Lernübersicht Analysis I

Lernübersicht Analysis I
erstellt in L ATEX von Erik Opitz
Kein Anspruch auf Vollständigkeit bzw. Korrektheit
Inhaltsverzeichnis
1 Die reellen Zahlen 4
1.1 Axiomatische Beschreibung der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Obere und untere Schranken von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Supremum und Infimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Folgerungen aus den Axiomen der rellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Die natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Beschränktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7 Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.8 Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.8.1 Variante des Induktionsprinzips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.8.2 Vollständige Induktion nach mehreren Variablen . . . . . . . . . . 7
1.9 Methoden der Beweisführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.10 Die Zahlenbereiche im Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.11 Mächtigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.12 Endlichkeit und Unendlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.13 Abzählbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.14 Sätze zu Endlickeit und Abzählbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.15 Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.16 Potenzmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.17 Der Satz des Archimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.18 Der Satz des Eudoxos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.19 Begrff der Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.20 Die Dreiecksungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.21 Die Bernoulli-Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.22 Der Binomische Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.23 Geometrisches und Arithmetisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.24 Metrische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Folgen 13
2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1

2.2 Konvergenz von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Wie führe ich einen Konvergenzbeweis? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Wie führe ich einen Divergenzbeweis? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Monotonie von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.7 Grenzwerte konkreter Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.8 Teilfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.9 Rekursive Definition von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.10 Nützliche Sätze zur Folgenkonvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.11 Grenzwertrechengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.12 Der Auswahlsatz von Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.13 Cauchy-Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.14 Vollständige Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.15 Häufungspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.16 Limes Superior und Limes Inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.17 Implikationsübersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Unendliche Reihen 19
3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Konvergenz von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 Die Geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.5 Die harmonische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.6 Die alternierende harmonische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.7 Die Riemannsche Zeta-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.8 Die Binomialreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.9 Konvergenzkriterien für Zahlenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.9.1 Notwendige Bedingung für die Konvergenz . . . . . . . . . . . . . 21
3.9.2 Monotoniekriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.9.3 Cauchy-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.9.4 Leibnitz-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.9.5 Wurzel-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.9.6 Quotientenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.9.7 Majoranten- und Minorantenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.10 Der Riemannsche Umordnungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.11 Teleskopsummen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.12 Rechenregeln für unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.13 Das Cauchy-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.14 Dezimalbereichsentwicklung reeller Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.15 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.16 Konvergenzradien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.16.1 Wurzelformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.16.2 Quotientenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.17 Exponentialreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2

4 Funktionen 27
4.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 Division mit Rest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.4 Der Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.5 Rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.5.2 Hauptteil und Rest einer rationalen Funktion . . . . . . . . . . . . 29
4.5.3 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.6 Stetigkeit von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.6.1 Beispielfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.6.2 Definition der Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.6.3 Wie führe ich einen Stetigkeitsbeweis? . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.6.4 Gleichmäßige Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.6.5 Lipschitz-Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.6.6 Umgebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.6.7 Äquivalenzen und Sätze zur Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.6.8 Stetige Fortsetzbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.6.9 Funktionalgleichung und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.7 Funktionengrenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.7.1 Häufungspunkte einer Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.7.2 Grenzwert in einem Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.7.3 Punktweise Konvergenz gegen eine Funktion . . . . . . . . . . . . 37
4.7.4 Beschränktheit einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.7.5 Die Supremumsnorm einer Funktion: . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.7.6 Normale Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.7.7 Rechts-und Linksseitige Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.7.8 Rechts-und Linksseitige Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.7.9 Uneigentliche Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.7.10 Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.7.11 Fixpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.8 Die ” multiplikative Funktionalgleichung“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.9 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 Differentiation 40
5.1 Punktierte Umgebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3 Sätze zur Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.4 Notation für Funktionenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6 Grundlagen: Mathematische Symbole und Formulierungen 42
7 Dankeschön 42
3

1 Die reellen Zahlen
1.1 Axiomatische Beschreibung der reellen Zahlen
Axiome sind Grundannahmen, die nicht beweisbar sind. Es existieren grundsätzlich verschiedene
mögliche Axiomensysteme. Verschiedene Axiomensysteme können äquivalent
sein. Axiom → via Logik → Sätze der Analysis
Annahme: Es existiert eine Menge R, deren Elemente (reelle Zahlen) folgende Axiomengruppen
erfüllen:
• Algebraische Axiome
Körpereigenschaften der reellen Zahlen
• Ordnungsaxiome
Es existiert eine Teilmenge P ⊆ R mit:
– Trichotonie:
∀ x ∈ R gilt genau eine der Aussagen: x ∈ P oder x = 0 oder (−x) ∈ P
– Additive Abgeschlossenheit: ∀x, y ∈ P : (x + y) ∈ P
– Multiplikative Abgeschlossenheit: ∀x, y ∈ P : (x · y) ∈ P
– Relationsdefinition:
x > y :⇔ (x + (−y)) ∈ P
x < y :⇔ ((−x) + y) ∈ P
x ≤ y :⇔ x < y oder x = y
Dieses ” oder“ ist exklusiv, d.h. ein ” entweder-oder, aber nicht beides“.
Ein auch beides zulassendes ” oder“ nennt man logisches oder.
• Vollständigkeitsaxiom
Zu je zwei Teilmengen A, B ⊆ R mit A und B = ⊘ und a ≤ b ∀a ∈ A, b ∈ B gilt:
∃ t ∈ R mit a ≤ t ≤ b ∀ a ∈ A und b ∈ B
– Dieses t kann eindeutig sein, muss es aber nicht.
– Diese Formulierung des Vollständigkeitsaxioms ist äquivalent zur Aussage mit
a < b statt a ≤ b.
– Man darf aber nicht a ≤ t ≤ b durch a < t < b ersetzen.
– Ein Beispiel für das Axiom: A = R + und B = R − . Dann ist dieses t genau
die reelle Zahl Null.
– Eine andere Definition: ” Eine Cauchyfolge hat ihren Grenzwert immer in dem
Körper.“
– das Vollständigkeitsaxiom ist äquivalent zur
” Dedekindischen Schnitteigenschaft“:
Sind A und B zwei nichtleere Teilmengen von R mit A B = R und a < b
für alle a ∈ A und b ∈ B:
∃! t ∈ R mit a ≤ t ≤ b für alle a ∈ A und b ∈ B.
4

1.2 Obere und untere Schranken von Mengen
Eine Teilmenge X von R heißt oberhalb beschränkt: ⇔ ∃M ∈ R , sodass x ≤ M ∀x ∈ X
Dieses M heißt dann obere Schranke von X.
Eine Teilmenge X von R heißt unterhalb beschränkt: ⇔ ∃M ∈ R , sodass x ≥ M ∀x ∈ X
Dieses M heißt dann untere Schranke von X.
1.3 Supremum und Infimum
Jede nichtleere oberhalb beschränkte Teilmenge X ⊆ R besitzt eine eindeutig bestimmte
kleinste obere Schranke S ∈ R. Eine solche kleinste obere Schranke nennt man
Supremum von X und sie muss zwei Kriterien erfüllen:
• Sie muss obere Schranke von X sein:
x ≤ S ∀ x ∈ X
• Jede kleinere Zahl ist keine obere Schranke von X mehr:
∀ S ′ < S : S’ ist keine obere Schranke von X.
Das Supremum einer Menge X wird bezeichnet mit sup(X).
Jede nichtleere unterhalb beschränkte Teilmenge X ⊆ R besitzt eine eindeutig bestimmte
größte untere Schranke S ∈ R. Eine solche größte untere Schranke nennt man
Infimum von X und sie muss zwei Kriterien erfüllen:
• Sie muss untere Schranke von X sein:
x ≥ S ∀ x ∈ X
• Jede größere Zahl ist keine untere Schranke von X mehr:
∀ S ′ > S : S’ ist keine untere Schranke von X.
Das Infimum einer Menge X wird bezeichnet mit inf(X).
Wenn Supremum bzw. Infimum zur Menge dazu gehören (ist nicht selbstverständlich),
dann heißen sie Maximum bzw. Minimum.
1.4 Folgerungen aus den Axiomen der rellen Zahlen
• Kürzungsregel
x + y = x + z für ein x ∈ R ⇒ y = z
• Eindeutigkeiten
Das additiv neutrale Element 0R und das multiplikativ neutrale
Element 1R sind eindeutig bestimmt.
Für a = x + b ist bei gegebenem a und b die Gleichung eindeutig nach x lösbar.
5

