Tag 4

Fachbereich Physik
Prof. Dr. Bernd Stühn
Daniel Löb
LineareAlgebra
Mathematischer Vorkurs
Sommersemester 2009
Größen, welche als einzelne reelle Zahl darstellbar sind, werden als „Skalare“
bezeichnet. Gerichtete Größen, also solche, denen eine Richtung in
einem n-dimensionalen geometrischen Raum zugeordnet werden kann, heißen
Vektoren. Eine übliche Schreibweise für Vektoren ist die vertikale Anordnung
der Komponenten in Klammern. Vektoren werden durch komponentenweise
Addition addiert. Die geometrische Bedeutung der Vektoraddition
ist im Bild rechts dargestellt.
Vektoren
⎛
⎜
v= ⎜
⎝
Skalarprodukt
v 1
v 2
.
v n
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
v+w= ⎜
⎝
v 1
v 2
.
v n
⎞
Vektoraddition
⎛
⎟⎜
⎟⎜
⎟
⎟+
⎜
⎠⎝
w 1
w 2
.
w n
⎞
⎛
⎟⎜
⎟⎜
⎟
⎟=
⎜
⎠⎝
Eine nützliche Zerlegung für Vektoren bilden Betrag
und Richtungseinheitsvektor:
|a| =
a 2
1
+ a2
2 + . . .+ a2 n ,
e a = a
|a| ,
a = |a|·e a, |e a|=1.
Aus der Geometrie folgt, dass die Komponenten eines
Vektors seinen Projektionen auf die Koordinatenachsen
entsprechen:
v=|v|·
cos(ϕ)
sin(ϕ)
=
cos(ϕ)
cos(π/2−ϕ)
Das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren ist definiert als:
.
v1+ w1 v2+ w2 .
vn+ wn ⎞
⎟
⎟=s
⎠
2
v 2=|a| sin(ϕ)
v T ·w=v 1w 1+v 2w 2+ . . .+ v nw n.
0
v
s
w
Konstanten
⎛
k· v 1
k· v 2
⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
k·v= ⎜ . ⎟
. ⎟
⎝ . ⎠
k· vn ϕ
v
1 2
v1=|a| cos(ϕ)
Gleichzeitig entspricht das Skalarprodukt dem Produkt der Beträge der Vektorenv undw mit dem Kosinus des Winkels
ϕ zwischen den beiden:
v T ·w=|v||w| cos(ϕ).
Das Skalarprodukt zweier zueinander senkrechter Vektoren ist somit 0.

Vektorprodukt
Dieser Abschnitt bezieht sich nur auf das Vektorprodukt in drei Dimensionen. Das Vektorprodukt erzeugt aus zwei Vektorena
undb einen dritten Vektorc, welcher senkrecht auf beiden steht. Er ist gegeben durch:
⎛
⎜
a×b= ⎝
a 1
a 2
a 3
⎞
⎛
⎟⎜
⎠× ⎝
b 1
b 2
b 3
⎞
⎛
⎟⎜
⎠= ⎝
a 2b 3− a 3b 2
a 3b 1− a 1b 3
a 1b 2− a 2b 1
⎞
⎟
⎠=c.
Die Orientierung vonc relativ zua undb entspricht einem Rechtssystem. In einem Rechtssystem gilt, dass die x-Achse
durch eine Rotation im Gegenuhrzeigersinn (Draufsicht) in die y-Achse überführt werden kann. Es besteht zwischen den
Koordinateneinheitsvektorene x,e y unde z die Relation:
e x×e y=e z.
Der Betrag vonc ist gleich der Fläche des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms:
|c|=|a||b| sin(ϕ),
wobeiϕ der Winkel zwischena undb ist.
Skalar- und Vektorprodukt haben die folgenden Eigenschaften:
Weiterhin gilt für doppelte Vektorprodukte:
k a T ·b = (ka) T ·b k a×b = (ka)×b
a T ·b = b T ·a a×b = −b×a
a T · b+c = a T ·b+a T ·c a× b+c = a×b+a×c
a× b×c =b a T ·c −c a T ·b .
Weder für das Skalarprodukt, noch für das Vektorprodukt existiert ein Assoziativgesetz!
Matrizen
a b T ·c = a T ·b c a× b×c = a×b ×c
Eine m mal n Matrix ist ein System min n· m Einträgen, angeordnet in m Zeilen und n Spalten:
⎛ ⎞
a11 a12 . . . a1n ⎜ ⎟
⎜ a21 a22 . . . a2n⎟ A=(a ⎜
µν)= ⎜ .
.
⎝ .
. .
.
..
. ⎟
. ⎟ .
. ⎠
am1 am2 . . . amn Ist n=m, so wird die Matrix als quadratisch bezeichnet. Im Weiteren soll es nur um quadratische Matrizen mit reellen
Einträgen gehen. Zwei besondere Matrizen sind Nullmatrix und Einheitsmatrix:
Nullmatrix
⎛ ⎞
0 0 . . . 0
⎜ ⎟
⎜ 0 0 . . . 0⎟
⎜ .
.
⎝ .
. .
.
..
. ⎟
. ⎟
. ⎠
0 0 . . . 0
Einheitsmatrix
⎛ ⎞
1 0 . . . 0
⎜ ⎟
⎜ 0 1 . . . 0⎟
1= ⎜ .
.
⎝ .
. .
.
..
. ⎟
. ⎟
. ⎠
0 0 . . . 1
Für alle weiteren Beispiele werden 3×3-Matrizen verwendet. Die diagonal von links oben nach rechts unten verlaufende
Abfolge von Einträgen wird Hauptdiagonale genannt. Parallel dazu laufende Elementfolgen heißen Nebendiagonalen.

