), wie in der Aufgabenstellung gefordert, einen
Integralanteil
R
( )
( )
rz 0 + r1
ZRz GR ( z ) = = . (3.3.51)
z − 1 N z
Um den späteren Koeffizientenvergleich sinnvoll durchführen zu können, muß man die
Wahl treffen, ob Polynome mit positiven oder negativen Exponenten miteinander
verglichen werden sollen. Wir betrachten Polynome mit positiven Koeffizienten und formen
daher (3.3.49) dahingehend um
∗
( )
3.30
( )
( )
L
∗
L z = = . (3.3.52)
2
0,1
z − 0,4z − 0,45
Z z
N z
Damit kann das charakteristische IST−Polynom berechnet werden
∗ ∗
( ) ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( )
N z = N z N z Z z Z z
T IST R R
∗
L
L L
2
( − ) ⋅( − − ) + ( + ) ⋅(
)
= z 1 z 0,4z 0,45 r z r 0,1
0 1
( ) ( ) ( )
3 2
= z − 1,4 z + 0,1r − 0,05 z + 0,1r + 0,45 . (3.3.53)
0 1
Bei der Bildung des charakteristischen SOLL−Polynoms muß im vorliegenden Fall darauf
geachtet werden, daß wegen der Vorabfestlegung eines Reglerpols (des Integratorpols z
= 1) nicht mehr (2n−1) = 3 sondern nur noch (2n−1)−1 = 2 Pole frei vorgegeben werden
können. Der dritte Pol z3 muß sich frei einstellen:
2n−2 2
T SOLL
3
i=1
i 3
i=1
i
( ) ( − ) ∏ ( − ) ( − ) ∏(
− )
N z = z z z z = z z z z
( − ) ⋅( − ) ⋅( − )
= z z z 0,5 z 0,5
3
( ) ( ) ( )
3 2
− + 3 + + 3 − 3
= z 1 z z 0,25 z z 0,25z . (3.3.54)
Da sowohl das IST− als auch das SOLL−Polynom vergleichbar geordnet vorliegen, kann
der notwendige Koeffizientenvergleich vorgenommen werden:

2
3.31
( )
z : −(1,4) = − 1 + z (3.3.55a)
( − ) ( + )
z : 0,1r 0,05 = 0,25 z (3.3.55b)
0 3
( + ) −(
)
freies Glied : 0,1r 0,45 = 0,25z . (3.3.55c)
1 3
Aus (3.3.55a) kann die Lage der sich frei einstellenden Polstelle z3 = 0,4 berechnet werden.
Aus (3.3.55b) bestimmt sich dann r0 = 7 und aus (3.3.55c) r1 = −5,5. Damit sind die
Koeffizienten des Reglers bestimmt
−1 −1
r 0 + rz 1 7 − 5,5z
R ( )
−1 −1
1 + p1z 1 − z
G z = = . (3.3.56)
Die numerische Bestimmung der Reglerparameter, auch bei Systemen höherer Ordnung,
kann wesentlich vereinfacht werden, wenn man einen Ansatz von /8/ weiter verfolgt, der
die gesamte Problemstellung auf Matrizenbasis ansetzt und löst. Aus Zeitgründen können
wir auf die Besprechung dieser Vorgehensweise nicht eingehen.
Leider stellt sich bei näherer Betrachtung des Polvorgabe-Verfahrens heraus, daß sich im
Falle der Einfügung von Integrator-Polen (wie im obigen Beispiel gezeigt) sich häufig die
frei einstellenden Polstellen außerhalb des Einheitskreises der z-Ebene befinden und der
Regelkreis damit instabil wird. Das Verfahren eignet sich daher ohne Einschränkung nur
bei global integral wirkenden Regelstrecken, weil dort nur proportional wirkende Regler
benötigt werden.
Man kann jedoch auch dieses Problem mit einem Trick lösen und das Verfahren auch für
global proportionale Strecken anwenden:
Der Übertragungsfunktion der global proportionalen Strecke wird ein fiktiver Integratorpol
hinzugefügt (Multiplikation der Übertragungsfunktion mit 1/s). Für diese "global integral"
wirkende Strecke wird ein Regler nach dem Polvorgabeverfahren entworfen. Da es zur
Vermeidung von bleibender Regelabweichung egal ist, ob der Integrator sich in der
Strecke oder im Regler befindet, kann der der Strecke fiktiv zuogeordnete Integrator dieser
wieder entnommen und dem Regler hinzugefügt werden. Damit hat der Regler den
gewünschten I-Anteil. Ein geringer Nachteil dieses Entwurfs ist die ums eins höhere
Reglerordnung.
In allen Fällen lassen sich sogar Regler für instabile Regelstrecken (d.h. mit Polstellen in
der linken s-Halbebene) entwerfen.
3

3.3.2.3 Das "Dead Beat"-Verfahren
Abschließend zu unseren Betrachtungen über die Regleroptimierung mittels Polvorgabe
soll noch kurz das sog. "dead beat"−Verfahren angesprochen werden. Das
"dead beat"−Verfahren plaziert alle Polstellen des geschlossenen Regelkreises in den
Ursprung der z−Ebene. Dadurch kommt es zu einem Übergangsverhalten des
Regelkreises, welches es in der kontinuierlichen Regelungstechnik nicht gibt: Störungen
werden in einer endlichen Zahl von Abtastschritten (die der Übertragungsfunktions-
Ordnung des offenen Regelkreises entspricht) vollständig ausgeregelt, bzw. der
Regelkreis folgt einer Füh-rungsgrößenänderung nach dieser endlichen Anzahl von
Abtastschritten exakt. Zur Verdeutlichung dieser Aussage rechnen wir das
Beispiel 3.3.4: Der schon in Beispiel 3.2.1 betrachtete Regelkreis
Bild 3.3.8 : Ein Regelkreis zur Demonstration des "dead−beat−Verhaltens
hat bei einer Abtastzeit T = 1 folgende Führungsübertragungsfunktion
( )
( ) + ( − )
Y z V
TYW ( z ) = = . (3.3.57)
W z z V 1
Für V = 0,5; V = 1 und V = 1,5 ergeben sich folgende Pollagen (vergleiche das folgende
Bild 3.3.9) und die daneben darge-stellten dazugehörigen Führungssprungantworten auf eine
Einheitssprungfolge w(k) = σ(k).
Man erkennt deutlich das vorangehend beschriebene Phänomen: während die Sprungantworten,
die nicht zur Pollage z = 0 gehören, aperiodische bzw. gedämpft schwingende
Regelgrößenverläufe zeigen, erreicht die Regelgröße, die zur Pollage z = 0 gehört, bereits
nach einem Abtastschritt genau ihren stationären Endwert.
Ein Regler, der diese Kreisdynamik hervorruft, wird "dead beat"−Regler genannt, weil er
den Ausregelvorgang quasi im "Totschlag−Verfahren" herbeiführt.
Die Anzahl der Stellschritte bis zum ausgeregelten Zustand hängt von der Ordnung des
offenen Kreises ab. Da der vorliegende offene Kreis die Ordnung 1 hat, braucht der dead
beat−Regler nur einen Stellschritt von der Dauer der Abtastzeit.
3.32