• Multiplikative Eigenschaften von R
x · 0 = 0 ∀x ∈ R
Es existiert kein multiplikativ Inverses zu Null.
• Annulierungsregel / Nullteilerfreiheit
x · y = 0 ⇒ x = 0 oder y = 0
1.5 Die natürlichen Zahlen
Es gibt eine Teilmenge N ⊆ R mit folgenden Eigenschaften.
• 1R ∈ N
• k ∈ N ⇒ (k + 1R) ∈ N
• N ist minimal bezüglich der obigen Eigenschaften, d.h. jede Menge, die die beiden
Eigenschaften erfüllt, enthält N.
Es gilt: 0R /∈ N. Wenn man die Null hinzuzählt, schreiben wir: N {OR} =: N0
1.6 Beschränktheit
Eine Menge heißt oberhalb beschränkt, wenn sie eine obere Schranke besitzt.
Eine Menge heißt unterhalb beschränkt, wenn sie eine untere Schranke hat.
Eine Menge heißt beschränkt, wenn sie oberhalb und unterhalb beschränkt ist.
1.7 Intervalle
Intervalle sind bestimmte Ausschnitte aus dem ” Strahl“ der reellen Zahlen. Das klappt
nur in R, weil es eben nur da eine Größer-Relation gibt. Man notiert Intervalle wiefolgt:
(A, B) bezeichnet alle reellen Zahlen zwischen A und B ohne die Grenzen A und B.
[A, B] bezeichnet alle reellen Zahlen zwischen A und B inklusive A und B.
1.8 Vollständige Induktion
Das Prinzip der vollständigen Induktion ist ein Beweisprinzip, mit dem man eine Menge
von Aussagen beweisen kann. Das erfordert aber, dass man die Menge der Aussagen mit
den natürlichen Zahlen identifizieren können muss.
• Induktionsanfang:
Beim Induktionsanfang zeigt man die Aussage beginnend für eine natürliche Zahl,
zum Beispiel Null.
• Induktionsschritt:
– Induktionsvoraussetzung:
Hier nimmt man an, dass die Aussage für eine natürliche Zahl n gilt.
6

– Induktionsbehauptung:
Hier wird behauptet, dass die Aussage auch für den Nachfolger n + 1 gilt.
– Induktionsbeweis:
Nun beweist man, dass die Aussage für diesen Nachfolger gilt. Dazu braucht
man meist die Induktionsvoraussetzung. Man hat die Aussage für ein Startelement
gezeigt. Somit hat man gezeigt: Wenn sie für ein n gilt, dann auch
für n + 1. Also gilt die Aussage somit auch für alle Nachfolger unseres Startelementes.
Fertig.
• Induktionsschluss:
Wenn man eine Induktion durchgeführt hat, gehört noch folgender Satz hin:
” Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion folgt: Q.E.D.“
1.8.1 Variante des Induktionsprinzips
Man kann auch annehmen, dass alle Aussagen bis einschließlich n gelten und dann die
Aussage für n + 1 zeigen. Das wäre eine abgeänderte Variante des Induktionsprinzips.
Diese Variante bietet sich z.B. bei rekursiv definierten Folgen an: Also nach dem Prinzip:
” Wenn ich 1) und 2) habe, so liefert es mir 3)“
1.8.2 Vollständige Induktion nach mehreren Variablen
Dies ist eigentlich ganz einfach: Wenn man zum Beispiel nach 3 Variablen n,k und m
Induktion machen möchte, so tut man dies zuerst nach n und setzt m und k kurzerhand
beide gleich 1. Dann hat man alle n abgearbeitet. Nun kann man für all diese n das
k laufen lassen und nach k Induktion machen. Schließlich lässt man in einem dritten
Schritt das m laufen.
Eine Induktion nach n Variablen ist also nichts Anderes als n Induktionen ineinander
geschachtelt!
Hier ein Beispielbild dazu: Zuerst zeigt man die Aussage für die ” Gerade“, dann für
die ” Ebene“ und dann für den ” Raum“:
7

1.9 Methoden der Beweisführung
Zu zeigen ist: Aus A folgt B, also: A ⇒ B. Es gibt dafür verschiedene Methoden:
• Direkter Beweis:
Man setzt A voraus und folgert durch Logik B.
• Indirekter Beweis:
Man setzt A voraus und führt ¬B zum Widerspruch. Damit kann nur noch B
folgen.
• Beweis durch Kontraposition:
Man setzt ¬B voraus und folgert ¬A. Äquivalent dazu ist: A ⇒ B.
Wieso ist das äquivalent? Betrachten wir (¬B ⇒ ¬A) ⇒ (A ⇒ B) :
Wir wissen: ¬B ⇒ ¬A. Dass heisst, wenn wir das Gegenteil der Behauptung
annehmen, also ¬¬A, also A, dann kann auch nicht die Voraussetzung gelten (weil
sonst würde ja ¬A gelten). Das die Voraussetzung nicht gilt, bedeutet aber: es gilt
¬¬B, also B. Wir haben also gefolgert: A ⇒ B.
1.10 Die Zahlenbereiche im Überblick
Zahlbereich Symbol und Definition Abzählbarkeit
Die natürlichen Zahlen:
Die nätürlichen Zahlen mit Null:
N
N0 := N
abzählbar unendlich
Die ganzen Zahlen:
{0}
Z := N0 {−n | n ∈ N}
abzählbar unendlich
abzählbar unendlich
Die geraden Zahlen: G := {2k|k ∈ Z} abzählbar unendlich
Die ungeraden Zahlen: U := {2k + 1|k ∈ Z} abzählbar unendlich
Die rationalen Zahlen: Q := {x ∈ R | ∃ m, n ∈ Z : x = m
Die reellen Zahlen:
n }
R
abzählbar unendlich
überabzählbar unendlich
Es gilt sogar (man glaubt es kaum): G ∼ U ∼ Z ∼ N ∼ Q
1.11 Mächtigkeit
Die Mächtigkeit einer Menge sagt uns, wieviele verschiedene Elemente diese Menge
enthält. Man schreibt dafür: #X. Hier ist ein Beispiel:
#{a, b, c, d, e} = 5
Zwei Mengen X und Y heißen gleichmächtig genau dann, wenn gilt:
∃ Bijektion f : X → Y
Man schreibt für die Gleichmächtigkeit zweier Mengen auch: X ∼ Y.
8

1.12 Endlichkeit und Unendlichkeit
• Eine Menge X heißt endlich :⇔ ∃ n ∈ N : X ∼ {1, . . . , n} ⊆ N
So eine endliche Menge X hat die Mächtigkeit n, also: #X = n
• Eine nicht-endliche Menge nennt man ” unendlich“.
So eine unendliche Menge X hat hingegen die Mächtigkeit unendlich: #X = ∞
1.13 Abzählbarkeit
(X ist endlich) oder (X ist abzählbar unendlich) ⇔: X heißt abzählbar
⇕
X ∼ N
Eine unendliche, nicht abzählbare Menge nennt man überabzählbar unendlich.
9

1.14 Sätze zu Endlickeit und Abzählbarkeit
• Jede unendliche Menge enthält eine abzählbar unendliche Teilmenge.
• X ist unendlich ⇒ ∃ injektive Abbildung f : N → X
Wenn X sogar abzählbar unendlich ist, können wir eine bijektive Abbildung finden,
also kommt da noch die Surjektivität hinzu.
• N × N ist abzählbar unendlich. (Beweis: mit 1.Cantorschen Diagonalverfahren)
• Die Vereinigung
n∈N Xn einer abzählbaren Familie (Xn)n∈N von abzählbaren
Mengen Xn ist wieder abzählbar.
1.15 Binomialkoeffizienten
Seien n und k natürliche Zahlen. Dann ist der Binomialkoeffizient n über k“ die Mächtigkeit
”
oder Kardinalität derjenigen Menge, die aus den k-mächtigen Teilmengen einer n-elementigen
Obermenge besteht.
n
:= #{A ∈ P (X) | #A = k} #X = n
k
Doch was heißt diese Zahl anschaulich? Sie gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus
einer n-elementige Menge eine k-elementige Teilmenge auszuwählen.
Sätze zum Binomialkoeffizienten
• k > n ⇒ n
k = 0, d.h. es gibt keine größeren Teilmengen als X selbst.
• n
0 = 1, d.h. es gibt immer nur eine nullelementige Teilmenge.
• n
1 = n, d.h. es gibt genau n 1-elementige Teilmengen von X.
= 1, d.h. es gibt genau eine n-elementige Teilmenge von X.
• n
n
• 0 ≤ k ≤ n ⇒ n k
•
n n n+1
k + k+1 = k+1
=
n!
k!(n−k)! = n
n−k
• ∀ a, b, ∈ R und n ∈ N : (a + b) n = n
i=0
1.16 Potenzmengen
n
i ai bn−i • Seien X eine Menge mit #X = x und Y eine Menge mit #Y = y. Dann definiert
man eine Menge:
Y X := { l | l : X → Y } mit #(Y X ) = y x
10

• ” Die“ Potenzmenge einer Menge, z.B. N, ist die Menge aller Teilmengen von N:
P (N) := {A | A ⊆ N}
Diese Potenzmenge ist übrigens überabzählbar unendlich.
• Diese Potenzmenge P (N) kann man auch als 2 N schreiben. Dabei wird jede dieser
Teilmengen A mit einer Binärfolge aus Nullen und Einsen identifiziert, die aussagt,
ob die 1 drin ist, die 2, die 3, die 4, die 5 u.s.w.. Wenn eine Zahl drin ist, gibts
ne 1, wenn nicht, gibts ne Null. Damit wird jede Teilmenge A zu einer binären
Zahlenfolge (ak)k∈N. Und die Potenzmenge wird zu einer Menge von Binärfolgen:
1.17 Der Satz des Archimedes
P (N) = 2 N = {(ak)k∈N | ak ∈ {0, 1} ∀k ∈ N}
Seien a, b ∈ R und a > 0. Irgendwann ist ein Vielfaches von a größer als b.
1.18 Der Satz des Eudoxos
∃ n ∈ N mit n · a > b
Zu jeder positiven reellen Zahl gibt es einen Bruch (
1.19 Begrff der Norm
∀ ɛ > 0 ∃ n ∈ N :
1
natürliche Zahl
1
< ɛ
n
) , der kleiner ist:
Der mathematische Begriff der Norm ist die Verallgemeinerung des geometrischen Begriffs
der Länge eines Vektors. Eine Norm ist eine Funktion, die jedem Element eines
Vektorraums eine nichtnegative reelle Zahl zuordnet
f : X → R + 0
und eine Reihe weiterer Eigenschaften (unter anderem die Dreiecksungleichung) erfüllt.
Der Vektorraum, auf dem die Norm definiert ist, wird dann normierter Raum oder auch
normierter Vektorraum genannt.
Beispiel: Standardnorm auf den komplexen Zahlen:
1.20 Die Dreiecksungleichung
f : C → R + 0 mit (a + bi) ↦→ a 2 + b 2
Seien a und b komplexe Zahlen. Wir betrachten die Betragsnorm in C. Dann gilt:
|a + b| ≤ |a| + |b|
Anwendung: bei allen möglichen Abschätzungen.
11

