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MATHEMATIK F¨UR PHYSIKER I Anhang : Mengen, Relationen ...

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MATHEMATIK F¨UR PHYSIKER I Anhang : Mengen, Relationen

Mathematik für Physiker I - Anhang 1 MATHEMATIK FÜR PHYSIKER I Prof. Dr. H. Dinges WS 2001/02 Anhang : Mengen, Relationen, Aussagen Mengen G. Cantor führte 1895 die folgende Sprechweise ein: ” Unter einer Menge M verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten (welche die ” Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen.“ Nach der heute allgemein akzeptierten (anfangs aus philosophischen Gründen heftig bekämpften) Auffassung von Cantor sind beliebige Mengen legitime Objekte mathematischer Betrachtung. Eine Menge M gilt als wohldefiniert, wenn festgelegt ist, welche Elemente zu ihr gehören und was es heißt, daß zwei Elemente von M als gleich zu betrachten sind. Teilmengen Die Gesamtheit P(M) aller Teilmengen einer gegebenen Menge M ist eine Menge im Sinne von Cantor. P(M) ist eine (durch die Inklusion ⊆) partiell geordnete Menge. In P(M) kann man Rechenoperationen definieren: die Komplementbildung, die Vereinigung und die Durchschnittsbildung. Die Komplementbildung A ↦→ A c ist eine involutive Abbildung von P(M) auf sich. Zweimal angewandt liefert sie die Identität. Die Vereinigungsbildung und die Durchschnittsbildung sind zunächst Abbildungen, die jedem Paar A, B von Elementen von P(M) ein Element A ∪ B (bzw. A∩B) in P(M) zu ordnen. Das Rechnen in P(M), c , ∪, ∩ heißt elementare Mengenalgebra und ist heutzutage ein Gegenstand der Schulmathematik. Dieselben Regeln des Rechnens gelten in den sog. Boole’schen Algebren; dort werden nur die Objekte anders interpretiert. (Beispiele: ” Schaltalgebra“, ” Ereignisalgebra“, ” Aussagenlogik“). In P(M) kann man auch die Vereinigung (und den Durchschnitt) von unendlich vielen Elementen definieren. Dies gibt neue Möglichkeiten für mathematische Konstruktionen. In der Punktmengentopologie macht man eine Menge M zu einem topologischen Raum, indem man ein Teilsystem U von P(M) auszeichnet, an welches gewisse Forderungen gestellt werden. Man fordert von der Gesamtheit U der offenen Mengen 1. ∅ ∈ U, M ∈ U 2. U, V ∈ U =⇒ U ∩ V ∈ U 3. Uα ∈ U für alle α =⇒ Uα ∈ U α

1 Mengen, Relationen, Abbildungen
1 Mengen und Abbildungen - Mathematik
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