Bild 3.3.9 : Führungssprungantworten des Regelkreises nach Bild 3.3.8
bei verschiedenen Pollagen der Führungsübertragungsfunktion
So faszinierend diese Regeleigenschaft auf den ersten Blick auch sein mag, birgt ein
dead−beat−optimierter Regelkreis einige Probleme:
• dead−beat−Regler erzeugen i.a. sehr große Stellamplituden, insbesondere wenn kleine
Abtastzeiten gewählt werden. Mit der Einführung sog. Entwurfspolynome /8,9/ zur
Regleroptimierung können diese Stellamplituden aber zu Gunsten von mehr Stellschritten
reduziert werden.
• Weicht das Streckenmodell, das dem Regelkreisentwurf zugrunde gelegt wird, nur
gering von den Eigenschaften der realen Strecke ab, wird das endliche Einschwingverhalten
nicht mehr erreicht. Die Regelergebnisse werden dann i.a. schlechter als bei
Regelkreisen, die nach einer anderen Methode optimiert wurden.
• Der dead−beat−Regler muß für bestimmte Führungs− und Stellgrößenverläufe speziell
entworfen werden. Weichen diese Verläufe von ihren beim Entwurf zu Grunde gelegten
Formen ab, treten die gleichen negativen Effekte auf.
Nähere Einzelheiten zu dead−beat−Reglern findet der Leser in /8,9/.
3.33

4 Regelgüteverbesserung durch Erweiterung der Standard−Regelkreisstruktur
Bei allen vorangehenden Betrachtungen sind wir immer von den Regelkreis-
Standardstrukturen nach Bild 1.1.7 bzw. 3.1.2 ausgegangen. Wenn nun bei einem solchen
Regelkreis besonders hohe Anforderungen an die Regelgüte gestellt werden, die
Regelstrecke mit Totzeit behaftet ist, eine sehr hohe Ordnung hat oder zwischen Stell−
und Meßglied sehr große Verzögerungen auftreten, gelingt es oft nicht, mit der Standard-
Regelkreisstruktur die gewünschten Regelgüteforderungen zu erfüllen. Durch Erweiterung
der Standard−Regelkreisstruktur ist es unter bestimmten Umständen möglich, das Rege-
lungsverhalten wesentlich zu verbessern.
Wir gehen im Folgenden kurz auf einige Strukturen ein, indem wir das Funktionsprinzip
erläutern und anschließend die Wirksamkeit der Strukturerweiterung mittels eines
Simulink-Simulationsmodells demonstrieren. Alle Modelle liegen dem Skript auch als File
bei, so daß mit den Strukturen experimentiert werden kann. Zur Vertiefung wird aus
Zeitgründen auf die Literatur verwiesen.
Den folgenden Ausführungen werden kontinuierliche Regelkreise zu Grunde gelegt, alle
Strukturerweiterungen können aber auch auf zeitdiskrete Regelkreise angewendet
werden. Vielfach macht die zeitdiskrete, algorithmische Realisierung diese
Strukturerweiterungen erst möglich, weil sie mit wesentlich weniger Aufwand als durch
analoge Schaltungen machbar sind.
4.1 Störgrößenaufschaltung
Wenn Störungen, die auf einen Regelkreis wirken, aus physikalischen, technischen oder
ökonomischen Gründen gar nicht oder nur mit nicht vertretbarem Aufwand meßbar sind,
stellt ein Regelkreis die einzige Möglichkeit dar, den Einfluß dieser Störungen auf die
Regelgröße zu verhindern bzw. abzumildern.
Läßt sich dagegen eine Störung meßtechnisch erfassen, kann ein aus dieser Messung
direkt abgeleiteter Stelleingriff schneller auf die Regelgröße wirken, weil nicht erst der
Störsignaldurchgang durch die (i.a. träge) Strecke, die Meßeinrichtung und dem Regler
zum Stellglied abgewartet werden muß. Eine solche Maßnahme wird Störgrößenaufschaltung
genannt. Sie wird dadurch realisiert, daß z(t) gemessen wird, von einer geeigneten
Korrektureinrichtung beeinflußt und dieses Signal invertiert auf die Stelleinrichtung
gegeben wird. In Bild 4.1.1 sind diese Wirkungselemente in der Übertragungsfunktion
GSA (s) zusammengefaßt.
Aus den Ausführungen erkennt man, daß eine Störgrößenaufschaltung nur dann wesentlich
zu einer beschleunigten Störgrößenausregelung beiträgt, wenn die Störung am Anfang
4.1