1.21 Die Bernoulli-Ungleichung
Seien α ∈ R mit α ≥ −1 und n ∈ N. Dann gilt:
(1 + α) n ≥ 1 + n · α
Anwendung: bei allen möglichen Abschätzungen.
1.22 Der Binomische Satz
Dieser Satz (den ich mir hoffentlich irgendwann merken kann) besagt für z ∈ R:
(1 + z) n n
n
= z
i
i
i=0
1.23 Geometrisches und Arithmetisches Mittel
Wir wollen aus zwei Zahlen x und y den Mittelwert bilden. Doch was heißt ” mitteln“?
Geometrisches Mittel von x und y:
√ xy
Arithmetisches Mittel von x und y: x+b
2
Zusammenhang der beiden Mittel:
√ xy ≤ x+b
2
Wie kann man sich das anschaulich merken? Antwort: An einem Thaleskreis!
1.24 Metrische Räume
Sei X eine Menge. Sei folgendes d eine Abbildung:
d : X × X → R + 0
:= {x ∈ R : x ≥ 0}
Dann nennt man (X,d) metrischen Raum und d Metrik, wenn gilt:
12

1. d(x, y) ≥ 0 ∀ x, y ∈ X und d(x, y) = 0 ⇔ x = y
2. d(x, y) = d(y, x) ∀ x, y, ∈ X
3. ∀x, y, z ∈ X : d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
Beispiel: Abstandsmetrik in den reellen Zahlen:
(R, d) mit d(x, y) := |x − y| ist ein metrischer Raum.
2 Folgen
2.1 Definition
Sei X eine unendliche Menge. Unendlich viele Elemente x aus dieser Menge in bestimmter
Reihenfolge nennt man ” Folge“. Das kann man notieren mit: (xn)n∈N = (x1, x2, x3, . . .)
Man kann eine Folge auch auffassen als eine Abbildung, die jeder natürlichen Zahl ein
x ∈ X zuordnet:
f : N → X
Eine Folge ist somit ein Element aus der Potenzmenge: (xn)n∈N ∈ X N
2.2 Konvergenz von Folgen
Eine Folge besteht aus Folgengliedern. Wenn man sich nun immer weiter hinten liegende
Glieder anschaut, kann es passieren, das sich diese irgendwann einem gewissen Wert
unendlich dicht annähern (Dieser Wert kann dabei auch angenommen werden!). Dann
spricht man von Konvergenz:
Sei (X,d) ein metrischer Raum und (xn)n∈N eine Folge in X. Äquivalente Aussagen:
• (xn)n∈N konvergiert gegen x0 ∈ X
• (xn)n∈N → x0 für n → ∞
• limn→∞(xn)n∈N = x0
• ∀ ɛ > 0 ∃ n0 ∈ N : d(xn, x0) < ɛ ∀n ≥ n0
• ∀ ɛ > 0 ∃ n0 ∈ N : xn ∈ (x0 − ɛ, x0 + ɛ) ∀n ≥ n0
• ∀ ɛ > 0 : Höchstens endlich viele Folgenglieder liegen nicht in (x0 − ɛ, x0 + ɛ)
• ∀ ɛ > 0 : Fast alle xn liegen in der ɛ-Umgebung von x0
Bemerkungen:
• Im Konvergenzfall heißt der Punkt x der Grenzwert oder Limes der Folge.
• Wenn ein Grenzwert existiert,dann ist er eindeutig.
13

• Die Folge heißt konvergent ⇔ Es existiert ein Grenzwert.
• Das Gegenteil von Konvergenz nennt man Divergenz. Das kann bedeuten: Die Folge
” schießt gegen ± unendlich“ (sogenannte bestimmte Divergenz) oder sie springt hin
und her (sogenannte unbestimmte Divergenz). Es kann auch passieren, dass der
Grenzwert nicht zum Ausgangsbereich gehört,z.B. bei Cauchyfolgen.
• Bei einer endlichen Indexverschiebung ändert sich an der Konvergenz nichts:
(an)n∈N konvergiert ⇔ (an+k)n∈N konvergiert ∀ k ∈ N
• Eine Folge, die gegen Null konvergiert, nennt man Nullfolge (N.F.)
2.3 Beispiele
Folge A hat den Grenzwert Null. Sie ist also konvergent.
Folge B geht gegen +∞. Sie ist also divergent.
Folge C springt zwischen zwei Werten immer hin und her. Sie ist also divergent.
2.4 Wie führe ich einen Konvergenzbeweis?
Also erst einmal gibt es verschiedene Methoden, einen Konvergenzbeweis zu führen.
Die folgende ist aber das ” Standard“-Schema.
Sei ɛ > 0 beliebig. Wähle nun n0 = n0(ɛ) = . Dann gilt ∀ n ≥ n0 :
| Folge - Grenzwertkandidat | = . . . abschätzen . . . < ɛ und das sogar für alle Epsilon.
Wie genau das n0 aussehen muss, bekommt man in einer Nebenrechnung raus. Darin
formt man den Term | Folge - Grenzwertkandidat | durch abschätzen so um, dass nur
noch ein n vorkommt, schätz das gegen n0 ab und erhält wiederum einen Term, dem
man jetzt Epsilon nennt. Das von Epsilon abhängende n0, was wir jetzt rausgefunden
haben, setzen wir nachträglich oben in die Lücke ein.
2.5 Wie führe ich einen Divergenzbeweis?
Hier gibt es auch verschiedene Methoden. Vorschlag für eine Divergenz gegen +∞:
Zu zeigen: Es gibt ein n0 ∈ N, ab dem alle an größer als ein beliebig großes M werden.
14

Sei M > 0 beliebig. Wähle nun n0 = n0(M) = . Dann gilt ∀ n ≥ n0 :
|an| = . . . abschätzen . . . > M
2.6 Monotonie von Folgen
Den Monotoniebegriff kennen wir schon aus der Schule:
• Eine Folge (an)n∈N heißt monoton wachsend, wenn: an+1 ≥ an ∀ n ∈ N
• Eine Folge (an)n∈N heißt streng monoton wachsend, wenn: an+1 > an ∀ n ∈ N
• Eine Folge (an)n∈N heißt monoton fallend, wenn: an+1 ≤ an ∀ n ∈ N
• Eine Folge (an)n∈N heißt streng monoton fallend, wenn: an+1 < an ∀ n ∈ N
2.7 Grenzwerte konkreter Folgen
• limn→∞(1 + 1
n )n =: e ≈ 2, 71828 übrigens : (= ∞
n=0 1
n! )
• limn→∞( n√ n) = 1
• limn→∞( n√ c) = 1 für alle c ∈ R\{0}
⎧
n.def.
⎪⎨
0
falls a ≤ −1
falls − 1 1
mit a ∈ R
Teilfolgen (ank )k∈N bestehen aus Folgenglieder einer Ursprungsfolge (an)n∈N.
Beispiel:
Ursprungsfolge = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...)
Eine mögliche Teilfolge wäre dann = (2, 4, 6, 8, . . .)
Warum notiert man eine Teilfolge ausgerechnet mit diesem komischen (ank )k∈N ?
Antwort: Wenn wir eine Folge haben, dann stehen die a1, a2, . . . , an ja bereits fest. Jetzt
brauche ich, um das erste, zweite u.s.w. Glied der Teilfolge festzulegen, neue Indizes.
Genau diese Indizes sind meine k! Also sagen uns die Indizes n1, n2,, welche Glieder der
Gesamtfolge benutz werden, um die Teilfolge zu ” bauen“. Beispiel: n1 = 4 meint, dass
das vierte Folgenglied das erste Glied der Teilfolge ist. Dabei durchläuft das k ganz N.
15

