Übung 3 Fourier-Reihen Trigonometrische ... - Thomas Borer

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HTW Chur Telekommunikation und Informatik, Mathematik 2, T. Borer Übung 3 - 2003/04 Gegeben ist der folgende Vektor → x im dreidimensionalen Raum: → x = ⎝ ⎜ ⎜⎛ 2 4 5 ⎠ ⎟⎟⎞ Der Vektor → x wird um 90° um die z-Achse gedreht. Gesucht ist der zu → x gehörige Bildvektor → y . a) Finden Sie eine Methode, um den Bildvektor y → möglichst einfach zu bestimmen. Die Methode soll eine Zerlegung von x → in möglichst günstige Teilvektoren beinhalten. Beschreiben Sie das Vorgehen in ein paar Stichworten. b) Erklären Sie, worin die in der Einleitung dieser Aufgabe erwähnte Analogie besteht. 3. Integrale In der Herleitung der Formeln zur Berechung der reellen Fourier-Koeffizienten von periodischen Funktionen treten die nachstehenden Integrale auf. Bestimmen Sie die Integrale von Hand und mit Hilfe von Integraltafeln. Es gilt jeweils ω 0 := 2π T 0 , k∈N beliebig, m∈N beliebig T 0 a) ∫ sin(kω 0 t) dt 0 T 0 b) ∫ cos(kω 0 t) dt 0 T 0 c) ∫ sin(kω 0 t)·sin(mω 0 t) dt 0 T 0 d) ∫ cos(kω 0 t)·cos(mω 0 t) dt 0 T 0 e) ∫ sin(kω 0 t)·cos(mω 0 t) dt 0 28.10.2003 m_ti03_u03.pdf 2/3
HTW Chur Telekommunikation und Informatik, Mathematik 2, T. Borer Übung 3 - 2003/04 Lösungen 1. ... 2. a) - → x darstellen als Linearkombination der Basisvektoren → 1 e 1 = ⎝ ⎜⎜⎛ 0 0⎠ ⎟⎟⎞ → x = ⎝ ⎜ ⎜⎛ 2 4 5 ⎠ ⎟⎟⎞ = 2 → e 1 + 4 e→ 2 + 5 e→ 3 - Drehung auf die einzelnen Basisvektoren anwenden: → e 1 → → e 2 → e 2 → - → e 1 → e 3 → → e 3 , → 0 e 2 = ⎝ ⎜⎜⎛ 1 0⎠ ⎟⎟⎞ , → 0 e 3 = ⎝ ⎜⎜⎛ 0 1⎠ ⎟⎟⎞ - Bildvektor als Linerkombination der Bildvektoren der Basisvektoren zusammensetzen: → y = 2 → e 2 + 4 (- → -4 e 1 ) + 5 e→ 3 = ⎝ ⎜⎜⎛ 2 5⎠ ⎟⎟⎞ b) Analogie in tabellarischer Darstellung: : Signal x(t) Das Signal x(t) durchläuft ein lineares System. Vektor x → Der Vektor x → wird einer linearen Abbildung unterworfen. Basisignale ϕ 1 (t), ϕ 2 (t), ϕ 3 (t), ... Basisvektoren e → 1 , e→ 2 , e→ 3 Das Signal x(t) wird dargestellt als Linearkombination der Basissignale ϕ 1 (t), ϕ 2 (t), ϕ 3 (t), ... Die Basissignale ϕ 1 (t), ϕ 2 (t), ϕ 3 (t), ... verhalten sich bezüglich des betrachteten Systems sehr einfach. Das Ausgangssignal y(t) setzt sich zusammen als Linearkombination der Ausgangssignale der einzelnen Basissignale. Der Vektor wird dargestellt als Linearkombination der Basisvektoren → e 1 , → e 2 , e→ 3 Die Basisvektoren e → 1 , e→ 2 , e→ 3 verhalten sich gegenüber der betrachteten Abbildung sehr einfach. Der Bildvektor y → setzt sich zusammen als Linearkombination der Bildvektoren der einzelnen Basisvektoren. 3. a) T 0 ∫ sin(kω 0 t) dt = 0 0 b) T 0 ∫ cos(kω 0 t) dt = 0 0 c) T 0 ∫ sin(kω 0 t)·sin(mω 0 t) dt = 0 ⎩ ⎪ ⎨⎪⎧ 0 T 0 2 d) T 0 ∫ cos(kω 0 t)·cos(mω 0 t) dt = 0 ⎩ ⎪ ⎨⎪⎧ 0 T 0 2 e) T 0 ∫ sin(kω 0 t)·cos(mω 0 t) dt = 0 0 (k≠m) (k=m) (k≠m) (k=m) 28.10.2003 m_ti03_u03.pdf 3/3
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