oder weit vorn in die Strecke eingreift. (Eine Störung am Ausgang der Strecke hat in ihrem
Signalweg zum Stellglied nur die Meßeinrichtung und den Regler und nicht die
verzögernde Strecke zu durchlaufen.)
W(s)
-
G (s)
R
-
4.2
G (s)
SA
G (s)
S1
G R (s) : Regler
G S (s) = G S1 (s) . G S2 (s) : Regelstrecke
Z(s)
G M (s) : Meßeinrichtung
G SA (s) : Störgrößenaufschaltung
Bild 4.1.1 : Regelkreis mit Störgrößenaufschaltung
G (s)
S2
G (s)
M
Mit Hilfe der Berechnungsregeln für gekoppelte Übertragungssysteme /1/ läßt sich die
Regelkreisordnung nach Bild 4.1.1 wie folgt modellieren
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
GS2 s − GSAs ⋅GS1s ⋅GS2s GRs ⋅GSs
Y( s ) = ⋅ Z( s ) + ⋅W(
s ) .
1 + G s ⋅G s ⋅ G s 1 + G s ⋅G s ⋅G
s
R S M R S M
Y(s)
(4.1.1)
Zunächst erkennt man, daß das Stabilitätsverhalten des Regelkreises von der
Störgrößenaufschaltung G SA (s) nicht beeinflußt wird (G SA (s) trägt nichts zum Nenner-
polynom des Regelkreises bei). Da auch G SA (s) im zweiten Summenterm von (4.1.1) nicht
auftritt, wird auch das Führungsverhalten des Kreises nicht tangiert.
Um den Einfluß einer Störung Z(s) auf die Regelgröße Y(s) zu verhindern, müßte der erste
Summenterm in (4.1.1) verschwinden. Dies ist der Fall, wenn der Zähler
( ) − ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( )
G s G s G s G s = 0
S2 SA S1 S2
wird. Stellt man diese Gleichung nach GSA (s) um, erhält man die Entwurfsvorschrift der
Störgrößenaufschaltung
1
GSA ( s ) = , (4.1.2)
G s
S1
( )

die zum völligen Verschwinden des Störeinflusses auf die Regelgröße führen würde.
Da Regelstrecken, bzw. Regelstreckenteile i.a. global proportionales oder global integra-
les Verhalten mit Verzögerungen aufweisen
V V
G ( s ) = ; G ( s ) = ,
� �
S1 S1
S1 S1
( 1 + sT1)( 1 + sT 2) s 1 + sT1 1 + sT 2
4.3
( )( )
muß G SA (s) nach (4.1.2) vorhaltendes, bzw. differenzierend vorhaltendes Übertragungs-
verhalten aufweisen. Da solche Übertragungsglieder bekanntlich nicht gerätetechnisch
realisiert werden können, müssen sie durch D−Glieder oder Vorhaltglieder mit Reali-
sierungszeitkonstanten angenähert werden. Die Realisierungszeitkonstanten werden
dabei so klein gewählt, wie es ein übersteuerungsfreies Ansteuern des Stellgliedes
erlaubt.
Häufig begnügt man sich auch schon mit einer statischen Störgrößenaufschaltung, d.h.
man wählt
1
GSA ( s ) = V SA = , (4.1.3)
V
S1
wobei VS1 der stationäre Verstärkungsfaktor von GS1 (s) ist. Der Restfehler, welcher von
der Störgrößenaufschaltung nicht beseitigt werden kann, wird vom Regelkreis ausgeregelt.
Den vorangehenden Ausführungen kann man entnehmen, daß eine Störgrößenaufschaltung
bei jedem Angriffspunkt einer meßbaren Störung (am Eingang der Strecke,
in die Strecke und am Ausgang der Strecke) realisierbar ist. Das Übertragungsglied
GSA (s) muß dann nur wie folgt angesetzt werden:
• Störung am Eingang der Strecke:
• Störung in die Strecke:
• Störung am Ausgang der Strecke:
GSA ( s)
= 1
1
GSA( s)
=
G ( s)
S1
1
GSA( s)
=
GS( s)
.
Das folgende Simulink-Simulationsmodell "stoer1.mdl" (Bild 4.1.2a) simuliert eine solche
Störgrößenaufschaltung. Die Störung greift in die Strecke ein.

Der obere Regelkreis beinhaltet die vorangehend beschriebene Strukturerweiterung, der
untere ist nur als Standard-Reglekreis ausgeführt und dient zum Vergleich der
Sprungantworten mit und ohne Strukturerweiterung. Zur Simulation wurden folgende
Randbedingungen gewählt:
• Integrationsalgorithmus : Runge/Kutta
• Beobachtungintervall-Dauer: 20
• Rechenschrittweite: 0.1
• Führungssprung zum Zeitpunkt t=0, Amplitude 1
• Störsprung zum Zeitpunkt t=10; Amplitude 1
Alle anderen Simulations-Parameter sind der Simulations-Struktur entnehmbar.
Führungssprung
+
-
Sum
+
-
Sum4
1.5*2s+1
s
PI-Regler
1.5*2s+1
s
PI-Regler 1
-
+
Sum1
s+1
0.1s+1
GSA(s)
1
s+1
Gs1(s)
1
s+1
Gs1(s) 1
4.4
Störsprung
+
Sum2
+
Sum6
1
1
s+1
Gs2(s)
s+1
Gs2(s)1
Mux
u(t)
Mux y(t)
Bild 4.1.2a : Simulink-Simulationsstruktur "stoer1.mdl": Störgrößenaufschaltung
einer gemessenen Störung
Das Bild 4.1.2b stellt links das Simualtionsergebnis bei der obigen Parametrierung dar. Die
Störung wird mit Störgrößenaufschaltung deutlich besser ausgeregelt. Sie tritt mit
wesentlich geringerer Amplitude in der Regelgröße auf und wird schneller völlig
ausgeregelt. Allerdings stellt sich eine relativ hohe dazugehörige Stellamplitude u(t) ein,
die in Bild 4.2.1b, rechts dargestellt ist.