2.9 Rekursive Definition von Folgen
Eine rekursive Definition zeichnet sich dadurch aus, dass uns ein Startwert gegeben wird
und eine Vorschrift, wie wir von einem Folgenglied auf das nächste schließen können.
Beispiel:
a0 = 1 ist der Startwert und die Vorschrift an+1 = 2·an liefert uns induktiv die restlichen
Folgenglieder.
2.10 Nützliche Sätze zur Folgenkonvergenz
• Eine Folge konvergiert gegen g ⇔ Alle Teilfolgen konvergieren gegen g.
• Sei (an)n∈N ∈ R N mit alle an = 0. Dann gilt: |(an)n∈N| → +∞ ⇔ 1
(an)n∈N
• Jede konvergente Folge ist in ihrem metrischen Raum beschränkt.
• Jede nach oben beschränkte monoton steigende Folge ist konvergent mit
limn→∞(an)n∈N = sup{an|n ∈ N}
• Jede nach unten beschränkte monoton fallende Folge ist konvergent mit
limn→∞(an)n∈N = inf{an|n ∈ N}
• Nullfolge · beschränkte Folge = Nullfolge
• ” Sandwich-Methode“ / ” Quetsch-Lemma“:
Wenn wir 3 reelle Folgen (an)n∈N,(bn)n∈N und (cn)n∈N haben mit
an ≤ bn ≤ cn für fast alle n ∈ N, dann wissen wir:
(an)n → x und (cn)n → x ⇒ (bn)n → x
2.11 Grenzwertrechengesetze
Diese Grenzwertsätze können NUR für endlich viele Grenzwerte angewandt werden!
Seien (an)n∈N ∈ C N konvergent gegen a und (bn)n∈N ∈ C N konvergent gegen b und c ∈ C.
Dann können wir folgende Zusammenhänge nutzen:
• ((an) ± (bn))n∈N ist konvergent und zwar gegen a ± b
• (c · an)n∈N ist konvergent und zwar gegen c · a
• ((an) · (bn))n∈N ist konvergent und zwar gegen a · b
• Für b = 0 gilt: ( an
bn )n∈N ist konvergent und limn→∞( an
bn )n∈N = a
b
• Die komplexe Folge (an + i · bn)n∈N ∈ C N konvergiert in C mit Grenzwert a + i · b
16
→ 0

2.12 Der Auswahlsatz von Bolzano
Man nennt diesen Satz auch: ” Satz von Bolzano-Weiherstrass“. Sei (an)n∈N ∈ R N .
Hier bitte aufpassen! Der Satz ist nur für reelle Folgen anwendbar! Dann gilt:
(an)n∈N beschränkt ⇒ ∃ mindestens eine konvergente Teilfolge (ank )k∈N
Beispiel:
Urspungsfolge: (an)n∈N = (+1, −1, +1, −1, +1, . . .)
konv. Teilfolge: (ank )k∈N = (+1, +1, +1, . . .) (konstante Folgen sind konvergent)
Hier sieht man auch, dass für die Gesamtkonvergenz nicht die Beschränktheit reicht
(denn da finden wir lediglich eine konvergente Teilfolge), sondern wir brauchen noch die
Monotonie.
2.13 Cauchy-Folgen
Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge (xn)n∈N ∈ X N heißt ” Cauchy-Folge“ genau
dann, wenn:
∀ ɛ > 0 ∃ n0 = n0(ɛ) mit d(xn, xm) < ɛ ∀ n, m ≥ n0
Anschaulich:
Ab n0 liegen keine zwei Folgenglieder mehr als ɛ auseinander, egal, wie weit sie von n0
oder voneinander entfernt sind.
Sätze:
• Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.
• Jede Cauchy-Folge in einem metrischen Raum ist beschränkt.
• Deshalb gibt es in einem metrischen Raum auch immer eine Cauchy-Teilfolge.
Tolle Eigenschaft: Bei einer Cauchyfolge braucht nur eine Teilfolge konvergieren
und schon konvergiert die ganze Cauchy-Folge gegen denselben Grenzwert! :D
• Jede Cauchy-Folge in R konvergiert auch in R.
2.14 Vollständige Räume
Ein metrischer Raum heißt vollständig, wenn ” Cauchy-Folge“ und ” konvergente Folge“
äquivalent sind, also wenn jede Cauchy-Folge konvergiert.
Bsp: Die komplexen Zahlen C mit d(z, z ′ ) = |z − z ′ |
2.15 Häufungspunkte
Ein Häufungspunkt ist ein Punkt, um den in jeder beliebigen Umgebung unendlich viele
Folgenglieder liegen.
Äquivalent: Es gibt eine gegen diesen Punkt konvergierende Teilfolge.
17

Beispiel: Hier sind die Häufungspunkte 1 und 4.
Wenn eine Folge nur einen Häufungspunkt hat, dann ist sie konvergent.
Noch ein Beispiel für einen Häufungspunkt:
Sei f : N → Q eine Abzählung von Q
Die Folge sei f(n). Dann ist jede reelle Zahl ein Häufungspunkt der Folge.
2.16 Limes Superior und Limes Inferior
Unter diesen beiden Begriffen verstehen wir den größten bzw. kleinsten Häufungspunkt
einer reellen, beschränkten Folge. Warum können wir diese Relation herstellen? Klar!
Wegen der Ordnungsrelation in R.
lim sup(an)n∈N
= limn→∞(an)n∈N := max{Häufungspunkte von (an)n∈N}
n→∞
lim inf
n→∞ (an)n∈N = lim n→∞(an)n∈N := min{Häufungspunkte von (an)n∈N}
Wenn also die beiden gleich sind, dann hat die Folge nur einen Häufungspunkt, also
konvergiert sie.
Für den Limes Superior gilt: ∀ɛ > 0
• unendlich viele Folgeglieder größer als limsup − ɛ
• nur endlich viele größer als limsup + ɛ
Für den Limes Inferior gilt: ∀ɛ > 0
• unendlich viele Folgeglieder kleiner als liminf + ɛ
• nur endlich viele kleiner als liminf − ɛ
Durch diese Formulierungen wird gewährleistet, dass es nicht noch einen größeren/ kleineren
Häufungspunkt gibt.
18

2.17 Implikationsübersicht
3 Unendliche Reihen
3.1 Definition
Unendliche Reihen sind nichts anderes als Folgen spezieller Bauart: Sei (an)n∈N eine
komplexe Zahlenfolge.
Dann betrachten wir einfach mal die Summe:
sn := a1 + a2 + . . . + an =
Diese Summe heißt auch n-te Partialsumme. Wenn wir nun dieses n laufen lassen, erhalten
wir ganz viele Partialsummen, die immer ein Folgenglied mehr enthalten als ihr
Vorgänger. Diese Folge von Partialsummen nennt man ” Unendliche Reihe“. Sie ist aus
eine aus einer Zahlenfolge (an)n∈N hervorgegangene Zahlenfolge.
(sn)n∈N = (
n
ai)n∈N =:
Die an heißen Glieder der Reihe. Die sn heißen Partialsummen der Reihe.
i=1
19
n
i=1
ai
∞
n=1
an

3.2 Konvergenz von Reihen
Eine Reihe ist eine Folge von Partialsummen. Also: Die Reihe konvergiert, wenn die
Partialsummenfolge konvergiert!
Man verwendet für das Symbol der Reihe und für den Grenzwert der Reihe dieselbe
Notation:
∞
an = a
n=1
Das macht auch Sinn! Denn das Symbol der Reihe bezeichnet ja sozusagen das un-
”
endlichste Reihenglied“. Und wenn die Reihe konvergiert, dann ist das eben genau der
Grenzwert! Der Grenzwert der Reihe wird auch mit Reihenwert bezeichnet. Wenn die
Reihe bestimmt divergiert, schreibt man:
∞
an = +∞ bzw. − ∞
3.3 Absolute Konvergenz
n=1
Eine komplexwertige Reihe heißt absolut konvergent, wenn auch die Reihe der Absolutbeträge
konvergiert:
∞
∞
an absolut konvergent :⇔ |an| konvergent
n=1
Nützlicher Satz:
∞
an konvergiert absolut ⇔
n=0
3.4 Die Geometrische Reihe
∞
n=0
n=1
an
1 + an
konvergiert absolut
Die geometrische Reihe wird oft bei der Grenzwertsuche von Reihen verwendet.
. Dabei ist q ∈ R.Sie sieht wie folgt aus:
Sie konvergiert für |q| < 1 gegen 1
1−q
∞
n=0
q n = 1
1 − q
Für |q| ≥ 1 divergiert die geometrische Reihe.
3.5 Die harmonische Reihe
∀ |q| < 1
Die harmonische Reihe divergiert gegen +∞, und zwar äußerst ” langsam“.
Zum Bsp. beträgt das 10.000ste Glied erst 9,79 !
∞
n=1
1
= +∞
n
20

3.6 Die alternierende harmonische Reihe
Die alternierende harmonische Reihe
∞ (−1) n+1
n=1
konvergiert, aber nicht absolut, weil eben die Betragsfolge genau der divergenten harmonischen
Reihe entspricht. Der Grenzwert ist (Beweis schwierig) gleich ln 2.
3.7 Die Riemannsche Zeta-Funktion
Die Reihe der Riemannschen Zeta-Funktion
• konvergiert genau dann, wenn s > 1
• divergiert genau dann, wenn s ≤ 1
3.8 Die Binomialreihe
∞
n=1
Die Binomialreihe konvergiert per Quotientenkriterium absolut für alle komplexen Zahlen
z mit |z| < 1 und divergiert für |z| > 1:
Bs(z) :=
∞
n=0
→ siehe dazu auch: Konvergenzradien
n
1
n s
s
z
n
n = (1 + z) s
3.9 Konvergenzkriterien für Zahlenreihen
s, z ∈ C
Es gibt nicht DAS Verfahren, um Reihen auf Konvergenz hin zu überprüfen. Es gibt
jedoch verschiedene Konvergenzkriterien, die je nach Problem eingesetzt werden können.
3.9.1 Notwendige Bedingung für die Konvergenz
Die Urfolge (an)n∈N muss eine Nullfolge sein. Denn wie könnten die Partialsummen sich
sonst irgendwann einem Wert annähern? Diese Bedingung ist aber nicht hinreichend
für die Konvergenz einer Folge, z.B. hat die harmonische Reihe als Urfolge die Nullfolge
1/n, ist aber selber divergent.
21