Als Transponierte einer Matrix A wird eine Matrix A T bezeichnet, welche der an der Hauptdiagonalen gespiegelten Matrix
A entspricht:
⎛
A T ⎜
= ⎝
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
⎞
⎟
⎠
T
⎛
⎜
= ⎝
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
Eine Matrix ist symmetrisch, wenn sie identisch ist mit ihrer Transponierten A= A T .
⎞
⎟
⎠=(a µν) T =(a νµ). (0.1)
Werden zwei Matrizen A und B miteinander multipliziert, so ergibt sich das Element c i j der Ergebnismatrix C aus dem
Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B:
A· B=C, c i j=
n
aik bk j.
Matrizenmultiplikation kommutiert nicht: A·B= B·A. Summen und Differenzen von Matrizen sind analog zu den Summen
und Differenzen für Vektoren definiert.
⎛
⎜
A·v= ⎝
Multiplikation von Matrix mit Vektor,
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
⎞
⎛
⎟⎜
⎠· ⎝
v 1
v 2
v 3
⎞
⎛
⎟⎜
⎠= ⎝
k=1
a 11v 1+ a 12v 2+ a 13v 3
a 21v 1+ a 22v 2+ a 23v 3
a 31v 1+ a 32v 2+ a 33v 3
⎞
⎟
⎠
⎜
kA= ⎝
Matrix mit Konstante.
⎛
ka 11 ka 12 ka 13
ka 21 ka 22 ka 23
ka 31 ka 32 ka 33
Als Inverse A −1 einer Matrix A wird die Matrix bezeichnet, deren Produkt mit A die Einheitsmatrix ergibt.
Determinanten
A· A −1 =1.
Die Determinante det(A) ist eine der Matrix A zugeordnete Zahl. Sie kann als das Volumen des Spats (Spat ist die höherdi-
mensionale Verallgemeinerung eines Parallelogramms) der Zeilen- oder Spaltenvektoren einer Matrix aufgefasst werden.
Für reelle Matrizen ist die Determinante ebenfalls reell. Die Determinante für eine n-dimensionale Matrix ist rekursiv
definiert als:
n
det(A)=|A|=
ν=1
a µνà µν mitµfest,
wobei à µν das Produkt aus(−1) µ+ν und der Determinante der Matrix, die durch Wegstreichen derµ-ten Zeile und der
ν-ten Spalte entsteht, ist (auch genannt Adjunkte zuµν). Die Summation erfolgt also über alle Elemente der Spalteµ.
Alternativ kann auch für alle Elemente einer festen Zeile entwickelt werden. Die senkrechten Striche zur Indikation der
Determinante dürfen nicht als Betragsstriche aufgefasst werden.
Wird die Determinante einer 1×1-Matrix als identisch mit ihrem einzigen Element festgelegt, so folgt daraus die Determinante
einer Matrix mit n=2:
det
a11 a 12
a 21
a 22
= a 11a 22− a 21a 12.
Zum Berechnen der Determinante einer Matrix mit n=3 wird die Regel von Sarrus verwendet:
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
a11
a21 a31 a12 a22 a32 = a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32
−(a 31a 22a 13+ a 32a 23a 11+ a 33a 21a 12)
⎞
⎟
⎠

Bei diesem Schema werden rechts neben der Determinante die beiden ersten Spalten angefügt. Anschließend werden
die Produkte entlang der Diagonalen von links oben nach rechts unten aufsummiert und davon die Produkte entlang der
Diagonalen von links unten nach rechts oben abgezogen.
Der Wert der Determinante zur Matrix A verändert sich nicht, wenn A transponiert wird oder wenn zu einer Zeile (bzw.
Spalte) das Vielfache einer anderen Zeile (bzw. Spalte) hinzuaddiert wird. Die Determinante ist Null, wenn eine der
Zeilen oder Spalten von A Null ist oder wenn die Zeilen oder Spalten voneinander linear abhängig sind. Werden zwei
Zeilen oder Spalten miteinander vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen.
Die Inverse Matrix A −1 zur Matrix A kann aus dem Quotienten der Matrix Ã, deren Elemente die Adjunkten à µν sind, und
der Determinante von A berechnet werden:
Diese Inverse existiert natürlich nur, wenn det(A)= 0.
Eigenwerte und-vektoren
A −1 = 1
det(A) Ã.
Für eine Matrix A existieren nichttriviale (d.h.= 0) Vektorenv e, so dass das Produkt aus A und einem solchen Vektor
wieder den Vektor mit einem Vorfaktorλergibt:
A·v e=λv e.
Der Faktorλwird Eigenwert und der Vektorv e wird Eigenvektor genannt. Eigenvektoren können als „charakteristische
Richtungen“ des Gleichungssystems verstanden werden. Die obige Gleichung kann umgeschrieben werden zu:
A·v e=λ1·v e
=⇒
A−λ1 ·v e= 0
Damit sich hieraus nichttriviale Lösungen fürv e ergeben können muss die Determinante von
Dies wird ausgenutzt, umλzu bestimmen:
a11−λ a12 a
13
det A−λ1 =
a21 a22−λ a
23
= 0 =⇒ λ.
a31 a32 a33−λ
A−λ1 zu Null werden.
Zu jedem der hieraus resultierenden Werte fürλkann ein Gleichungssystem für die Komponenten des zugehörigen
Eigenvektors aufgestellt werden.