Bild 4.1.2b : Simulationsergebnis von "stoer1.mdl": Störgrößenaufschaltung
einer gemessenen Störung
Weitere Einzelheiten zur Störgrößenaufschaltung, gerätetechnische Beispiele und
Beispielrechnungen findet der Leser in /3/, /5/ und /6/.
4.1.1 Störgrößenaufschaltung bei nicht meßbarer Störgröße und unbekanntem
Störort
Nach den Ausführungen im vorangegangenen Kapitel können die positiven Effekte einer
Störgrößenaufschaltung nur dann genutzt werden, wenn die Störgröße meßbar und der
Störort bekannt ist. Wir wollen im Folgenden einen Ansatz zur Störgrößenaufschaltung
betrachten, wo beide Bedingungen nicht erfüllt sein müssen:
Nach Kapitel 2.2.3 kann man den Angriffspunkt einer Störung immer an den Ausgang der
Strecke modellieren:
Diese Störung
Bild 4.1.3 : Modellierung des Störangriff am Ausgang der Strecke
∗
Z ( s) = G ( s) ⋅Z(
s)
( 414
. . )
Z
4.5

läßt sich, wie im Folgenden gezeigt wird, bei bekannter Übertragungsfunktion der Strecke
G S (s), des Reglers G R (s) und der Meßeinrichtung G M (s), aus leicht meßbaren
Regelkreissignalen berechnen: Mit
kann man Y M (s) aus
L( s) = G ( s) ⋅G ( s) ⋅ G ( s)
R S M
Ls
Y s
Ls Ws
( ) GM( s)
M(
) = ( ) + Gz( s) ⋅ Z( s)
( 415 . . )
1+ ( ) 1+
Ls ( )
bestimmen. Diese Gleichung kann mit (4.1.4) nach Z*(s) umgestellt werden:
L(s)
Y M(s)
− ⋅W(s)
∗
1+ L(s) Y M(s)
⋅ ( 1+ L(s) ) − L(s) ⋅W(s)
Z(s) = = =
G M(s) G M(s)
1+ L(s)
�������
E(s)
Y M(s) + Y M(s)L(s)
− L(s) ⋅W(s)
Y M(s) − L(s) ⋅( W(s) − Y M(s)
)
= =
G (s) G (s)
=
M M
Y M(s)
− L(s) ⋅E(s)
. (4.1.6)
G (s)
M
Modelliert man nun L*(s)=L(s) und G* M(s)=G M(s) erhält man eine Meßgleichung für die
Störgröße Z*(s), die i.a. auch immer leicht realisierbar ist, da G M(s) bei einem sinnvoll
ausgelegten Regelkreis immer in guter Näherung proportional wirkt.
Bild 4.1.4 : Struktur zur Messung der Störung Z * (s)
4.6

Aus dem Bild ist deutlich zu erkennen, daß die Meßgleichung leicht algorithmisch im
Regler realisiert werden kann, weil beide Meßgrößen e(t) und y M(t) im Regler verfügbar
sind. Die indirekt gemessene Störgröße Z*(s) hat nach dem durchgerechneten Ansatz
immer einen fiktiven Störangriff am Ausgang der Strecke, so daß immer folgende
Störgrößenaufschaltung gewählt werden muß (Bild 4.1.5).
Bild 4.1.5 : Störgrößenaufschaltung bei nicht direkt meßbarer
Störgröße und unbekanntem Störort
Da der Störangriff an den Ausgang der Strecke modelliert werden muß, ist wegen der
Verzögerung der Strecke die Störgrößenaufschaltung nicht sehr wirksam. Durch Erhöhung
der Verstärkung in G SA(s) kann dies aber (bei Zuwachs der Stellamplitude) ausgeglichen
werden.
Die Meßgleichung (4.1.6) wurde vom Autor entwickelt und an Hand einiger
Simulationsläufe getestet. Da die Meßgleichung und die Störgrößenaufschaltung mit den
restlichen Regelkreisgliedern Kreisstrukturen bilden, kommt es bei Strecken höherer
Ordnung ( n > 2 ) zu Stabilitätsproblemen. Dieser Aspektmuß noch tiefer analysiert
werden.
Das folgende Simulink-Simulationsmodell "stoer2.mdl" (Bild 4.1.6a) simuliert eine solche
Störgrößenaufschaltung. Die Störung greift in die Strecke ein.
Der obere Regelkreis beinhaltet die vorangehend beschriebene Strukturerweiterungen, der
untere ist nur als Standard-Reglekreis ausgeführt und dient zum Vergleich der
Sprungantworten mit und ohne Strukturerweiterung. Zur Simulation wurden folgende
Randbedingungen gewählt:
4.7

• Integrationsalgorithmus : Runge/Kutta
• Beobachtungintervall-Dauer: 20
• Rechenschrittweite: 0.1
• Führungssprung zum Zeitpunkt t=0, Amplitude 1
• Störsprung zum Zeitpunkt t=10; Amplitude 1
Alle anderen Simulations-Parameter sind der Simulationsstruktur entnehmbar.
Führungssprung
+
-
Sum
+
-
Sum4
1.5*2s+1
s
PI-Regler
1.5*2s+1
s 3+2s 2+s
Modell des
offenen Kreises
1.5*2s+1
s
PI-Regler 1
-
+
Sum1
10*1s+1
0.1s+1
GSA(s)
1
s+1
Gs1(s)
+
-
Sum3
1
s+1
Gs1(s) 1
4.8
Störsprung
+
Sum2
+
Sum6
1
s+1
Gs2(s)
1
1
1/GM(s)
1
s+1
Gs2(s)1
Mux
u(t)
Mux y(t)
Bild 4.1.6a : Simulink-Simulationsstruktur "stoer2.mdl": Störgrößenaufschaltung
einer indirekt gemessenen Störung
Bild 4.1.6b : Simulationsergebnis von "stoer2.mdl": Störgrößenaufschaltung
einer indirekt gemessenen Störung