3.9.2 Monotoniekriterium
Wir haben eine Reihe
Dann gilt:
∞
n=0
an
an ≥ 0 ∀ n ∈ N
• Ist die Reihe monoton wachsend und oberhalb beschränkt, dann konvergiert sie
gegen das Supremum ihrer Partialsummen.
• Ist die Reihe monoton fallend und unterhalb beschränkt, dann konvergiert sie gegen
das Infimum ihrer Partialsummen.
3.9.3 Cauchy-Kriterium
∞
an konvergiert ⇔ ∀ ɛ > 0 ∃ n0(ɛ) : |
n=0
k
an+i| < ɛ ∀n ≥ n0 , ∀k ≥ 0
Anschaulich: Ab einem gewissen n0 wird die Summe aller folgenden an-Terme nicht
größer als Epsilon, egal, wie weit ich summiere.
∞
an konvergiert absolut ⇔ ∀ ɛ > 0 ∃ n0(ɛ) :
n=0
3.9.4 Leibnitz-Kriterium
i=0
k
|an+i| < ɛ ∀n ≥ n0 , ∀k ≥ 0
Sei (an)n∈N ∈ R N eine monoton fallende Nullfolge mit an ≥ 0 ∀ n ∈ N.
Dann konvergiert folgende Reihe:
3.9.5 Wurzel-Kriterium
i=0
∞
(−1) n · an = −a1 + a2 − a3 ± . . .
n=1
Sei folgende Reihe eine komplexe Zahlenreihe:
∞
n=0
• lim sup n→∞ n |an| < 1 ⇒ Die Reihe ist absolut konvergent.
• Falls n |an| ≥ 1 für fast alle n ⇒ Die Reihe divergiert.
(denn dann kann (an)n∈N keine Nullfolge mehr sein)
22
an

3.9.6 Quotientenkriterium
Sei folgende Reihe eine komplexe Zahlenreihe mit an = 0 für fast alle n:
∞
n=0
an
• lim supn→∞ | an+1 | < 1 ⇒ Die Reihe ist absolut konvergent.
an
• ∃n0 ∈ N mit |an+1| ≥ |an| ∀ n ≥ n0 ⇒ Die Reihe divergiert.
3.9.7 Majoranten- und Minorantenkriterium
Das Majorantenkriterium
Wenn wir eine Urfolge finden, die größer ist als unsere an-Folge und deren Reihe immer
noch konvergiert, dann muss unsere kleinere Reihe auch konvergieren (sogar absolut)!
Sei folgende Reihe gegeben:
∞
|an| ≤ |bn| ∀ n ∈ N ∧
n=0
an
∞
bn konvergiert ⇒
n=0
∞
n=0
an konvergiert
Diese größere Reihe heißt dann auch ” Majorante“ von unserer Ursprungsreihe.
Das Minorantenkriterium
Da sucht man eine Folge, die kleiner als unserer Urfolge ist und weist die Divergenz
derer Reihe nach. Demnach kann unsere größere Reihe auch nur divergieren. Diese kleinere
Reihe heißt dann ” Minorante“ unserer Ursprungsreihe.
3.10 Der Riemannsche Umordnungssatz
Hier ändert man die Reihenfolge der Ursprungsfolgenglieder. Damit ändert sich auch die
Reihe (weil sich ja die Partialsummen ändern). Die Umordnung kann sogar das Konvergenzverhalten
der Reihe und den Grenzwert ändern! Muss sie aber nicht! Doch durch
solche Umordnungen kann man die Reihe zur Konvergenz gegen jeden möglichen Grenzwert
bringen! Genau das ist der Gedanke hinter dem Riemannschen Umordnungssatz.
Wie sieht das aus?
Wenn man z.B. bei der alternierenden harmonischen Reihe die an-Terme auf eine be-
· ln 2 !
stimmte Weise umordnet, wird aus dem Grenzwert ln 2 plötzlich 3
2
Satz dazu:
23

Sei ∞
n=0 an eine konvergente Reihe reeller Zahlen. Dann gilt:
Die Reihe ist genau dann absolut konvergent, wenn jede Umordnung wieder eine konvergente
Reihe mit demselben Grenzwert liefert.
3.11 Teleskopsummen
Bei einer Teleskopsumme kürzen sich alle inneren Summenglieder gegenseitig raus und
übrig bleibt nur noch ” Erstes + Letztes“. Beispiel: bei der Herleitung der geometrischen
Reihe kommt eine Teleskopsumme vor:
(1 − a) · (1 + a + . . . a n ) = (1 + a − a + a 2 − a 2 + . . . + a n − a n − a n+1 ) = 1 − a n+1
3.12 Rechenregeln für unendliche Reihen
Das ist wieder ziemlich analog zu den Grenzwertsätzen bei Folgen.
Seien c ∈ C und folgende Reihen [absolut] konvergent:
Dann gilt auch:
∞
n=0
an
• ∞
n=0 (an + bn) konvergiert [absolut]
• ∞
n=0 c · (an) konvergiert [absolut]
3.13 Das Cauchy-Produkt
und
Seien folgende beiden Reihen absolut konvergent:
∞
an und
n=0
Dann ist auch das sogenannte ” Cauchy-Produkt“ der beiden Reihen wieder eine absolut
konvergente Reihe:
∞ ∞
( an) · ( bn) =
n=0
n=0
∞
n=0 i=0
∞
n=0
bn
n
(ai · bn−i) =
3.14 Dezimalbereichsentwicklung reeller Zahlen
∞
n=0
bn
∞
i,j≥0 , i+j=n
ai · bj
Kerngedanke: Jede reelle Zahl besitzt eine eindeutige n-adische Entwicklung.
Bei der n-adischen Darstellung verwenden wir im Gegensatz zur uns bekannten ” normalen“
dekadischen Darstellung einer Zahl die ersten n Zahlen.
Beispiel: Bei der 6-adischen Darstellung entspricht eine Dezimalstelle also nicht 10, sondern
6, denn nach der ” 6 kommt wieder die 1“. Dabei brauchen wir für die Entwicklung
24

dieser Darstellung eine Reihe.
Rechenbeispiel: Berechne c = 2, 01 in der 3-adischen Darstellung
c = 2, 01
= 2 · 3 0 + 0 · 3 −1 + 1 · 3 −2 + 0 · 3 −3 + 1 · 3 −4 + . . .
= 2 + 0 + 3 −2 + 0 + 3 −4
∞
= 2 + ( 1
3 )2n ∞
= 2 + ( 1
n=1
∞
= 2 + (
n=0
1
9 )n 0
− (
n=0
1
∞
= 2 + (
n=0
1
9 )n − 1
∞
= 1 + ( 1
n=0
9 )n
n=1
9 )n
Hier sehen wir: Diese soeben gewonnene Reihe ist die geometrische Reihe. Weil der
| < 1, konvergiert diese Reihe gegen 1 . Also erhalten wir:
Term | 1
9
3.15 Potenzreihen
c = 1 + 1
1 − 1
9
9 )n
= 17
8
Betrachte z ∈ C , (an)n ∈ C N Dann ist folgendes Konstrukt eine sogenannte Potenzreihe:
P (z) =
∞
n=0
1− 1
9
an · z n = a0 + a1z + a2z 2 + . . .
In diese Potenzreihe kann ich nun verschiedene komplexe Zahlen z einsetzen.
Das hat Einfluss auf die Konvergenz.
3.16 Konvergenzradien
Wenn die Potenzreihe für eine komplexe Zahl z konvergiert, so konvergiert sie auch für
alle komplexen Zahlen z ′ mit |z ′ | < |z|. Das bedeutet anschaulich: Innerhalb einer offenen
Kreisscheibe des Radius z in der komplexen Zahlenebene kann ich alle z’ einsetzen
und das Ding konvergiert immer noch!
Den maximalen Radius, für den das klappt (also das maximale z), nennt man ” Konvergenzradius“.
Außerhalb dieses Radius divergiert die Potenzreihe, innerhalb konvergiert
sie absolut. Auf der Kreislinie ist keine Aussage über Konvergenz/Divergenz möglich.
Der Konvergenzradius wird mit R(P ) bezeichnet und ist als reelle Zahl definiert. Genauer:
25

∞
R(P ) := sup{r ∈ [0, ∞)| an · r n konvergiert}
n=0
• R(P ) = +∞ ist gut! dann konvergiert die Potenzreihe für alle komplexen Zahlen.
• R(P ) = 0 ist schlecht! Dann konvergiert die Potenzreihe nur für Null.
• R(P ) ∈ (0, ∞) ist ein Zwischenfall
Eine Berechnung des Konvergenzradius ist mit der Wurzel- oder Quotientenformel
möglich. Für die Anwendung der beiden Formeln brauchen wir eine Potenzreihe.
Die muss aber nicht bei n = 0 loslaufen, es kann um endlich viele Glieder verschoben sein.
Bemerkungen:
• Man braucht manchmal eine Substitution beim Berechnen von R(P). Das kommt
daher, dass in der Reihe z.B. statt z n ein z 2n vorkommt. Einfach machen und am
Ende resubstituieren.
• Im Berechnen kann es vorkommen, dass man z.B. ein x aus der Summe rauszieht,
um eine Potenzreihe zu erhalten und damit weiterzurechnen. Das ist ok, denn
das ” Rausziehen“von diesem x ändert zwar den Grenzwert, nicht aber das Konvergenzverhalten
der Reihe. Weil uns der Konvergenzradius nur sagt, für welche
komplexen Zahlen die Reihe konvergiert, nicht aber, wogegen, dürfen wir das tun.
3.16.1 Wurzelformel
Sei L := lim sup n |an|.
• L = 0 ⇒ R(P ) = +∞, weil dann auch (an)n Nullfolge ist und (an · z n )n → null
• L ∈ (0, ∞) ⇒ R(P ) = 1
L
• L = +∞ ⇒ R(P ) = 0
3.16.2 Quotientenformel
Sei q := limn→∞ | an+1 |, falls dieser existiert. Dann gilt:
an
• q = 0 ⇒ R(P ) = 1
q
• q = 0 ⇒ R(P ) = +∞
Die Quotientenformel kann man sich über das Quotientenkriterium für eine Potenzreihe
herleiten:
limn→∞ |
an+1·x n+1
an·x n
| = limn→∞ | an+1 | · |x| an
26

