Herr Prof - Lehrer.uni-karlsruhe.de

AK Lehramtsstudium
Dr. Karl Hehl
Die Vorlesung „Elemente der Geometrie“
Herr Prof. Aumann hält im laufenden Wintersemester an der TU Karlsruhe eine
Vorlesung mit dem Titel „Elemente der Geometrie“ ab. Die Vorlesung gliedert sich in
drei Teile:
• Einige Ergebnisse der euklidischen Geometrie:
Es wird auf einige Ergebnisse, die in den Vorlesungen Lineare Algebra und
Analytische Geometrie nur am Rande oder gar nicht behandelt worden sind,
eingegangen. Hier werden auch algorithmische Aspekte einbezogen, die
beim Rechnereinsatz eine entscheidende Rolle spielen.
• Axiomatischer Aufbau der euklidischen Geometrie:
Es wird ein Axiomensystem für eine euklidische Ebene betrachtet. Dabei wird
insbesondere die Rolle des Parallelenaxioms untersucht und auf die
hyperbolische Geometrie als erste „nichteuklidische Geometrie“
eingegangen.
• Nichteuklidische Geometrien:
In Anlehnung an die Klassifikation von Felix Klein wird ein breites Spektrum
an nichteuklidischen Geometrien untersucht.
Üblicherweise geht man in mathematischen Vorlesungen so vor, dass
man zunächst allgemeine Theorie entwickelt und anschließend (sofern noch Zeit
bleibt) besonders interessierende Spezialfälle behandelt. Mit dieser Vorlesung
beschreitet Prof. Aumman genau den umgekehrten Weg.Er geht aus von der
wohlbekannten euklidischen Ebene, betrachten anschließend
ihre axiomatischen Grundlagen und untersucht erst dann allgemeinere
Fragestellungen. Dadurch dürfte es leichter fallen, dem Gedankengang zu folgen
sowie das Gemeinsame und das Trennende der verschiedenen Geometrien zu
erfassen.
Die Grobeinteilung führt zu dem folgenden detailierten
Inhaltsverzeichnis
Einige Ergebnisse der euklidischen Geometrie
1 Vorbereitungen
1.1 Bezeichnungen. .
1.2 Elementare Sätze
1.3 Bewegungen
1.4 Teilverhältnis und Doppelverhältnis
2 Das Dreieck
1

2.1 Eineinheitliches Beweisprinzip
2.2 Euler’sche Gerade und Feuerbach’scher Kreis
2.3 Baryzentrische Koordinaten.
3 Kreis und Kugel
3.1 Die isoperimetrische Ungleichung
3.2 Die Inversion am Kreis
3.3 Kreisscharen
3.4 Die stereographische Projektion
4 Algorithmische Geometrie
4.1 Algorithmen
4.2 Konvexe Polygone
4.3 Lokalisierung eines Punktes
4.4 Konvexe Hülle
Axiomatischer Aufbau der euklidischen Geometrie
5 Ein Axiomensystem der euklidischen Geometrie
5.1 Vorbemerkungen
5.2 Das Axiomensystem
5.3 Die absolute Ebene
5.4 Winkel im Dreieck
5.5 Das Parallelenaxiom
.
6 Hyperbolische Geometrie
6.1 Definition
6.2 Das Poincaré-Modell
6.3 Weitere Modelle
III Nichteuklidische Geometrien
7 Die projektive Ebene
7.1 Definition
7.2 Endliche projektive Ebenen
7.3 Projektive Ebenen über einem Schiefkörper
.
8 Der reelle projektive Raum
8.1 Definitionen
8.2 Die komplexe Erweiterung
8.3 Koordinatensystem
8.4 Doppelverhältnis
8.5 Projektivitäten
8.6 Vom projektiven zum affinen Raum
9 Quadriken
9.1 Definition und Klassifikation
9.2 Quadrik und Gerade
10 Cayley-Klein-Geometrien
2