Die Störgrößenaufschaltung mit indirekt gemessener Störgröße zeigt ähnlich gute
Störunterdrückungs-Ergebnisse wie bei der direkt gemessenen Störgröße. Problematisch
kann auch hier wieder die Stellgröße (dargestellt in Bild 4.1.6.b, rechts) werden. Dies ist
aber unabhängig von der Art der Störmessung.
4.2 Vorsteuerung
Während man mit Hilfe einer Störgrößenaufschaltung die Ausregelung meßbarer
Störungen maßgeblich beschleunigen kann, ist man mit einer sog. Vorsteuerung G V(s) in
der Lage, das Folgeverhalten eines Regelkreises bei einer Führungsgrößenänderung zu
verbessern. Eine Vorsteuerung wird dadurch realisiert, daß von der Führungsgröße über
eine geeignete Korrektureinrichtung direkt die Stellgröße beeinflußt wird. Im folgenden Bild
4.2.1 ist eine solche Vorsteuerung in Form der Übertragungsfunktion G V(s) dargestellt.
W(s)
-
E(s)
G (s)
V
G (s)
R
Y (s)
M
4.9
G (s)
S
G (s)
M
G R (s): Regler; G S (s): Strecke
Z(s)
G (s)
G V (s): Vorsteuerung; G Z (s): Störfilter
G M (s): Meßeinrichtung
Bild 4.2.1 : Regelkreis mit Vorsteuerung
Die Regelkreisanordnung nach Bild 4.2.1 läßt sich durch folgende Übertragungsfunktion
beschreiben
( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( )
( ) ( ) ( )
Z
Y(s)
( )
( )
( ) ( )
GV s GS s GR s GS s GZ s
Y( s ) = ⋅ W( s ) + ⋅Z(
s ) .
1 + G s ⋅G s ⋅ G s 1 + G s ⋅G s ⋅G
s
R S M R S M
(4.2.1)
Auch hier erkennt man, daß das Stabilitätsverhalten des Regelkreises von der
Vorsteuerung nicht beeinflußt wird. Da G V(s) auch im zweiten Summenterm von (4.2.1)
nicht auftritt, wird auch das Störverhalten von der Vorsteuerung nicht berührt.
Zur Dimensionierung der Vorsteuerung G V(s) geht man von der Maximalforderung aus,
nämlich daß die Regelgröße Y(s) der Führungsgröße W(s) direkt folgen soll. Dies ist der

Fall, wenn für alle Zeiten t > 0 y M(t) = w(t) (d.h. e(t) = 0) ist. Y M(s) und W(s) stehen in
folgender Beziehung
M
( )
( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( )
1 + G ( s) ⋅G( s) ⋅G(
s)
GV s GS s GM s GR s GS s GM s
Y s = ⋅ W s . (4.2.2)
R S M
Die Bedingung Y M(s) = W(s) ist erfüllt, wenn in (4.2.2) der Zähler gleich dem Nenner wird.
Bei genauem Hinsehen ist dies der Fall, wenn der Ausdruck
( ) ⋅ ( ) ⋅ ( )
G s G s G s = 1
V S M
wird. Damit ist die Bestimmungsgleichung für die Vorsteuerung gefunden
1
GV( s ) = , (4.2.3)
G s G s
( ) ⋅ ( )
S M
die zu einem Folgeverhalten des Regelkreises y(t) = w(t) für alle t > 0 führt. Da die Strecke
G S(s) i.a. wieder global proportionales oder integrales Verhalten mit Verzögerung
aufweist, hat eine Vorsteuerung G V(s) ähnliche Realisierungsbedingungen wie eine
Störgrößenaufschaltung G SA(s). Auch hier können schon mit einer statischen
Vorsteuerung
1
GV ( s ) = V V = , (4.2.4)
V ⋅ V
S M
wobei V S und V M die Verstärkungsfaktoren der Strecke und der Meßeinrichtung sind,
verbesserte Führungseigenschaften erreicht werden.
Das folgende Simulink-Simulationsmodell "vsteuer.mdl" (Bild 4.2.2) simuliert eine solche
Vorsteuerung.
Der obere Regelkreis beinhaltet die vorangehend beschriebene Strukturerweiterung, der
untere ist nur als Standard-Reglekreis ausgeführt und dient zum Vergleich der
Sprungantworten mit und ohne Strukturerweiterung. Zur Simulation wurden folgende
Randbedingungen gewählt:
• Integrationsalgorithmus : Runge/Kutta
• Beobachtungintervall-Dauer: 20
4.10
( )

• Rechenschrittweite: 0.1
• Führungssprung zum Zeitpunkt t=0, Amplitude 1
• Störsprung zum Zeitpunkt t=10; Amplitude 1
Alle anderen Simulations-Parameter sind der Simulations-Struktur entnehmbar.
Führungssprung
s 2+2s+1
0.01s 2+0.2s+1
+
-
Sum
+
-
Sum4
Transfer Fcn
1.5*2s+1
s
PI-Regler
1.5*2s+1
s
PI-Regler 1
+
Sum1
1
s+1
1
s+1
Gs1(s)
Gs1(s) 1
4.11
Störsprung
+
Sum2
+
Sum6
1
s+1
Gs2(s)
1
s+1
Gs2(s)1
Bild 4.2.2a : Simulink-Simulationsstruktur "vsteuer.mdl": Aufschaltung
eines Vorsteuersignals
Bild 4.2.2b : Simulationsergebnis von "vsteuer.mdl": Aufschaltung
eines Vorsteuersignals
Im Simulationsergebnis ist die beschleunigende Wirkung einer Vorsteuerung bei Führung
deutlich zu erkennen. Das Störverhalten wird nicht beeinflußt. Nachteilig kann sich auch
hier die in der Nähe von t=0 relativ große dazugehörige Stellamplitude (vergleiche Bild
4.2.2b), rechts) auswirken.
Mux
Mux
u(t)
y(t)