Wenn dieser Ausdruck < 1 ist, dann konvergiert die Reihe nach Quotientenkriterium.
Wenn er > 1 ist, dann divergiert die Reihe. Dies ist äquivalent zu:
|x| < bzw. >
1
limn→∞ | an+1 an
| = R
Wenn also|x| < R ist, dann konvergiert die Reihe . Wenn er > R ist, dann divergiert die
Reihe.
3.17 Exponentialreihen
Die Exponentialreihe ist eine spezielle Potenzreihe. Hier ist das an = 1
n! . Also:
e z :=
∞
n=0
1
· zn
n!
Aufpassen: Dieses e z ist nur ein Symbol für die Potenzreihe.
Was e und was ” hoch“ ist, wissen wir hier noch gar nicht.
Verwende Quotientenformel:
q = lim
n→∞ |an+1
an
| = lim
n→∞ |
n!
| = lim
(n + 1)! n→∞ |
1
| = 0 ⇒ R(P ) = +∞
n + 1
Das bedeutet: Die Exponentialreihe konvergiert für alle komplexen Zahlen!
4 Funktionen
4.1 Grundlagen
Sei X eine beliebige Menge. Dann heißt:
f : X → C komplexwertige Funktion
f : X → R reellwertige Funktion
X heißt Definitionsmenge von f, man sagt auch: f ist definiert auf X.
R bzw. C ist die Zielmenge von f. {f(x)|x ∈ X} ist die Wertemenge von f.
Die Funktion f kann mit ihrem Graphen
identifiziert werden.
graph(f) := {(x, y) ∈ X × C : y = f(x)}
Wir betrachten als Definitionsmenge ab jetzt nur noch komplexe Mengen X ⊆ C.
27

4.2 Polynome
Seien a0, a1, . . . , an ∈ C.
Dann nennt man folgende komplexwertige Funktion ” Polynom“:
P (z) = an · z n + an−1 · z n−1 + · · · + a1 · z 1 + ao
Jedem z wird durch das Polynom ein P(z) zugeordnet.
Wenn n der höchste Exponent ist, also an = 0 und an+1, an+2, · · · = 0,
so sagt man: Das Polynom hat den Grad n (deg(P ) = n).
Die Menge aller Polynome (d.h. beliebiger endlicher Grad) wird mit C[z] bezeichnet.
Ein ausgezeichnetes Polynom ist das Nullpolynom. Es hat keine wohldefinierten Grad.
4.3 Division mit Rest
Sei g ∈ C[z]\{Nullpolynom}, also deg(g) ≥ 0.
Sei f ∈ C[z] beliebig.
Dann existieren eindeutige Polynome q, r ∈ C[z] mit:
• f = q · g + r
• r = 0 oder deg(r) < deg(g)
1. Falls kein Rest r übrig bleibt, also r = 0, so sagen wir: ” g teilt f“. Notation: g|f
2. Falls kein Polynom q vom Grad ≥ 1 existiert, sodass q|f und q|g, dann heißen f
und g teilerfremd.
3. Ist α Nullstelle eines Polynoms f, also f(α) = 0, so teilt z − α dieses Polynom.
4. Ein Polynom f des Grades k > 0 hat höchstens k viele Nullstellen.
5. Seien f und g vom gleichen Grad n. Wenn sie bei n+1 paarweise verschiedenen
Argumenten das gleiche liefern, so sind sie als Polynome gleich.
4.4 Der Fundamentalsatz der Algebra
Jedes komplexe Polynom lässt sich vollständig in Linearfaktoren faktorisieren.
Jeder dieser Linearfaktoren repräsentiert eine Nullstelle des Polynoms.
f(z) = (z − α1) n1 · (z − α2) n2 · . . . · (z − αr) nr
α1, . . . , αr ∈ C sind die Nullstellen des Polynoms.
n1, . . . , nr ∈ N , deg(f) = n1 + . . . + nr
Je nach dem, welches n im Nullstellenterm vorkommt, spricht man von der ” Ordnung“
der Nullstelle.
28

Beispiel:
x 2 + 1 ist in den reellen Zahlen nicht faktorisierbar. In den komplexen Zahlen schon:
x 2 + 1 = (x − i) · (x + i)
Satz: Jedes reelle Polynom lässt sich in reelle Polynome vom Grad ≤ 2 faktorisieren.
4.5 Rationale Funktionen
4.5.1 Definition
Seien f, g ∈ C[z] und g = 0.
Dann heißt folgender formale Ausdruck Rationale Funktion:
R = f
g
Die Menge aller rationalen Funktionen wird mit C(z) = { f
g
bezeichnet.
| f, g ∈ C[z] , g = 0}
Eine Nullstelle der Ordnung k des Nenners heißt Pol oder Polstelle der Ordnung k der
rationalen Funktion.
4.5.2 Hauptteil und Rest einer rationalen Funktion
Wenn man eine rationale Funktion R(z) mit dem Pol α der Ordnung n hat, so kann man
einen Hauptteil H(z) mit diesem α abspalten und eine rationale Restfunktion R0(z)
bleibt übrig, die keinen Pol in α hat! Diese Zerlegung ist sogar eindeutig!
R(z) = H(z) + R0(z)
=
an an−1
a1
+
+ . . . +
(z − α) n (z − α) n−1 z − α
Die a1, a2, . . . , an sind komplexe Zahlen mit an = 0
H heißt Hauptteil von R bezüglich dem Pol α.
R0 heißt Rest von R bezüglich dem Pol α.
4.5.3 Partialbruchzerlegung
Bei der Partialbruchzerlegung formt man eine rationale Funktion um, sodass einzelne
” Nullstellenterme“ rauskommen. Genauer gesagt sind das einzelne Hauptteile der rationalen
Funktion. Dazu bestimmt man die Nullstellen des Nenners (Pole) und formt auf
Hauptteile um, die durch Plus verbunden sind.
Beispiel:
29

Die folgende rationale Funktion hat die Nennernullstellen (Pole) -1 und 3.
5(z − 1)
(z − 3)(z + 1)
Nun setzen wir sie mit der Partialbruchzerlegung, die wir erhalten wollen, gleich. Dazu
brauchen wir soviele Terme, wie der Nenner Nullstellen hat und setzen in deren Nenner
wiederum Linearfaktoren für die entsprechenden Nullstellen ein. A und B bleiben unbestimmt.
5(z − 1) A B
= +
(z − 3)(z + 1) z − 3 z + 1
Um A und B zu bestimmen, bringt man die rechte Seite auf einen Hauptnenner.
Nun klammern wir günstig aus:
Man sieht:
5(z − 1) A(z + 1) + B(z − 3)
=
(z − 3)(z + 1) (z − 3)(z + 1)
5z − 5 z(A + B) + (A − 3B)
=
(z − 3)(z + 1) (z − 3)(z + 1)
5 = A + B und − 5 = A − 3B
Damit haben wir (über ein einfaches lineares Gleichungssystem):
A = B = 5
2
Und damit haben wir auch unsere Partialbruchzerlegung gefunden! Hurra!:
5(z − 1)
(z − 3)(z + 1) =
5
2
z − 3 +
5
2
z + 1
So eine Partialbruchzerlegung ist also nichts Anderes als die Zerlegung in Hauptteile!
Diese Partialbruchzerlegung gibt es immer, wir müssen sie nur finden.
4.6 Stetigkeit von Funktionen
Anschaulich betrachtet ist eine Funktion stetig, wenn ihr Graph innerhalb des Definitionsbereiches
” keine Sprünge“ aufweist.
30

4.6.1 Beispielfunktionen
Bei diesen Funktionen stellt ein ausgemalter Punkt einen Funktionswert dar, ein nicht
ausgemalter Punkt gehört nicht zur Funktion.
• Funktion A
Diese Funktion ist stetig. Sie weist in ihrem Definitionsbereich keine Sprünge auf.
• Funktion B
Diese Funktion ist stetig. Sie weist in ihrem Definitionsbereich keine Sprünge auf.
Die Lücken, die man sieht, gehören nämlich nicht zum Definitionsbereich.
• Funktion C
Diese Funktion ist nicht stetig. Sie hat einen Sprung.
• Funktion D
Diese Funktion ist stetig. Sie weist in ihrem Definitionsbereich keine Sprünge auf.
Sie hat zwar eine Lücke, aber sie springt“ dort nicht. Es gibt nämlich keinen
”
” letzten“ Wert vor der Lücke.
• Funktion E
Diese Funktion ist gar keine!.Einem Argument werden 2 Werte zugeordnet! Also:
Stetigkeitsfrage überflüssig.
• Funktion F
Diese Funktion (soll ein Tangens sein) ist stetig. Sie weist in ihrem Definitionsbereich
keine Sprünge auf.
4.6.2 Definition der Stetigkeit
Sei f : D ⊆ C → C eine Funktion. f heißt stetig in z0 ∈ D genau dann, wenn:
∀ ɛ > 0 ∃ δ = δ(ɛ, z0) > 0 : |f(z) − f(z0)| < ɛ ∀z ∈ D mit |z − z0| < δ
31

