12. Partielle Ableitungen

Satz (12.1.6)
Ist f : R n ⊃ D → R eine C 1 -Funktion, D offen, x 0 ∈ D, so
ist die Tangentialebene an den Graphen von f in x 0 gegeben
durch
z − f(x 0 n∑ ∂f
) = (x 0 ) · (x i − x 0 i
∂x )
i
Definition (12.1.7)
∇f(x 0 ) :=
i=0
(
∂f
∂x 1
(x 0 ), ...,
) T
∂f
(x 0 )
∂x n
heißt der Gradient der Funktion f im Punkt x 0 ∈ D.
( ) T
∂ ∂
∇ := ,..., heißt auch Nabla-Operator.
∂x 1 ∂x n
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Differentiationsregeln (12.1.8)
∇(αf + βg) = α ∇f + β ∇g
∇(f · g) = g · ∇f + f · ∇g
∇( f g · ∇f − f · ∇g
) =
g g 2 , g(x) ≠0.
Beispiele (12.1.9)
a) f(x, y) := e x · cos y
⇒ ∇f(x, y) = (e x cos y, −e x sin y) T = e x (cos y, − sin y) T .
√
b) Abstandsfunktion r(x) := ‖x‖ 2 := x 2 1 + x2 2 + ...+ x2 n
⇒
∂r
2 x
= √ i
∂x i 2 x 2 = x i
1 + ...+ x2 r(x) , n
x ≠ 0
⇒ ∇r(x) = x
r(x) , x ≠ 0. 370