4.3 Regelkreise mit Hilfsregelgröße
Gelingt es, in der Regelstrecke neben der Regelgröße eine weitere Zwischengröße zu
messen, die wesentlichen Einfluß auf die Regelgröße hat, kann man mit einem dem
Hauptregekreis unterlagerten Hilfsregelkreis die Regelgüte verbessern. Man nennt die
gemessene Zwischengröße dann Hilfsregelgröße y H(t).
Das folgende Bild 4.3.1 zeigt die i.a. genutzte Struktur eines solchen unterlagerten
Hilfsregelkreises.
Bild 4.3.1 : Ein Regelkreis mit unterlagertem Hilfregelkreis
Sinnvoll ist diese Struktur, wenn bekannt ist, daß eine maßgebliche Störung in den
geplanten Hilfsregelkreis eingreift. Bei richtiger Dimensionierung des Hilfsreglers G H(s)
kann die Störung häufig schon wesentlich im Hilfsregelkreis unterdrückt werden. Das
Führungsverhalten des Hauptkreises kann sich dabei etwas verschlechtern.
Unterlagerte Hilfsregelkreise beeinflussen die Stabilität des Gesamtregelkreises. Dies ist
wiederum zu erkennen, wenn man die Führungs- und Störungs-Übertragungsfunktion
berechnet
G s
Ys
G s G s G s G s G s Zs
G s G s G s
G s G s G s G s G s Ws
S2
( )
( ) = ⋅ ( ) + ...
1+
R( ) ⋅ S1( ) ⋅ S2( ) + H( ) ⋅ S1(
)
R( ) ⋅ S1( ) ⋅ S2(
)
... +
⋅ ( ). ( 431 . . )
1+
( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( )
R S1 S2 H S1
In beiden Übertragungsfunktionen steht GH(s) im Nenner und beeinflußt somit die Pollage
und damit die Stabilität des Gesamtregelkreises.
Leider ist der Entwurf von Hilfsregelkreisen nicht einfach zu verallgemeinern. Der Entwurf
des Hilfsreglers hängt weitgehend von der Problemstellung ab (Globalverhalten der
Strecke, Streckenstruktur, Störangriffsort, usw.). Hilfregelkreise müssen deshalb auf ein
vorliegendes Problem speziell zugeschnitten werden.
Das folgende Simulink-Simulationsmodell "hilfsr.mdl" (Bild 4.3.2a) simuliert einen solchen
unterlagerten Hilfsregelkreis.
4.12

Der obere Regelkreis beinhaltet die vorangehend beschriebene Strukturerweiterung, der
untere ist nur als Standard-Reglekreis ausgeführt und dient zum Vergleich der
Sprungantworten mit und ohne Strukturerweiterung. Zur Simulation wurden folgende
Randbedingungen gewählt:
• Integrationsalgorithmus : Runge/Kutta
• Beobachtungintervall-Dauer: 100
• Rechenschrittweite: 0.1
• Führungssprung zum Zeitpunkt t=0, Amplitude 1
• Störsprung zum Zeitpunkt t=50; Amplitude 1
Alle anderen Simulations-Parameter sind der Simulations-Struktur entnehmbar.
Störsprung
z(t)
Führungssprung
w(t)
+
-
Sum1
+
-
Sum4
0.5*10s+1
s
PI-Regler
0.5*10s+1
s
PI-Regler1
+
-
Sum2
1
10s+1
Gs1(s)
1*10s+1
s+1
GH(s)
1
10s+1
Gs1(s)1
4.13
+
Sum3
+
Sum5
1
s 2+2s+1
Gs2(s)
1
s 2+2s+1
Gs2(s)1
Bild 4.3.2a : Simulink-Simulationsstruktur "hilfsr.mdl": Regelgüteverbesserung
durch einen Hilfsregelkreis
Bild 4.3.2b : Simulationsergebnis von "hilfsr.mdl": Regelgüteverbesserung
durch einen Hilfsregelkreis
Mux
Mux
y(t)

Auch in der Simulation ist die positive Wirkung des entworfenen unterlagerten Hilfs-
regelkreises deutlich zu erkennen. Sowohl bei Führung, als auch bei einer Störung wird
schneller der stationäre Endwert erreicht. In /3/, /5/ und /6/ werden technologische
Beispiele aufgeführt, die Regelkreise mit Hilfs-regelgröße beinhalten.
4.4 Kaskadenregelungen
Besitzt die Regelstrecke eine Kettenstruktur und lassen sich an den Ausgängen der
einzelnen Übertragungsglieder geeignete Größen messen (die wiederum maßgeblichen
Einfluß auf die Regelgröße haben müssen), ist es oft möglich, mit einer mehrfachen
Überlagerungsstruktur von Regelkreisen (Kaskaden) bessere Regelergebnisse
herbeizuführen.
W(s)
X1
G R3(s) G R2(s) G R1(s) G S1(s)
G (s)
4.14
G (s)
M1
Regelstrecke
G (s)
S2 S3
G M2(s)
Bild 4.4.1 Kaskadenregelkreis mit zwei unterlagerten Regelkreisen
2
G (s)
M3
Im Gegensatz zu Regelkreisen mit Hilfsregelgröße befinden sich in dieser Kaskaden
Struktur die Regler nicht im Rückführzweig der unterlagerten Kreise, sondern wie vom
Standard-Regelkreis gewohnt, in Reihe zur Regelstrecke.
Trotz des verhältnismäßig komplizierten Aufbaus wird der Reglerentwurf gut
durchschaubar, wenn die Kaskadenstruktur von innen nach außen bearbeitet wird. D.h.,
zuerst wird der innerste Regelkreis (GR1(s), GS1(s), GM1(s)) nach den bekannten
Methoden optimiert. Die sich daraus ergebende Führungsübertragungsfunktion des
innersten Kreises ist dann Teil der Streckenübertragungsfunktion des nächsten
übergeordneten Kreises, den man auch wieder nach den bekannten Methoden optimiert.
So wird fortgefahren, bis die gesamte Struktur optimiert ist.
Die inneren Kreise können bei diesem Entwurf möglichst schnell gemacht werden (P−,
PD−Regler). Im äußersten Kreis sollte zur Vermeidung von bleibender Regelabweichung
ein I−Anteil enthalten sein.
Y(s)

4.5 Totzeitkompensation
Ein Regelkreis mit einer totzeitbehafteten Strecke
Bild 4.5.1 : Ein Regelkreis mit totzeitbehafteter Strecke
der folgende Führungsübertragungsfunktion besitzt
− sT
GR( s) ⋅GS( s) ⋅e
TYW ( s)
=
1+
G ( s) ⋅G ( s) ⋅e
R S
4.15
t
− sT
t
, ( 451 . . )
führt i.a. auf einen langsamen Einschwingvorgang nach einer Störung oder einer
Führungsgrößenänderung, weil sich im Nenner der Übertragungsfunktion, die die Dynamik
des Kreises bestimmt, ein Totzeit-Term auftritt. Mit Hilfe eines Kompensations-gliedes
G K(s), das im Regelkreis wie folgt angeordnet ist,
Bild 4.5.2 : Zum Entwurf einer Totzeit-Kompensation
kann der Einfluß der Totzeit erheblich reduziert werden. Fordert man, daß die Parallel-
schaltung von Strecke mit Totzeit G S(s)⋅e -sT und dem Kompensationsglied G K(s)
totzeitfrei ist, kann man dies wie folgt formulieren:
t
G ( s) ⋅ e + G ( s) = G ( s).
( 452 . . )
S
− sT
K S
Nach Umstellung von (4.5.2) nach G K(s) kann dann die Übertragungsfunktion dieses
Kompensationsgliedes berechnet werden