10.1 Motivation und Definition
10.2 Die Cayley-Klein-Geraden und ihre Bewegungen
10.3 Die Cayley-Klein-Ebenen und ihre Bewegungen
11 Abstands- und Winkelmetrik
11.1 Abstände
11.2 Dualitätsbeziehungen und Winkelmessung
11.3 Affine Schauplätze
Voraussetzungen für die Teilnahme
Die Vorlesung ist so aufgebaut, dass sie nur Voraussetzungen aus den
Anfängervorlesungen, insbesondere aus der Vorlesung Lineare Algebra und
Analytische Geometrie, benötigt.
Übungsscheine
Es werden benotete Übungsscheine ausgegeben, die die erfolgreiche Teilnahme
an den Übungen bestätigen. Im Allgemeinen wird jede Woche ein Übungsblatt
mit Übungsaufgaben (Hausaufgaben) ausgeteilt. Die abgegebenen Lösungen
werden korrigiert und bewertet. Einen Übungsschein erhalten die teilnehmenden
Studenten, wenn Sie mindestens 50% der in diesen Hausaufgaben erreichbaren
Punkte erzielt haben. Die Note ergibt sich dann folgendermaßen: Ab 50% + n ·
10% der maximal möglichen Punktzahl erhält der Teilnehmer einen
Übungsschein mit der Note 4, 0 - n
Persönliche Stellungnahme
Während der Herbstferien gab mir Prof. Aumann die Gelegenheit insgesamt vier
Stunden seine Vorlesung zu besuchen. An diesen zwei Tagen nahmen
insgesamt ca. 40 bis 50 Studenten an der Vorlesung teil.In der ersten
Doppelstunde wurden der Satz von Ceva und seine Umkehrung hergeleitet.
Dieser Satz wurde dann verwendet, um zu zeigen, dass in einem beliebigen
Dreieck sich die Seitenhalbierende, die Höhengeraden, die Mittelsenkrechten
und die Winkelhalbierenden jeweils in einem Punkt schneiden. Der Satz von
Ceva war also das im Inhaltsverzeichnis aufgeführte einheitliche Beweisprinzip.
Dieser Satz wurde auch verwendet, um zu erkennen, dass der Schwerpunkt, der
Umkreismittelpunkt und der Höhenschnittpunkt auf einer Gerade (Euler’sche
Gerade) liegen.Schließlich half er auch noch, die Eigenschaften des
Feuerbachschen Kreises zu erkennen. Diese einheitliche Vorgehensweise hat
natürlich eine ästhetische Dimension, die so nicht im Unterricht von zukünftigen
Lehrern verwendet werden kann. Dennoch ist das Hintergrundwissen für einen
Lehrer sehr nützlich.
In der zweiten Doppelstunde stand die isoperimetrische Ungleichung im
Mittelpunkt. Dazu wurde zunächst der Begriff der Jordankurve als eine
doppelpunktfreie geschlossene und stückweise stetig differenzierbare ebene
Kurve eingeführt. Als Beispiel dienten, entsprechende Polygonzüge. Der recht
tief liegende Jordan’ sche Kurvensatz wurde lediglich zitiert und konnte nicht
bewiesen werden. Er besagt, dass das Komplement einer Jordankurve die
disjunkte Vereinigung zweier Gebiete (offen und zusammenhängend) ist, von
denen eines beschränkt und das andere unbeschränkt ist. Der Jordan’sche
3

Kurvensatz ist einer jener merkwürdigen Sätze, deren Beweis tief liegend und
deren Aussage doch extrem anschaulich ist. Die isoperimetrische Ungleichung
lautet nun:
2
L( ) 4A( ), wenn L( )
die Länge der Jordankurve und A( )
der
Flächeninhalt ihres beschränkten Innengebiets ist. Hier gilt die Gleichheit genau
dann, wenn ein Kreis ist. Der Beweis kann im Wesentlichen darauf
zurückgeführt werden, dass der Rand eines Dreiecks ist. Der von Prof.
Aumann für diesen Fall vorgestellte Beweis war extrem anschaulich und die
ausgezeichneten Zeichnungen an der Tafel halfen darüber hinaus, alles gut zu
verstehen. Ich kann mir durchaus vorstellen, dass man in einer Mathematik - AG
diese Ideen aufgreift und behandelt.
Insgesamt waren für mich diese vier Stunden ein Gewinn. Vielleicht gelingt es ja
auch den zukünftigen Lehrern genau so wie Prof. Aumann dieses spannende
Element, das Mathematik beinhalten kann, zu vermitteln. Die Grundlagen dafür
werden jedenfalls durch eine derartige Vorlesung geschaffen.
4