MATHEMATIK F¨UR PHYSIKER I Anhang : Mengen, Relationen ...

Mathematik für Physiker I - Anhang 8
Definition :
ϕ : M → N sei eine Abbildung. Der Abbildungsgraph ist dann die Menge
Γ = (x, y) : ϕ(x) = y ⊆ M × N.
Satz : Die folgenden Bedingungen an eine Teilmenge R von M × N sind
notwendig und hinreichend dafür, dass R der Graph einer Abbildung von M
nach N ist:
(i) ∀x ∈ M ∃y ∈ N : (x, y) ∈ R
(ii) ∀x∀y1, y2 (x, y1) ∈ R ∧ (x, y2) ∈ R =⇒ y1 = y2.
Man schreibt auch, (i) und (ii) zusammenfassend
∀x ∈ M ∃1y ∈ N : (x, y) ∈ R
und liest; Zu jedem x ∈ M existiert genau ein y ∈ N, welches mit in x in der
Relation R steht.
Didaktische Anmerkung
Im Schuluntericht studiert man reellwertige Funktionen auf Intervallen und
man identifiziert diese Abbildungen gerne mit ihren Graphen. Durch die Wendung
zum Abbildungsgraphen, also zur Relation, verliert man leicht den dynamischen
Aspekt des Abbildens aus den Augen. Die Identifizierung einer Abbildung
mit ihrem Graphen blockiert in komplizierteren Fällen die Vorstellungskraft. In
der Anfängervorlesung muss daher die Fixierung auf den Graphen aufgebrochen
werden, wenn man als Student der Mathematik weiterkommen will. Wir haben
daran gearbeitet als wir Möbiustransformationen und polynomiale Abbildungen
im Komplexen studiert haben. Die Beziehung zwischen Funktionen (mehrerer
Variabler) und ihren Abbildungsgraphen wird später beim sog. Satz von der
impliziten Funktion weiter thematisiert werden.
Eine Gruppe, so haben wir gelernt, ist eine Menge mit einem ausgezeichneten
Element e, einer Abbildung g ↦→ g −1 und einer Verknüpfung (g, h) ↦→ g·h, wobei
gilt
g · e = e · g = g für alle g
(g · h) · k = g · (h · k) für alle g, h, k
g · g −1 = g −1 · g für alle g .
In der Sprache der Relationen könnte man sagen:
In der Menge G ist eine einstellige, eine zweistellige und eine dreistellige Relation
ausgezeichnet und diese Relationen erfüllen gewisse Bedingungen. Mit dieser
Sprechweise vermeidet man die Worte ” Abbildung“ und ” Verknüpfung“; man
spricht nur von Teilmengen von G, bzw. G × G bzw. G × G × G.
In der mathematischen Praxis dient es manchmal der Klarheit, wenn man von
den Assoziationen, die mit gewissen Terminologien verbunden sind, vorübergehend
Abstand nimmt und alles in die Sprache der Mengen, der Produktmengen
und ihrer Teilmengen übersetzt. An anderen Stellen schätzt man die Assoziationen;
und man benützt verschiedene Worte für Dinge, die im Sinne der
Mengenlehre auf dasselbe hinauslaufen: z.B. Funktion, Funktional, Abbildung,
Operator.