K S
− sTt
( )
G (s) = G (s) ⋅ 1− e (4.5.3)
Daraus ergibt sich folgende Regelkreis-Struktur:
Bild 4.5.3 : Ein Regelkreis mit Totzeit-Kompensation
Bildet man von dieser Struktur z.B. die Führungsübertragungsfunktion
− sTt − sTt
( ( ) )
R S S
S R
− sT
t
4.16
− sT
t
G R(s) ⋅G S(s)
⋅e
T YW (s) =
1+ G (s) ⋅ G (s) ⋅ e + G (s) ⋅ 1− e
G R(s) ⋅G S(s)
⋅e
=
1+ G (s) ⋅G
(s)
, (4.5.4)
erkennt man, daß die Totzeit nur noch im Zähler der Übertragungsfunktion auftaucht und
sich damit als reine Verzögerung der Sprungantwort bemerkbar macht und nicht mehr wie
in (4.5.1) die gesamte Kreisdynamik beeinflußt und damit langsam macht. Man kann
zeigen, daß sich dieses Verhalten auch bei Störungen einstellt, egal wo der Störort in der
Strecke liegt. Als Grundlage zum Reglerentwurf wird ausschließlich die
Übertragungsfunktion der Strecke ohne Totzeit benutzt.
Das folgende Simulink-Simulationsmodell "tkomp.mdl" (Bild 4.5.4a) simuliert eine solche
Totzeitkompensation. Der obere Regelkreis beinhaltet die vorangehend beschriebene
Strukturerweiterungen, der untere ist nur als Standard-Reglekreis ausgeführt und dient
zum Vergleich der Sprungantworten mit und ohne Strukturerweiterung. Zur Simulation
wurden folgende Randbedingungen gewählt:
• Integrationsalgorithmus : Runge/Kutta
• Beobachtungintervall-Dauer: 50
• Rechenschrittweite: 0.1
• Führungssprung zum Zeitpunkt t=0, Amplitude 1
• Störsprung zum Zeitpunkt t=25; Amplitude 1

Alle anderen Simulations-Parameter sind der Simulations-Struktur entnehmbar.
Störsprung
Führungssprung
+
-
Sum
+
-
Sum4
1.5*4s+1
s
PI-Regler
0.24*4s+1
s
PI-Regler 2
1
s 2+2s+1
Strecke
1
s 2+2s+1
Streckenmodell
1
s 2+2s+1
Strecke 2
Strecken-
Totzeit Tt=2
Totzeitmodell
Tt=2
4.17
+
-
Sum1
Streckentotzeit
Tt=2
+
Sum3
+
Sum5
+ + Sum2
Bild 4.5.4a : Simulink-Simulationsstruktur "tkomp.mdl": Totzeitkompensation
Bild 4.5.4b : Simulationsergebnis von "tkomp.mdl": Totzeitkompensation
Zur Simulation wurden zwei Regler entworfen, die mit und ohne Totzeitkompensation auf
eine Überschwingweite von M P=0,2 führen. Die Vorhaltzeitkonstanten wurden dabei gleich
groß gewählt. Während sich ohne Totzeitkompensation ein stark schwingender
Einschwingvorgang einstellt, geht dieser mit Totzeitkompensation wesentlich zurück und
die stationären Endwerte werden wesentlich schneller erreicht.
Es muß ausdrücklich darauf hingewisen werden, daß es bei Strecken höherer Ordnung
und auch bei noch so geringen Überteuerungen innerhalb des Regelkreises zu
Stabilitätsproblemen kommen kann.
Mux
Mux
y(t)

4.6 Regler mit "Anti−Reset−Windup" (ARW)
Obwohl schon beim Reglerentwurf darauf geachtet werden sollte, daß die Stelleinrichtung
nicht übersteuert wird, kommt es insbesondere bei Reglern mit Integralanteil vor, daß eine
am Reglereingang anstehende Regelabweichung e(t), die Stellgröße u(t) soweit auf− (bzw.
ab−) integriert, daß die Stelleinrichtung in die Begrenzung getrieben wird. Wechselt die
Regelabweichung das Vorzeichen, braucht der I−Anteil im Regler sehr lange Zeit, um aus
dieser Begrenzung herauszukommen. Durch diesen "Verzögerungseffekt" in der
Stelleinrichtung kommt es zu einem größeren, langanhaltenden Überschwingen der
Regelgröße. Den Aufintegrationseffekt nennt man in der angelsächsischen Literatur
"Reset−Windup".
In der Literaturstelle /11/ wird eine Strukturerweiterung des Reglers vorgeschlagen, die
beim Erreichen der Stellgliedbegrenzung das Eingangssignal des Reglers e(t) vom
Integratorteil des Reglers trennt und auf Null setzt.
G R(s) VR 1
sTN
4.18
k = 1 für u() t < u
k = 0 für u() t ≥u
⎛ 1 ⎞
= ⋅ ⎜ + ⎟
⎝ ⎠
max
max
Bild 4.6.1 : Ein PI-Regler mit "Anti-Reset-Wind-Up"
Dadurch bleibt das Integrator−Ausgangssignal konstant und treibt das Stellglied nicht noch
weiter in die Begrenzung. Der Eingang des Integratorteils des Reglers wird dann wieder an
das Eingangssignal e(t) gelegt, wenn der P− oder D−Anteil des Reglers das Stellglied
wieder aus der Begrenzung herausgefahren haben.
Das folgende Simulink-Simulationsmodell "arw.mdl" (Bild 4.6.2a) simuliert einen solchen
Regelkreis mit "Anti-Reset-Wind-Up"Schaltung an einem PI-Regler.