Stetigkeit ist eine punktuelle Eigenschaft.
Anschaulich: Egal, wie breit ich den ɛ-Streifen an der y-Achse mache, ich finde immer
ein δ, sodass alle x in diesem δ-Streifen auf der x-Achse als Bilder f(x) wieder in
diesem ɛ-Streifen sind.
Das δ − ɛ - Verhältnis hängt wesentlich von z0 ab.
Außerdem: Stetigkeit in einem Punkt z0 ist eine Eigenschaft von (komplexen) Funktionen
in Verbindung mit der Grenzwertbildung, die uns erlaubt, in z0 Grenzwert und
Funktion zu vertauschen!
lim
n→∞ f(zn) = f( lim
n→∞ zn) = f(z0)
Ein Beispiel hierfür: Die Wurzelfunktion ist stetig!:
lim 1 +
n→∞
1
n =
1
lim 1 +
n→∞ n =
lim 1 + lim
n→∞ n→∞
1
n = √ 1 + 0 = 1
Eine Funktion heißt stetig, wenn sie in allen Argumenten stetig ist.
Wenn ich ab jetzt von einer ” stetigen“ Funktion rede, meine ich, dass sie in allen Argumenten
z0 stetig ist.
Im Moment kennen wir die Stetigkeit nur für C → C. Der Begriff der Stetigkeit kann
auch für Funktionen zwischen beliebigen metrischen Räumen definiert werden. Alles,
was wir dazu brauchen sind Metriken im Start- und Zielraum.
4.6.3 Wie führe ich einen Stetigkeitsbeweis?
Der Grundgedanke ist wieder genauso wie beim Konvergenzbeweis:
32

Sei ɛ > 0 beliebig. Sei δ = δ(ɛ, z0) = .
Dann gilt für alle z ∈ D mit |z − z0| < δ:
|f(z) − f(z0)| = . . . abschätzen . . . < ɛ
Hier ist wieder klar: Die Betrachtung des Terms liefert uns durch Abschätzen einen
Term, der nur noch von Epsilon und/oder z0 abhängt. Damit erhalten wir unser Delta
und tragen es nachträglich in die Lücke oben ein.
4.6.4 Gleichmäßige Stetigkeit
Bei Gleichmäßiger Stetigkeit hängt das δ nicht von ɛ und x0, sondern lediglich von ɛ ab.
Gleichmäßige Stetigkeit ist damit keine punktuelle Eigenschaft, sondern eine absolulte
Eigenschaft für die Funktion. Damit sind gleichmäßig stetige Funktionen erst recht ” normal“
stetig!
Es gilt außerdem: Stetige Funktionen sind in einem beschränkten Interval sogar gleichmäßig
stetig.
4.6.5 Lipschitz-Stetigkeit
Die Lipschitz-Stetigkeit ist eine andere Form der Stetigkeit, die, weil sie in Verbindung
mit der ” gleichmäßigen“ und ” normalen“ Stetigkeit steht, uns auch was nützt. Mit der
Lipschitz-Stetigkeit dürfen wir zwischen beliebigen metrischen Räumen rechnen, dabei
ist aber immer L ∈ R.
f heißt Lipschitz-stetig ⇔ ∃ L > 0 : |f(x) − f(y)| ≤ L · |x − y|
Lipschitz-stetige Funktionen sind gleichmäßig stetig und damit stetig!
Wähle dazu einfach das δ = ɛ
L , dann folgt daraus: |f(x) − f(y)| ≤ L · δ = ɛ
Wir sehen: Das Delta hängt nur von Epsilon und nicht von einem x0 ab.
Jede lineare Funktion ist lipschitz-stetig und damit auch stetig.
Wie kann man sich Lipschitz-Stetigkeit vorstellen? Es gilt bekanntlich:
|f(x) − f(y)| ≤ L · |x − y|
x=y
⇔ L ≥ |f(x) − f(y)|
|x − y|
Damit können wir sagen: Der ” Anstieg“ der Funktion ist durch L oberhalb beschränkt !
4.6.6 Umgebungen
Sei z0 ∈ D ⊆ C. Dann heißt eine kleinere Teilmenge U ⊆ D eine Umgebung von z0 ∈ D
:⇔
33

∃ δ > 0 : ∀ z ∈ D mit |z − z0| < δ : z ∈ U
Anschaulich betrachtet:
Ich habe eine Fläche D. Darin liegt ein z0. Eine Teilmenge U von D heißt genau dann
D-Umgebung von z0, wenn ich um z0 eine Kreisscheibe malen kann, die immer noch
komplett in U liegt!
Übrigens:
Sind U, U ′ beide D-Umgebungen von z0, so gilt das auch für U U ′ und U U ′ .
4.6.7 Äquivalenzen und Sätze zur Stetigkeit
Äquivalenzen:
Sei wieder wie vorhin f : D ⊆ C → C und z0 ∈ D. Dann sind äquivalent:
• f ist stetig in z0.
• Es gilt: ∀ ɛ > 0 ∃ D-Umgebung U von z0, sodass: |f(z) − f(z0)| < ɛ ∀z ∈ U.
Dies ist äquivalent zu:
f(U) ⊆ Bɛ(f(zo)),also in der Kreisscheibe des Radius ɛ um f(z0).
• ∀ Folgen (zn)n ∈ D N mit zn → z0 gilt: f(zn) → f(z0) (Folgenstetigkeit)
Sätze:
• Sind die Funktionen f, g : D → C stetig in einem z0,
so sind auch f + g und f · g stetig in z0.
• Für g(z0) = 0 gilt:
f
g : D\{z|g(z) = 0} → C ist ebenfalls stetig in z0.
• Wenn f : D → C und das Bild von f in einem D ′ ⊆ C liegt und g : D ′ → C, dann
können wir die Funktionen hintereinanderschalten. Wenn nun die Funktion f stetig
in z0 und g stetig in f(z0) ist, dann gilt auch: Die Verknüpfung von f und g, also
g ◦ f : D → C, ist auch stetig in z0.
Anschaulich:
D
f
→ D ′ g → C
z0 ↦−→ f(z0) ↦−→ g(f(z0))
• Rationale Funktionen sind stetig auf ihrem Definitionsbereich.
(Polstellen ausgenommen, da ist Stetigkeitsfrage unnötig).
Beispiel für eine Stetige Funktion:
Funktion: z ↦→ z k mit k ∈ N
34

Wieso ist die stetig? Der Term z k lässt sich ja schreiben als z · z . . . · z
k mal
Das heißt, wir können die Funktion z ↦→ z k als k-fache Multiplikation der identischen
Funktion ansehen (Aufpassen: Nicht die Hintereinanderschaltung (auch: Komposition)
von Abbildungen mit dem Produkt verwechseln!!! )
f(z) = z k = id(z) · . . . · id(z)
k mal
= (id · id . . . · id)(z)
k mal
Weil die id eine stetige Funktion ist (Erinnerung: jede lineare Funktion ist Lipschitzstetig,
also auch stetig), ist auch das k-fache Produkt davon eine stetige Funktion. Hurra!
4.6.8 Stetige Fortsetzbarkeit
Stetige Fortsetzbarkeit ist - wie Stetigkeit auch - eine punktuelle Eigenschaft. Diese besagt,
dass man den Definitionsbereich einer stetigen Funktion erweitern kann und wieder
eine stetige Funktion erhält!
Beispiel: Hier kann eine Definitionslücke geschlossen werden, also der Definitionsbereich
erweitert werden.
Wie macht man das? Indem man der Funktion an dieser Stelle einfach einen Wert zuweist.
Man sagt dann: Die Funktion f ist in x0 stetig forsetzbar.
So ein ” Lückenfüller“ ist aber nur ein Spezialfall der Definitionsbereichserweiterung, wo
die Fortsetzung eindeutig ist.
Die Stetige Forsetzung muss aber nichts Eindeutiges sein!
Bsp: Folgende Funktion ist auf R + 0 definiert und wir können sie auf viele Arten stetig
fortsetzen:
35

→ gutes Beispiel zur Stetigen Fortsetzbarkeit: ” Punktweise Konvergenz“
4.6.9 Funktionalgleichung und Stetigkeit
Wenn eine Funktion der Funktionalgleichung f(x + y) = f(x) + f(y) genügt und stetig
in 0 ist, dann ist sie sogar stetig auf ganz R.
4.7 Funktionengrenzwerte
4.7.1 Häufungspunkte einer Menge
Sei D ⊂ C und z0 ∈ C. Dann sind äquivalent:
• z0 heißt Häufungspunkt von D
• ∀δ > 0 ∃z ∈ D\{z0} : |z − z0| < δ
• Jede Umgebung von z0 enthält mindestens ein z ∈ D\z0}
Beispiel 1:
D ist das reelle Intervall (a,b).
Dann ist die Menge aller Häufungspunkte genau das geschlossene Intervall [a,b].
Beispiel 2:
D := { 1
n |n ∈ N}
Dann ist der einzige Häufungspunkt die Null!
Denn für die anderen reellen Zahlen x findet sich nicht in jeder Umgebung ein x-fremder
Funktionswert.
36

