1. Jahresbericht (german version) - Foresight & Policy Development

Ψ
x
1 2 3 4 5
Abb. 1: Schematische Darstellung der „spline“ Interpolation zwischen gegebenen Stützstellen 1 bis 5.
Die Werte 1 bis 5 sollen vorliegende Messwerte (Datenpunkte) einer skalaren
Feldvariablen Ψ darstellen. Die interpolierten Werte zwischen den Datenpunkten
können prinzipiell durch eine beliebige Funktion (zB strichlierte Kurve) beschrieben
werden, die alle gegebenen Stützstellen verbindet. Spannt man nun zB ein
elastisches Lineal oder eine Weidenrute („spline“) an den Stützstellen ein, so wird die
Form in etwa der durchgezogenen Linie entsprechen. Diese ist mathematisch
definiert als genau d i e Funktion, deren gesamte Krümmung zwischen 1 und 5
minimal ist („cubic spline“). Die mathematische Formulierung dafür lautet:
5 2
4
⎛ ∂ Ψ ⎞
∂ Ψ
J = ∫ ⎜
⎟ dx → Min
(daraus folgt i. ü. = 0 ) (1)
2
4
⎝ ∂x
1 ⎠
∂x
Statt die spline-Funktion durch die fünf Punkte gehen zu lassen, kann sie alternativ
durch eine Variation zB des Wertes an der Stützstelle 3 mit Hilfe des
Minimierungsalgorithmus verändert werden (siehe Abb. 2):
Ψ
2
1 2 3 4 5
Abb. 2: Schematische Darstellung der Variation des Wertes an der Stützstelle 3.
Dabei gilt dasselbe Minimierungsfunktional wie in (1). Dadurch wird genau der Wert
gefunden, der für die gesamte Kurve die minimale Krümmung ergibt. Für die
Bestimmung der Krümmung wird folgende Beziehung verwendet:
∂J
∂Ψ
3
∂
=
∂Ψ
5
∫
3 1
2
2 ⎛ ∂ Ψ ⎞
⎜ = 0
2 ⎟ dx
⎝ ∂x
⎠
2 Anhang 1
Teilbericht 1
(2)
x