Der obere Regelkreis beinhaltet die vorangehend beschriebene Strukturerweiterungen, der
untere ist nur als Standard-Reglekreis ausgeführt und dient zum Vergleich der
Sprungantworten mit und ohne Strukturerweiterung. Zur Simulation wurden folgende
Randbedingungen gewählt:
• Integrationsalgorithmus : Runge/Kutta
• Beobachtungintervall-Dauer: 10
• Rechenschrittweite: 0.1
• Führungssprung zum Zeitpunkt t=0, Amplitude 1
• Störsprung zum Zeitpunkt t=5; Amplitude -0,5
Alle anderen Simulations-Parameter sind der Simulations-Struktur entnehmbar.
w(t)
+
-
Sum1
+
-
Sum4
3.3
VR
3.3
VR_
Schalter
0.917
1/TN
0.917
Switch
*
Product
1/s
I-Anteil_
1/s
I-Anteil
0
0
Abs
Abs
1
1
+
Sum
+
Sum5
Begrenzung
bei + - 1
Begrenzung
bei + - 1_
4.19
+
-
Sum2
Mux
Mux
+
-
Sum6
10
Gain3
u(t)
10
Gain5
z(t)
1/s
Integrator1
Regelstrecke
z(t)_
1/s
Integrator3
Regelstrecke_
+
Sum3
+
Sum7
1/s
Integrator2
1/s
Integrator4
Bild 4.6.2a : Simulink-Simulationsstruktur "arw.mdl": Ein mit einem PI-Regler
geregelter Kreis mit "Anti-Reset-Wind-Up"
Bei dieser Simulation wurde eine Stellgrößenschranke von -1 < u(t) < 1 eingestellt. In der
rechten Bildhälfte von Bild 4.6.2.b wird allerdings die Stellgröße, wie sie sich am Ausgang
des Reglers messen läßt, dargestellt. Bedingt durch die Stellgrößenschranke stellt sich
ohne ARW eine recht große Überschwingamplitude der Führungs-Sprungantwort ein. Bei
einem Regler mit ARW wird, solange sich u(t) oberhalb von 1 befindet, der Integrierer
abgeschaltet, so daß die Stellgröße schneller abklingt. Dies macht sich in der Regelgröße
durch einen wesentlich kleineren Überschwinger bemerkbar. Die Störgrößenausregelung
wird hier nicht beeinflußt, weil die Stellgröße sich innerhalb der Schranken des
Aussteuerbereiches von u(t) befindet.
Mux
Mux1
y(t)

Bild 4.6.2b : Simulationergebnis von "arw.mdl": Ein mit einem PI-Regler
geregelter Kreis mit "Anti-Reset-Wind-Up"
4.7 Andere Strukturerweiterungen
In der Literatur /5/, /6/ und /12/ werden noch eine Reihe anderer, auch wichtiger
Strukturerweiterungen, z.B.: "Verhältnisregelung", "Ablöseregelung", "Auswahlregelung",
"Regler mit Strukturumschaltung" beschrieben, auf die wir aus Zeitgründen nicht mehr
eingehen wollen.
Es sei daraufhin gewiesen, daß alle Strukturerweiterungen des Standard-Regelkreises, die
im Kapitel 4 erwähnt wurden, auch kombiniert eingesetzt werden können. So werden z.B.
bei der Lageregelung von Roboterarmen nicht nur die Kaskadenstruktur sondern auch die
Störgrößenaufschaltung und Vorsteuerungen eingesetzt.
4.20

Literatur
/1/ Ottens, M.
Grundlagen der Systemtheorie
Vorlesungsskript
TFH-Berlin, Fachbereich VI
/2/ Ottens, M.
Praktische Verfahren zur experimentellen Systemidentifikation
Vorlesungsskript
TFH-Berlin, Fachbereich VI
/3/ Oppelt, W.
Kleines Handbuch technischer Regelvorgänge
Verlag Chemie, Weinheim/Bergstraße
ab 5. Auflage, 1972
/4/ Töpfer, H. Kriesel, W.
Funktionseinheiten der Automatisierungstechnik
Verlag Technik, Berlin (DDR)
ab 1. Auflage ,1988
/5/ Unbehauen, H.
Regelungstechnik I
Friedr. Viehweg u. Sohn, Braunschweig/Wiesbaden
ab 6. Auflage, 1991
/6/ Föllinger , O.
Regelungstechnik
Hüthig Buch Verlag, Heidelberg
ab 6. Auflage, 1990
/7/ Stöcker, H. (Hrsg)
Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren
Verlag Harry Deutsch, Thun, Frankfurt am Main
ab 1. Auflage, 1992
/8/ Günther, M.
Zeitdiskrete Steuerungssysteme
Dr. Alfred Hüthig Verlag, Heidelberg, 1986
/9/ Unbehauen, H.
Regelungstechnik II
Frier. Viehweg u. Sohn, Braunschweig/Wiesbaden
ab 5. Auflage, 1989
I

10/ Isermann, R.
Digitale Regelsysteme, Band I
Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, ... , Tokyo
ab 2. Auflage, 1987
/11/ J. Böcker, I. Hartmann, Ch. Zwanzig
Nichtlineare und adaptive Regelungssysteme
Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, ... , 1986
/12/ A. Böttiger
Regelungstechnik
R. Oldenbourg Verlag, München, Wien, 1988
/13/ M. Ottens
Einführung in das CAE-Programm Matlab
Vorlesungsskript
TFH-Berlin, Fachbereich VI
II

Anhang A: Regelungstechnik-spezifische Matlab-Programme und
Simulink-Simulations-Strukturen
Auf dem beiliegenden Datenträger befinden sich ein Matlab-Programm und eine
Reihe von Simulink-Simulationsmodellen:
polkomp.m: Matalb-Programm zur halbautomatischen, interaktiven Regleroptimierung
nach der Polkompensationsmethode.
Simulink-Simulationsmodelle
stoer1.mdl: Störgrößenaufschaltung einer gemessenen Störung.
stoer2.mdl: Störgrößenaufschaltung einer indirekt gemessenen Störung.
vsteuer.mdl: Aufschaltung eines Vorsteuer-Signals.
hilfsr.mdl: Regelkreis mit unterlagertem Hilfregelkreis.
tkomp.mdl: Totzeitkompensation.
arw.mdl: PI-Regler mit Anti-Reset-Wind-Up.
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