4.7.2 Grenzwert in einem Punkt
Sei f : D → C eine Funktion und z0 ∈ C ein Häufungspunkt von D.
Dann sagen wir: Die Funktion f hat in z0 den Grenzwert a genau dann, wenn:
f(z) für z = z0
F (z) =
ist stetig.
a für z = z0
Notation:
lim f(z) = a oder f(z) → a für z → z0
z→z0
Also geht es hier um die stetige Fortsetzung in einem Häufungspunkt z0.
Der Funktionswert in diesem Häufungspunkt ist a.
Jetzt erinnern wir uns an die Folgenstetigkeit:
• Wenn also für jede Folge, die gegen z0 geht, auch F (F olge) gegen F (z0) = a konvergiert,
so ist f in z0 stetig fortsetzbar.
• Wenn wir eine Folge finden, wo das nicht klappt, dann lässt sich f in z0 nicht stetig
fortsetzen.
4.7.3 Punktweise Konvergenz gegen eine Funktion
Sei D ⊆ C und (fn)n∈N eine Folge von Funktionen, die von D nach C gehen.
Sei f : D → C
Die Funktionenfolge konvergiert punktweise gegenf ⇔ ∀ z ∈ D : lim
n→∞ fn(z) = f(z)
4.7.4 Beschränktheit einer Funktion
Eine Funktion f : D → C heißt beschränkt, wenn ihr Bild f(D) beschränkt ist.
37

4.7.5 Die Supremumsnorm einer Funktion:
f∞ := sup |f| := sup{ |f(z)|
D
| z ∈ D} sofern wohldefiniert, also < ∞
4.7.6 Normale Konvergenz
Sei (fn)n∈N eine Folge von Funktionen. Daraus bauen wir uns eine Reihe: ∞
n=1 fn.
Die Reihe
∞
∞
fn konvergiert normal ⇔ Die Reihe fn∞konvergiert
n=1
Es gilt außerdem: Normale Konvergenz ⇒ Punktweise Konvergenz
4.7.7 Rechts-und Linksseitige Grenzwerte
Sei D ⊆ R , f : D → C und x0 Häufungspunkt von D. Wir definieren:
• D + := D (x0, +∞) = alle Punkte in D rechts von x0
• D − := D (−∞, x0) = alle Punkte in D links von x0
Dann hat f in x0 einen rechtsseitigen Grenzwert, wenn limx→x0 f| D + existiert.
Dann hat f in x0 einen linksseitigen Grenzwert, wenn limx→x0 f| D− existiert.
Man schreibt auch:
limx→x0 f| D + =: limx↓x0 f(x) =: lim x→x +
0
limx→x0 f| D − =: limx↑x0 f(x) =: lim x→x −
0
4.7.8 Rechts-und Linksseitige Stetigkeit
f(x)
f(x)
f heißt linksseitig stetig in x0 genau dann, wenn: limx↑x0 f(x) = f(x0)
f heißt rechtsseitig stetig in x0 genau dann, wenn: limx↓x0 f(x) = f(x0)
4.7.9 Uneigentliche Grenzwerte
Uneigentliche Grenzwerte bezeichnen z.B. nicht wohldefinierte rechts- und linksseitige
Grenzwerte. Hier ein Beispiel:
f(x) = 1
x
mit x ∈ R\{0}
38
n=1

lim
x↑0 f(x) = −∞ sowie lim
x↓0 f(x) = +∞
Also sind hier rechts- und linksseitiger Grenzwert erstens nicht wohldefiniert und zweitens
sogar verschieden! Darum gibt es hier auch keine Punktgrenzwert (siehe 4.7.2). Also
ist die Funktion nicht in 0 stetig forsetzbar.
4.7.10 Zwischenwertsatz
Sei f : [a, b] → R stetig. Dann nimmt f jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an, d.h.:
f(a) < f(b) ⇒ [f(a), f(b)] ⊂ f([a, b])
Also liegt das Intervall zwischen f(a) und f(b) vollständig im Bild des Intervalls [a, b].
Anschaulich:
4.7.11 Fixpunkte
Sei f : [a, b] → R stetig. Dann gilt ja der Zwischenwertsatz.
Dann existiert ein sogenannter ” Fixpunkt“ x:
∃ x ∈ [a, b] mit f(x) = x
39

4.8 Die ” multiplikative Funktionalgleichung“
4.9 Die Exponentialfunktion
Die Funktion e z = ∞
n=0 zn
n!
• Sie ist stetig auf C
f(x + y) = f(x) · f(y) ∀x, y ∈ C
ist die eindeutige Funktion auf C mit den Eigenschaften:
• e (x+y) = e x · e y ∀x, y ∈ C (genügt obiger Funktionalgleichung)
• lim z → 0 f(z)−f(0)
z
= 1
• f(1) = e = ∞
n=0 1
n! = limn→∞(1 + 1
n )n
Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion e x ist auf R definiert als:
ln : (0, +∞) → R oder ” natürlicher Logarithmus“
Diese Funktion ist die eindeutig bestimmte stetige Funktion mit den Eigenschaften:
• ln(x · y) = ln x + ln y ∀ x, y > 0 (Funktionalgleichung)
• ln(e) = 1
5 Differentiation
5.1 Punktierte Umgebungen
Sei D ⊂ C und z0 ∈ D.
U heißt punktierte Umgebung von z0 in D ⇔ ∃ δ > 0 : {z ∈ D | 0 < |z−z0| < δ} ⊂ U
Anschauliches Beispiel: Eine offen Kreisscheibe des Radius Delta ohne den Mittelpunkt!
5.2 Differenzierbarkeit
Sei f : D → C. Sei z0 ∈ D.
f heißt differenzierbar in z0 ⇔ ∃ a ∈ C : f(z) = f(z0) + a · (z − z0) + o((z − z0) 1 )
Folgendes ist mit diesem o gemeint:
o((z − z0) 1 ) = Menge aller Funktionen r(z) mit lim
z→z0
40
r(z)
= 0
z − z0

f(z)−f(z0)
Dabei ist a = limz→z0 z−z0
als Grenzwert eindeutig durch f und z0 bestimmt.
Man schreibt auch: a =: f ′ (z0) =: df
dz (z0) = Ableitung der Funktion an der Stelle z0.
Eine Funktion heißt differenzierbar, wenn sie in allen Argumente diff’bar ist.
5.3 Sätze zur Differenzierbarkeit
Seien f, g : D → C Funktionen. Sei z0 ∈ D mit einer Umgebung U(z0) in R bzw. C mit
U ⊆ D. Seien f und g differenzierbar in z0. Dann gilt:
• (f + g) : D → C ist differenzierbar in z0.
Es gilt: (f + g) ′ (z0) = f ′ (z0) + g ′ (z0)
• ∀ λ ∈ C : (λ · f) : D → C ist differenzierbar in z0.
Es gilt: (λ · f) ′ (z0) = λ · f ′ (z0)
• (f · g) : D → C ist differenzierbar in z0.
Es gilt: (f · g) ′ (z0) = f ′ (z0) · g(z0) + f(z0) · g ′ (z0)
” Produktregel“ oder ” Leibniz-Regel“
• Sei jetzt g(z0) = 0 . Dann gilt: ( f
g ) : D → C ist in einer Umgebung von z0 wohldefiniert
und differenzierbar in z0. Es gilt:
( f
g )′ (z0) = f ′ (z0)·g(z0)−f(z0)·g ′ (z0)
(g(z0)) 2
” Quotientenregel“
• Wenn das Bild von f ganz im Definitionsbereich von g liegt, gilt:
(g ◦ f) : D → C ist differenzierbar in z0.
Es gilt: (g ◦ f) ′ (z0) = g ′ (f(z0)) · f ′ (z0)
” Kettenregel“ oder Äußere mal innere Ableitung“
”
5.4 Notation für Funktionenmengen
C 0 (D, C) := {f : D → C stetig}
C 1 (D, C) := {f : D → C differenzierbar und f ′ : D → C ebenfalls stetig}
41

6 Grundlagen: Mathematische Symbole und Formulierungen
Symbol Bedeutung
∀ für alle
∃ es existiert ein
∃! es existiert genau ein
∈ Element von
/∈ nicht Element von
¬ Negation der Aussage
⇒ logischer Folgepfeil
⇔ logischer Äquivalenzpfeil
⊆ Enthaltensein in einer Menge
⊂
echt Enthaltensein in einer Menge
Vereinigung von Mengen
Schnittmenge von Mengen
Summe
Produkt
” fast alle“ alle bis auf endlich viele
∧ und
∨ oder
: es gilt
:= Linke Gleichungsseite wird definiert als ...
(f + g)(x) dieser Ausdruck meint f(x) + g(x)
(λ · f)(x) dieser Ausdruck meint λ · f(x)
(f ◦ g)(x) dieser Ausdruck meint die Komposition f(g(x))
{. . .} Mengenklammern
A\A ′ Menge A ohne ihre Teilmenge A’
7 Dankeschön
Ein herzliches Dankeschön an:
• Mathias Becker, der sich in seinen Seminaren stets viel Mühe gibt, uns was
zu vermitteln und netterweise diese Übersicht Korrektur gelesen hat. Dankesehr
Mathias! Du bist ein Arbeitstier!
• Heiko Etzold, welcher ein sehr gutes und aufschlussreiches Seminar leitet. Danke
dir Heiko, dass du immer für Fragen bereit stehst. Du wirst (bist) ein guter Lehrer!
• Anne Neupert, die mir ihre Analysis - Übersichten ausgeliehen hat, um mein
eigenes Zeug zu vervollständigen. Danke Schatz!
In diesem Sinne: Viel Erfolg bei der Klausur!!!!
42